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tibo

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base de polynômes

Salut,

Petite question posée par un ami qui passe l'agreg :

Soit [tex]n\in N[/tex].
Montrer que la famille des [tex]((X-k)^n)_{k\in[[0;n]]}[/tex] est une base de [tex]R_n[X][/tex].

Je me dis que par récurrence ça fonctionne :
[tex](X^n)[/tex] est libre.
[tex](X^n;(X-1)^n)[/tex] est libre. (Il suffit de considérer une combinaison linéaire nulle est de prendre X=0, X=1 pour prouver que les coefficients sont nuls.)
Ensuite supposons que [tex](X^n;...;(X-p)^n)[/tex] est libre. Montrons que [tex](X^n;...;(X-p-1)^n)[/tex] est libre.
On considère une combinaison linéaire nulle et on prend X=p+1.
Du coup le terme [tex](X-p-1)^n[/tex] disparait et il nous reste une combinaison linéaire nulle de la famille de l'hypothèse de récurrence.
Donc tout les coefficients sont nuls, et par conséquent celui de [tex](X-p-1)^n[/tex] aussi.

Est-ce que ça marche?

Dernière modification par tibo (25-03-2014 22:58:59)

Fred

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Re : base de polynômes

Salut,

  Non, cela ne marche pas. Pour t'en convaincre, ton raisonnement ne semble pas dépendre de p. Donc tu arrives à construire une famille libre de cardinal aussi grand que tu veux de [tex]\mathbb R_n[X] [/tex], qui est donc de dimension infinie!

Fred.

Fred

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Re : base de polynômes

Re-

  Peut-être que tu voudrais savoir comment faire...
Une solution peut être d'utiliser des déterminants....
comme dans cet exercice!

Fred.

tibo

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Re : base de polynômes

Merci,
Je n'aurais jamais pensé à faire ça.

Fred

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Re : base de polynômes

En fait, quand j'ai réfléchi à ton exo, je n'ai pas fait comme cela.
Je me suis dit : partons d'une relation de liaison
[tex]a_0 X^n +\dots+a_n (X-n)^n=0[/tex]
Je l'évalue en 0, j'obtiens une équation sur les [tex]a_i[/tex]
Je dérive cette relation, j'obtiens après simplification par n :
[tex]a_0 X^{n-1}+\dots+a_n (X-n)^{n-1}=0 [/tex]
Je l'évalue en 0, j'obtiens une autre équation sur les [tex]a_i[/tex]
On recommence en dérivant deux fois, trois fois, n fois... On obtient un système de (n+1) équations à (n+1) inconnues.
Si je regarde le déterminant de ce système, je trouve que c'est un déterminant de Vandermonde; j'en déduis la valeur
du déterminant, puis que la matrice du système est inversible, puis que tous les [tex]a_i[/tex] sont égaux.

Après coup, je me suis rendu compte que j'avais déjà rédigé une correction de l'exercice. L'idée est sensiblement la même,
en plus abrégé...

Fred.

tibo

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Re : base de polynômes

C'est fou comme ça se perd vite quand on en fait plus.
Voilà moins d'un an que j'ai passé l'agreg et j'ai l'impression de ne plus savoir faire la moitié de ce que je savais faire.

Sur ce, merci beaucoup