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#2 19-11-2021 08:15:22
- Fred
- Administrateur
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Re : Comparaison de bornes
Bonjour! (oui, quand même, c'est le minimum de politesse quand on s'exprime sur un forum d'entraide, ou même dans la vie en général....),
C'est un problème très intéressant!
Comme la réponse ne me sautait pas aux yeux, j'ai commencé par considérer divers exemples.
En voici un qui est révélateur : $A=[0,1]$, $B=[0,1]$ et $f(x,y)=|x-y|$. Peux-tu calculer les deux quantités que tu dois comparer pour cet exemple?
F.
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#7 19-11-2021 13:17:31
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Comparaison de bornes
Mon premier message comporte une indication, qui te permet de répondre à la moitié de la question.
Alors, as-tu calculé $\sup(inf(x,y),y\in B,x\in A)$ pour la fonction $f$ que je t'ai donnée, et les ensembles $A$ et $B$ que je t'ai données également?
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#9 20-11-2021 09:15:57
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 349
Re : Comparaison de bornes
Ton intuition n'est pas tout à fait juste - le sup(inf) ne vaut pas 1, mais 1/2.
Cela dit, cela répond à la moitié de la question, on ne peut pas majorer inf(sup) par sup(inf) - mais il va falloir que tu te mettes vraiment au travail et ne pas te contenter de ton intuition (les calculs avec cette fonction sont quand même très simples!).
Concernant l'autre inégalité, moi je partirais de la remarque suivante : si $x_0\in\mathbb R$, et $y\in\mathbb R$, alors
$$f(x_0,y)\leq \sup_{x\in A}f(x,y).$$
Puis je prendrais l'inf sur les $y$....
F.
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#10 22-11-2021 17:45:41
- Hasshass
- Membre
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- Messages : 8
Re : Comparaison de bornes
bojour les amis
[tex]soit\ y_0\in \mathbb{R} \\On \ a \ \forall\ x\in\mathbb{R}\ \inf(f(x,y)\leq f(x,y_0)\\donc \ \ sup\ inf(\ f(x,y),x\in\ A\,\ y\in\ B)\leq sup\ f(x,y_0)\\cad \ sup\ inf(\ f(x,y),x\in\ A\,\ y\in\ B)\leq inf\ (sup(fx,y_0),x\in\ A\ ,\ y_0\in\ B)[/tex]
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