Enoncé 
Soient $(z_0,\dots,z_{n})$ des nombres complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille
$$\big( (X-z_0)^n,(X-z_1)^n,\dots,(X-z_n)^n\big)$$
est une base de $\mathbb C_n[X]$.
Indication 
Calculer le déterminant de cette famille dans la base $(1,X,\dots,X^n)$. On se ramènera
à un déterminant de Vandermonde.
Corrigé Calculons le déterminant de cette famille (de $(n+1)$ vecteurs dans un espace
de dimension $n+1$) par rapport à la base canonique $(1,X,\dots,X^n)$. On a
$$(X-z_i)^n=\sum_{j=0}^n \binom{n}{j}(-1)^{n-j}z_i^{n-j}X^j.$$
Le déterminant recherché est donc
\begin{eqnarray*}
\Delta&=&\left|
\begin{array}{cccc}
\binom{n}{0}(-z_0)^n&\binom{n}{0}(-z_1)^n&\dots&\binom{n}{0}(-z_n)^n\\
\binom{n}{1}(-z_0)^{n-1}&\binom{n}{1}(-z_1)^{n-1}&\dots&\binom{n}{1}(-z_n)^{n-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
\binom{n}{n}&\binom{n}{n}&\dots&\binom{n}{n}\\
\end{array}\right|\\
&=&\binom{n}{0}\binom{n}{1}\dots\binom{n}{n}\left|
\begin{array}{cccc}
(-z_0)^n&(-z_1)^n&\dots&(-z_n)^n\\
(-z_0)^{n-1}&(-z_1)^{n-1}&\dots&(-z_n)^{n-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
1&1&\dots&1\\
\end{array}\right|.
\end{eqnarray*}
On reconnaît un déterminant de Vandermonde, qui est non-nul puisque les $z_i$ sont supposés tous distincts.
La famille considérée est effectivement une base de $\mathbb C_n[X]$.
