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#1 05-01-2025 16:27:57
- bridgslam
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Clignotage
Bonjour ,
Avant que toutes les guirlandes des fêtes soient rangées, et les papiers d'emballage à la poubelle, je vous propose les deux petits dilemmes suivant:
Une guirlande clignotante est conçue pour briller une demi-seconde, puis s'éteindre un quart de seconde , puis briller 1/8 de seconde etc... Le processus commence à 0 s.
Au temps t=1s, est-elle allumée ou éteinte?
Victor a chiffonné le papier qui tapissait le fond d'une boîte contenant son cadeau, puis ne sachant qu'en faire, l'a jeté négligemment au fond de la boîte.
Est-il vraie qu'un point au moins du papier se retrouve à la verticale du point qu'il occupait lorsqu'il était à plat?
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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#4 05-01-2025 20:21:51
- bridgslam
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Re : Clignotage
Bonjour,
Merci pour vos idées.
Bonne soirée
Alain
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#6 06-01-2025 08:48:27
- bridgslam
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Re : Clignotage
Bonjour,
@Zebulor: hélas on ne sait pas ce qu'elle fait à partir de t=1s...
Tu as extrapolé en faveur d'un allumage, mais elle pourrait tout aussi bien être éteinte.
Bonne journée
Alain
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#8 06-01-2025 09:58:55
- Bernard-maths
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Re : Clignotage
Bonjour à tous !
Dans mon lit hier soir, je cogitais sur la guirlande ...
La série de 1er terme 1 et de raison 1/2 a pour moyenne entre 62% et 65%, donc la perception lumineuse devrait l'emporter, et donner l'impression que la guirlande est allumée à l'instant t = 1s ... MAIS rien ne permet de le savoir ! D'accord ave vous ...
Par contre on devrait pouvoir le calculer pour tout t < 1s ...
La boulette : rien à priori ne permet de conclure ???
Vous parlez de segments ... je ne vois pas bien. Par contre on peut imaginer que la surface du papier est recouverte par une "ligne" zigzagante démarrant en un point donné du papier (au fond ?), et que froissement envoie ce début ailleurs qu'à la verticale du point de départ ???
Bref, je vois pas !
Cordialement, Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (06-01-2025 10:01:28)
Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !
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#9 06-01-2025 13:57:50
- bridgslam
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Re : Clignotage
Bonjour Bernard,
On peut modéliser les projections successives ( boulette projetée sur le fond, puis cette partie du papier (belle et bien dans la boulette aussi ...) qui se projette dans la projection précédente, etc ) par
une sorte de suite de polygones pleins emboîtés sur le fond de la boite.
A l'instar en dimension 1 d'une suite de segments emboîtés, où un point au moins est forcément "sous" tous les segments, c'est la même idée avec des surfaces ici, plaquées successivement l'une dans l'autre (au sens large).
Je dis ça "avec les mains" mais ce n'est pas trop mathématique, donc il ne faut pas chercher trop loin (surtout pour un géomètre comme toi), l'idée est plus intuitive qu'autre chose... et vaguement topologique si tu préfères.
Alain
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#10 06-01-2025 16:12:53
- Zeus20
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Re : Clignotage
bonjour la team
je pense que Jai un raisonnement cohérant qui est le suivant ;
Pour la guirlande clignotante, elle suit une série géométrique où chaque intervalle de temps est la moitié du précédent. Au temps t=1s, la somme des intervalles de temps pendant lesquels la guirlande est allumée est égale à 1. Donc, à ce moment-là, elle est éteinte.
Pour le papier chiffonné Selon le (théorème de point fixe de Brouwer) , lorsqu'on déforme continuellement une surface (comme le papier), il y aura toujours au moins un point qui reste à la même position verticale. Donc, oui, il est vrai qu'un point au moins du papier se retrouve à la verticale du point qu'il occupait lorsqu'il était à plat
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#11 06-01-2025 18:32:51
- bridgslam
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Re : Clignotage
Bonsoir,
Pour la guirlande, on a juste le comportement entre 0 (inclus) et 1 exclus. Rien ne permet de dire ce qu'elle fait à t=1s.
C'est comme définir ici une fonction f étagée sur [0,1[ sans rien dire de f(1) : défini, pas défini? quelle valeur ?
La guirlande peut même tomber en panne à 1s, donc ni allumée (clair) , et dire qu'elle est éteinte devient délicat... n'étant plus dans son état normal.
Brouwer j'en ai entendu parler, effectivement, plutôt version coiffure avec au moins un épi sur la tête, ici j'essaie juste de comprendre la chose avec des idées terre à terre, et peu de mathématique même si elle est sans doute sous-jacente.
Bonne soirée
A.
Dernière modification par bridgslam (06-01-2025 18:46:34)
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#12 06-01-2025 21:03:08
- Zebulor
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Re : Clignotage
Pour la guirlande clignotante, elle suit une série géométrique où chaque intervalle de temps est la moitié du précédent. Au temps t=1s, la somme des intervalles de temps pendant lesquels la guirlande est allumée est égale à 1
Le problème me semble-t-il, est que c'est la somme infinie de termes qui vaut 1. Pour n"importe quel $t$ compris entre 0 inclus et 1 exclus il est possible de savoir l etat de la lampe, mais pas pour t=1.
Dernière modification par Zebulor (06-01-2025 21:08:46)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#13 24-01-2025 10:11:03
- agrega_sarrachles_tif
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Re : Clignotage
Pour le 2eme problème, il y a plusieurs théorème du point fixe qui sont plus ou moins difficile à montrer, selon les hypothèse. Là je pense qu'on peut supposer la fonction (celle qui associe à un point de la feuille sa position après froissage) contractante, c'est à dire il existe k<1 tq pour tout couple (x,y), d(f(x),f(y))<kd(x,y). Bon C'est une hypothèse un peu forte, c'est sur qu'elle est 1-lipschtzienne (k=1), puisque la feuille ne s'étire pas, mais qu'on puisse trouver k<1, ça dépend du froissage :p.
C'est le theoreme de banach picard, en regardant sur internet vous aurez une démo détaillé mais en gros, on considère un élément x_0 de E, et la suite des itérées x_n = f^n(x_0). La distance entre deux termes consécutifs décroit comme une suite géométrique, donc la suite converge. On verifie qu'elle cv vers un point fixe car lim(x_n)=lim(x_n+1)=lim(f(x_n)).
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#14 31-01-2025 11:19:35
- bridgslam
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Re : Clignotage
Bonjour,
Normalement, on n'est pas obligé d'avoir des hypothèses si fortes de contraction.
On a juste à supposer que les projections planes successives s'emboitent ( c'est clair) et sont des fermés bornés.
Dans un espace complet quelconque, l'hypothèse que les diamètres sont seulement finis (sans tendre vers 0) ne suffirait pas pour que l'intersection soit non vide (voir la démonstration du théorème de Riesz). Mais dans un espace euclidien, toute intersection d'une suite décroissante de fermés bornés non vides est non vide car ce sont des compacts, ce qui permet d'appliquer le théorème des compacts emboîtés.
Maintenant il existe peut-être des pliages/froissages pathologiques dont les projections ne contiennent pas leur frontière, mais c'est difficile à visualiser pour ma part.
Bonne journée
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#15 31-01-2025 12:27:21
- Michel Coste
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Re : Clignotage
Bonjour,
On a juste à supposer que les projections planes successives s'emboitent ( c'est clair)
Désolé, la signification de cette phrase n'est pas claire pour moi.
Par contre il est clair que c'est bien une application directe du théorème du point fixe de Brouwer déjà évoqué : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … ouwer.html
Il y en a une démonstration assez élémentaire au moyen du lemme de Sperner.
Dernière modification par Michel Coste (31-01-2025 12:28:20)
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#16 01-02-2025 08:36:28
- bridgslam
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Re : Clignotage
Bonjour
La projection de la partie de papier dans la boule qui est une projection sur le fond est incluse dans cette projection, en commençant par la boule de papier posée sur le fond.
Sauf erreur.
A
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#17 01-02-2025 09:24:18
- Bernard-maths
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Re : Clignotage
Bonjour à tous !
Et si on plie le papier du fond (20cm sur 20cm) sur lui même en deux puis en quatre (carré 10cm sur 10cm) ... et qu'on le déplace un poil (1cm vers la droite) ...
Y a t il un point à la verticale de sa position initiale ?
Si oui, le(s)quel(s) ???
Bernard-maths
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#18 01-02-2025 09:37:11
- bridgslam
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Re : Clignotage
Bonjour Bernard,
Cette mise en boule semble à première vue plus simple, car selon les deux axes // aux côtés du fond de la boîte, on a sauf erreur des segments emboités sur le fond de la boîte.
On doit naturellement retrouver "nos petits".
Alain
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#19 01-02-2025 09:56:12
- bridgslam
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Re : Clignotage
Bonjour,
Par-contre si les deux faces sont de couleurs différentes ( idée saugrenue, mais disons rouge et verte) tout est possible du point de vue des couleurs, points fixes retournés sur eux-mêmes ou pas, donc rouge touchant rouge ou pas.
Je ne sais pas si je suis clair...
Aucun intérêt mais bon...
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#20 01-02-2025 10:07:32
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : Clignotage
Par-contre j'imagine que si on considère que le papier a une certaine épaisseur, avec une couleur de variation continue via l'épaisseur pour passer du rouge au vert , en tenant compte des points de contact avec les 4 parois latérales en plus du fond, le débat est ouvert.
On doit pouvoir s'amuser avec une bande rectangulaire de pâte à modeler, style arc en ciel...
A.
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#21 01-02-2025 10:21:56
- Bernard-maths
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Re : Clignotage
Bonjour Alain !
Il me semble qu'avec mon approche on peut faire des calculs, et donc trouver un contre exemple ...
Je n'ai pas encore réfléchi à la suite, mais ça me titille.
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#22 01-02-2025 10:55:55
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : Clignotage
Bonjour,
Les questions où intervient la continuité (Brouwer, Picard, théorèmes de point fixe...) fournissent souvent des résultats pratiques saisissants.
J'ai en mémoire chez Pearson,( encore eux, désolé Michel, mais cette fois sans aucune ambiguïté de formulation), dans un préambule sur la continuité, une histoire de rencontre avec des mexicains et leurs sombreros, bien rigolote, jouant sur la continuité en deux variables ( je pourrai retrouver pour les détails).
Sinon, une anecdote simple pour illustrer ce genre de questions:
Un randonneur part d'un point A d'une vallée à 7h et atteint le sommet B de la colline à 20 h ( déjà la bonne colline :-) ).
Le lendemain, après une bonne nuit de récupération, il refait le trajet inverse avec les mêmes horaires ( en prenant son temps, si on imagine que la descente est plus facile que la veille).
Arrivé en bas, il rencontre par hasard son prof de topologie à qui il décrit son périple , et qui lui demande :
Vous êtes vous aperçu qu'à l'aller comme au retour vous êtes passé au même endroit au même moment ?
Est-ce vrai? Pourquoi?
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#23 01-02-2025 15:52:32
- Bernard-maths
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Re : Clignotage
Bonjour !
Il me seble que cela est équivalent à remplacer son retour par une personne faisant le trajet en même temps que lui avec les mêmes horaires départ arrivée.
Forcément ils vont se croiser ...
B-m
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#24 01-02-2025 17:04:50
- bridgslam
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Re : Clignotage
Eh oui, bien-sûr, bravo !
Bonne soirée
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