Grand oral de maths sur les intégrales

Borassus · 26-05-2024 11:02:18

[ suite 7 ]

Etudions maintenant le volume d'un corps de révolution.

Imaginons un vase obtenu en faisant tourner autour d'un axe vertical la courbe $x = f(y)$, $y$ allant de $\alpha$ à $\beta$.

Oui, vous avez bien lu : la variable est ici $y$ et le résultat du calcul est reporté sur l'axe $0x$.
Par exemple, voici les courbes de la fonction carré $x = y^2$ et de la fonction cosinus $x = \cos y$ vues de façon quelque peu inhabituelle :

Pour calculer le volume du vase, on va sommer des tranches circulaires de rayon $| f(y) |$ et d'épaisseur $dy$ :

Le volume d'une tranche est donc égal à $\pi f^2(y) dy$,
et le volume du vase est égal à

$V = \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \pi f^2(y) dy$

Là aussi, on va un peu au-delà de la sempiternelle aire sous une courbe...

Prodolgénié sliédouiet

komi37 · 26-05-2024 22:50:39

Bonsoir, merci beaucoup pour votre aide ça m'avance beaucoup ! (même si c'était difficile pour moi d'aborder tout ça en une journée...)
J'essaierai de travailler un peu sur ça demain, je reviendrai sûrement ici !!

Borassus · 27-05-2024 07:17:51

[ suite 8, et fin ]

Bonjour Komi, bonjour à ceux qui suivent cette discussion,

Je conçois que cela te fût difficile d'assimiler mon feuilleton, surtout en une journée. :-)
Reviens autant qu'il t'est (qu'il vous ?) est nécessaire. Si je ne suis pas en mesure de te répondre dans l'immédiat du fait de mon séjour de vacances, un de nos membres, par exemple DrStone, te répondra très sûrement.
_________________

Pour résumer, une grandeur peut être calculée par intégration s'il est possible de définir un élément pouvant être infiniment sommé.

Cet élément doit être composé d'une fonction, à une, deux, ou trois variables, multipliée par le produit des variations infinitésimales de ces variables, l'ordre d'intégration — de l'intérieur vers l'extérieur — étant celui du produit.

De plus, lorsqu'on intègre la fonction par rapport à une de ses variables, les autres variables sont considérées comme constantes.

Par exemple, l'intégrale $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \int_{\delta}^{\gamma} f(u,v)dudv$ doit être calculée en intégrant d'abord $f(u,v)$ entre $\delta$ et $\gamma$ par rapport à la variable $u$, ce qui produit une fonction $g$ en $v$, puis en intégrant la fonction $g(v)$ obtenue entre $\alpha$ et $\beta$ par rapport à $v$.

Alors que l'intégrale $\displaystyle \int_{\delta}^{\gamma} \int_{\alpha}^{\beta} f(u,v)dvdu$ doit être calculée en intégrant d'abord $f(u,v)$ entre $\alpha$ et $\beta$ par rapport à $v$, ce qui produit une fonction $h$ en $u$, puis en intégrant la fonction $h(u)$ obtenue entre $\delta$ et $\gamma$.

Bien évidemment, le résultat est le même quel que soit l'ordre d'intégration. (Par exemple, le volume d'un parallélépipède reste le même que l'on calcule $L \times H \times P$, ou $H \times P \times L$.)

Pour ce qui est des exemples, le calcul d'une aire ou d'un volume simples, comme par exemple l'aire d'un disque ou le volume d'une sphère, peut être traité rapidement.
Par contre, le calcul de la distance parcourue par un skateboarder sur une piste parabolique est bien plus riche, et fait bien mieux percevoir, à mon sens, ce que le raisonnement par intégrale peut apporter.

Vous pouvez maintenant comprendre pourquoi je suis si dubitatif face aux avis de certains profs sur la difficulté de tenir 10 minutes avec ce sujet.
Je crois au contraire qu'il faudra bien faire attention à tenir dans ces dix minutes, et donc bien préparer son exposé, car il y a de quoi dire !

Pour terminer, je dirais que l'ensemble formé par le calcul intégral et les équations différentielles — qu'on appelle justement "calcul différentiel et intégral" — représente sans doute le fondement d'une (très) grande partie de notre évolution technique et scientifique depuis le troisième quart du XVIIème siècle, lorsque Newton et Leibniz ont élaboré, chacun de son côté, la notion de dérivée.

Bon courage dans ta (votre ?) préparation !
J'espère que je vous aurai donné envie de poser la question « L'intégrale permet-elle d'aller au-delà du calcul de l'aire sous une courbe ? »

Bonne journée, et bon début de semaine.
Bien cordialement,
Borassus

Конец (konets, fin)

Dernière modification par Borassus (27-05-2024 07:20:41)

Eust_4che · 27-05-2024 10:15:44

Bonjour à tous et à toutes,

Sans me faire l'avocat du diable, je suis pas tout à fait à l'aise avec l'approche. Il me semble que le grand oral doit quand même valider une maîtrise du programme de mathématiques. Si l'élève est particulièrement doué, je ne vois pas de problèmes à ce qu'il s'échappe de celui-ci, dès lors qu'il prouve qu'il maîtrise les notions mathématiques qu'il utilise. Là, le sujet proposé est seulement fondé sur l'intuition, ne semble rien préciser, et dans certains cas

Bien évidemment, le résultat est le même quel que soit l'ordre d'intégration

est tout simplement faux (en tout cas imprécis). Je ne doute pas qu'un enseignant percevant que l'élève a été aidé lui demande de justifier l'interversion des intégrales, et demande davantage de détails. On risque donc de courir à la catastrophe.

E.

Borassus · 27-05-2024 14:08:19

Bonjour Eust_4che,

Je reprends ce qui est écrit sur le site education.gouv.fr (j'ai mis en gras et souligné) :

L’épreuve du Grand oral nécessite pendant l’année, de définir deux questions adossées sur les deux enseignements de spécialité, et de préparer une réponse argumentée à ces deux questions.
Dans la voie générale, les questions portent sur les enseignements de spécialité suivis en terminale.
Dans la voie technologique, elles s’adossent à l’enseignement de spécialité dans lequel une étude approfondie ou un projet, a été mené.
[...]
Le Grand oral vous forme à prendre la parole en public de façon claire et convaincante. Cette épreuve permet aussi d’utiliser vos connaissances (celles qui sont liées à vos spécialités) pour créer une argumentation et montrer en quoi elles sont essentielles pour votre projet de poursuite d'études et même votre projet professionnel.

Comment interpréter "adossées sur les enseignements de spécialité" ?
La définition que donne le Centre National de Ressources Textuelles et Lexicales (cnrtl.fr), que je consulte souvent, est « S'appuyer sur quelque chose, pour s'en servir comme d'un appui ».
Donc, dans cette acception "adossées sur les enseignements de spécialité" signifie "devant s'appuyer sur les enseignements de spécialité".

Il me semble que ce soit bien notre cas, non ?
Je ne propose pas un sujet qui d'emblée sort complètement du cadre de l'enseignement de spécialité ; je propose un sujet qui prolonge ce qui a été vu dans le cadre du programme.
Il n'est absolument pas indiqué que le sujet traité doit impérativement se situer strictement dans le programme de Terminale.

Par ailleurs, le Grand Oral n'est pas une épreuve de spécialité bis, la première étant écrite, la seconde étant orale.
(On n'est pas dans le cadre d'un Grand Oral du concours d'entrée à une certaine Grande Ecole !!)
Il s'agit de tester les capacités de l'élève à exposer oralement un sujet, et à l'argumenter.

Pour ce qui est de "simplement faux (en tout cas imprécis)", la nuance que tu évoques dépasse, en toute honnêteté, mon propre niveau actuel.

J'ai posé la question « Le résultat d'une intégrale double peut-il dépendre de l'ordre d'intégration ? » à ChatGPT.
Réponse :

Le résultat final d'une intégrale double ou triple ne dépend pas de l'ordre d'intégration, à condition que certaines conditions de régularité soient respectées. Ces conditions incluent principalement la continuité de la fonction et le fait que la région d'intégration soit correctement définie. Ce principe est basé sur le théorème de Fubini pour les intégrales multiples, qui stipule que si $f(x,y)$ est continue sur une région $D$ de $\mathbb{R}^2$ alors $|displaystyle \int \int_D f(x,y)dxdy = \int \int_D f(x,y)dydx$.
Cependant, il existe des situations où l'ordre d'intégration peut affecter le calcul :
1. Fonctions Discontinues ou Non Intégrables :
Si la fonction est discontinuité ou non intégrable sur la région d'intégration, le changement de l'ordre peut conduire à des résultats différents ou même à des intégrales divergentes.
2. Régions d'Intégration Complexes :
Pour des régions d'intégration plus complexes, les limites peuvent changer en fonction de l'ordre d'intégration, ce qui peut rendre le calcul plus ou moins facile, mais le résultat final restera le même tant que la fonction et les limites d'intégration sont correctement manipulées.
[Suit un exemple où l'ordre d'intégration peut être délicat à gérer.]

Je crois que ta rectification est celle d'un spécialiste de haut niveau.
Komi, et d'autres élèves qui auront opté pour ce sujet — j'en connais notamment une —, pourront toutefois avoir en réserve la réponse « Pour faire simple, l'ordre d'intégration ne modifie pas le résultat. Cependant, on m'a dit qu'il existe des situations où l'ordre d'intégration peut affecter le calcul. Mais ces situations dépassent mon niveau actuel d'élève de Terminale. »
Ce n'est pas pour autant que le sujet doit être jeté aux orties. L'élève précise simplement qu'il ou elle sait que l'affirmation initiale doit être nuancée, mais qu'elle ou lui n'a pas encore le niveau pour expliciter cette nuance.

qu'un enseignant percevant que l'élève a été aidé [...]

En quoi c'est rédhibitoire de se faire aider ??
Il est probable qu'une proportion importante des élèves, si ce n'est la grande majorité, se fait aider pour ce Grand Oral.

[...] lui demande de justifier l'interversion des intégrales, et demande davantage de détails.

Ce serait à mon sens une méchanceté gratuite de la part du prof, qui s'arrogerait un pouvoir que le cadre de l'examen ne lui confère pas.
(Je n'ai pas eu de retour de la part de mes élèves concernant un prof de la spécialité vicieux qui cherche à tout prix à piéger l'élève sur des points de détail.
J'insiste, l'objectif du Grand Oral n'est pas de s'assurer de la parfaite maîtrise du programme — c'est l'objet de l'épreuve écrite —, mais de tester les capacités de l'élève à présenter et à argumenter oralement le sujet qu'il aura choisi.)

Bonne seconde partie de journée.
Bien cordialement,
B.

DrStone · 27-05-2024 15:54:51

Bonjour.

Borassus a écrit :

En quoi c'est rédhibitoire de se faire aider ??
Il est probable qu'une proportion importante des élèves, si ce n'est la grande majorité, se fait aider pour ce Grand Oral.

Après il y a « se faire aider » et « se faire aider ». Or ici, il me semble que tu n’aides personne cher Borassus. Au contraire… tu as réalisé un sujet complet à la place des élèves… et ne vas pas croire que la majorité des malandrins un peu paresseux qui vont tomber sur cette discussion chercheront à comprendre ce que tu as écrit pour pouvoir répondre aux questions de leurs professeurs… pourquoi le feraient-ils alors qu’ils vont allègrement pomper ce qui se trouve sur un forum et que de toute façon leur Grand Oral (dans un futur plus ou moins proche) sera dans moins de 24h…? Bref, je suis du même avis : certains courent à la catastrophe.

Borassus · 27-05-2024 16:40:30

Bonjour Doc,

Je persiste et signe : l'objectif du Grand Oral n'est pas de tester des connaissances acquises par un moyen ou un autre, mais de tester la capacité à exposer oralement un sujet et à l'argumenter devant un auditoire somme toute réduit (un prof de la spécialité, et un prof d'une autre spécialité) !

Donc, à mon sens, peu importe comment le candidat s'est approprié son sujet, et sur quel site il l'a éventuellement pompé, ce qui importe c'est sa façon de l'exposer et de l'argumenter, clairement, et avec assurance.
(Les questions des deux profs ont davantage pour but de vérifier si l'élève perd ou non ses moyens à la moindre question qu'elle ou il n'avait pas prévue. Pas de lui chercher des poux dans la tête sur le contenu technique du sujet.)

Or, mieux un(e) candidat(e) comprend son sujet, plus il sera à l'aise.
(Les questions de Komi vont ce sens : elles montrent qu'il cherche à bien comprendre le fond du sujet.)

Je pense avoir écrit un cours — d'ailleurs beaucoup trop gros pour être utilisé comme tel à l'oral — qui permet de bien comprendre le sujet.
Je ne pense pas avoir rédigé la présentation, et avoir fourni un sujet tout cuit, prêt à emballer, qui ne nécessite pratiquement aucun effort de la part de l'élève.
(Je m'implique beaucoup plus dans le sujet de maths de mes élèves : on le travaille et retravaille ensemble jusqu'à ce que l'élève ait le sentiment de le maîtriser, du moins dans un contexte calme et non stressant. Malheureusement, mes élèves ont jusqu'ici manqué de chance : il tiraient l'autre sujet.)

Donc, de grâce, de grâce, ne vous focalisez pas sur le contenu technique du sujet !!
Je maintiens : c'est la bonne compréhension et la bonne maîtrise du sujet, obligatoirement acquises par le travail préparatoire, qui feront que l'élève se sentira à l'aise.

Maintenant, si certains veulent prendre le risque d'utiliser le sujet sans l'avoir compris, et sans même l'avoir préparé, c'est leur choix. Ils ne pourront s'en prendre qu'à eux-mêmes s'ils subissent une catastrophe.

Borassus · 27-05-2024 16:51:58

Je ne pense pas avoir rédigé la présentation, et avoir fourni un sujet tout cuit, prêt à emballer, qui ne nécessite pratiquement aucun effort de la part de l'élève.

Au contraire, les élèves qui voudront traiter ce sujet devront sans doute fournir un important travail de synthèse pour rédiger et préparer leur présentation !

DrStone · 27-05-2024 16:59:23

Rebonjour.

Borassus a écrit :

Je persiste et signe : l'objectif du Grand Oral n'est pas de tester des connaissances acquises par un moyen ou un autre, mais de tester la capacité à exposer oralement un sujet et à l'argumenter devant un auditoire somme toute réduit (un prof de la spécialité, et un prof d'une autre spécialité) !

Je persiste et signe : comme je l’ai déjà mentionné auparavant, cela me semble faux : raison pour laquelle « solidité des connaissances » est bien le premier critère de la liste, suivi peu ou prou par « relier les savoirs ».
Ce n’aurait après tout aucun sens de juger essentiellement un élève sur ses capacités oratoires : l’école n’est ni un théâtre ni un meeting politique ! Non, l’école est un lieu qui sanctionne la connaissance de connaissances/de savoirs (eh oui) ainsi que, surtout, la capacité de l’élève à les réutiliser dans différents contextes.

Enfin bon. J’imagine que notre petite discorde montre bien que ce Grand Oral n’est que de l’esbroufe et est le résultat de politiques totalement hors-sol.

Dernière modification par DrStone (27-05-2024 17:01:14)

Borassus · 27-05-2024 21:13:39

raison pour laquelle « solidité des connaissances » est bien le premier critère de la liste, suivi peu ou prou par « relier les savoirs ».

Hé bien, disons alors que je me suis efforcé de consolider les connaissances et de relier les savoirs, consolidation, je te rappelle, à laquelle tu as toi-même participé en aidant Komi à mieux comprendre ce que j'avais écrit.

DrStone · 27-05-2024 21:28:21

Bien sûr, j'ai aidé un élève à comprendre un point difficile : c'est le propre du présent forum si je ne m'abuse. En revanche, je ne lui ai pas fourni un sujet clefs-en-main ni n'ai fait 85% d'un sujet en y passant des dizaines d'heures sur plusieurs jours : ce qui est, à contrario, plutôt contraire à l'esprit du présent forum.

Règles a écrit :

Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...

Néanmoins, je ne nie pas que dans un tout autre contexte — hors Grand Oral, donc — tes différents messages dans ce type de discussions sont plutôt d'un très grand apport. Simplement, et je ne suis donc pas le seul, l'idée que tout ceci soit clefs-en-main et que tout soit donc, de fait, directement repompable (d'autant plus que ce sera, dans un avenir proche, mélangé n'importe comment par chatGPT) en l'état me gêne et me déplait.

DrStone · 27-05-2024 21:44:06

Toutefois, je reconnais volontiers que ce n'est pas à moi de trancher sur cette décision mais plutôt aux modérateurs et administrateurs. C'est finalement à eux qu'il revient de nous dire si ce que tu produis dans ces discussions est ou non accepté sur le forum. Et s'il s'avère que c'est accepté, tu ne me verras plus t'enquiquiner. ^_^

komi37 · 01-06-2024 20:01:57

Bonjour !
Je venais vous remercier pour l'aide que vous m'avez apporté, j'ai appris beaucoup de choses et c'était vraiment intéréssant !
Malheureusement je ne prendrais pas ce sujet pour mon grand oral car je ne me sens pas capable d'en parler, même si, j'ai beaucoup travaillé dessus. J'ai pu trouver un autre sujet qui est plus facile pour moi et ça rentre un peu dans mes compétences extra-scolaire (les courbes de Bézier). Mais, c'était passionant de découvrir les intégrales doubles, les calculs de courbes, ...
Je vous remercie tous encore une fois !

Borassus · 02-06-2024 22:57:27

Bonsoir, ou bonjour, Komi,

Merci de ton merci !
Je comprends tout à fait et n'en suis nullement offusqué.

Peut-être l'as-tu lu, j'avais conseillé l'année dernière à une élève de traiter les courbes de Bézier et l'avait accompagnée pour ce sujet.
Elle l'a beaucoup apprécié, d'autant plus qu'elle se destinait à des études nécessitant de dessiner sur ordinateur.
Malheureusement, elle n'a pas tiré ce sujet.

Comme une de mes élèves (brillante) a choisi le sujet sur les intégrales, avec la question que je préconisais, le fait d'avoir mis par écrit mes explications orales me permettra de mieux l'accompagner.

Bonne suite !
(J'ai apprécié ton désir de bien comprendre.)

komi37 · 03-06-2024 20:30:25

Bonjour, Borassus,

Effectivement, j'ai vu l'une de vos conversations où vous avez proposez de nombreuses idées pour le Grand Oral, d'où le fait que j'étais attiré par le thème des intégrales !
Cependant, en discutant avec plusieurs de mes professeur.e.s on a tous pu constater que c'était trop difficile pour moi et que ça me mettrais mal le jour de l'examen.
Néanmoins, j'ai adoré faire mes recherches sur les intégrales (j'ai été grandement aidé par mes professeur.e.s mais également par d'autres personnes sur Internet pour mieux comprendre le sujet, en comptant les personnes de ce forum telle que DrStone).

Ce qui est inatendu c'est le fait que J'ADORE les courbes de Bézier, mes recherches dessus étaient un vrai délice et 5min ne m'aurait pas suffit pour en parler, mon professeur lui-même m'a dit que j'ai fait un excellent travail en un week-end, je suis super réjouis, encore merci !
Je commence à m'éloigner du sujet de cette conversation, je vais éviter de m'étaler trop longtemps mais je voulais juste vous faire savoir que je vous remercie infiniment d'avoir proposé des sujets sur ce forum. Je ne saurais pas comment j'aurais fait pour trouver un sujet passionant par moi-même.

+ J'ai pu aussi découvir le LaTex, je trouve ce language de code super utile et efficace, ça m'a permis de facilement communiquer mes besoins par messages et c'est génial !

Merci !

Bonne journée !

Dernière modification par komi37 (03-06-2024 20:32:09)

Zebulor · 03-06-2024 21:57:31

Bonsoir,
j'avais découvert par hasard les courbes de bézier sur ce site :

https://www.bibmath.net/dico/index.php? … ezier.html

https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_B%C3%A9zier

Dernière modification par Zebulor (03-06-2024 21:58:27)

Borassus · 04-06-2024 06:55:02

Bonjour Komi,

Oh que ta façon de te passionner est plaisante !!
Elle te permettra d'aller plus loin que ce que tu apprendras en cours.

A propos des courbes de Bézier, voici ce que j'écrivais dans la discussion initiée par nolann_lm20 (discussion fermée) et intitulée "Aide grand oral" :

Lien vers une vidéo expliquant bien le principe : https://www.youtube.com/watch?v=Hm-HO-HtVYo
Petit conseil : exerce-toi d'abord sur Inskape (logiciel de dessin gratuit pouvant très honorablement tenir la comparaison avec Adobe Illustrator) pour comprendre comment les courbes de Bézier sont implémentées ; puis passe sur Word pour voir comment elles y sont interprétées et quelles sont les différences les plus évidentes avec Inskape.
Le texte préparé pour le grand oral (malheureusement, mon élève a tiré l'autre sujet en physique ; elle désirait vraiment tirer le sujet sur les courbes) : https://www.cjoint.com/c/NEjh1DgG1RD
Un texte explicatif avec un joli tracé de courbe : https://www.cjoint.com/c/NEjim1ClCpD
Les courbes x(1 - x) — en vert — et x² — en bleu — entre 0 et 1 : https://www.cjoint.com/c/NEjihBBz6JD
Tu peux voir que l'influence de B augmente jusqu'à t = 1/2, puis diminue jusqu'à disparaître.
L'influence de C, nulle au début, augmente sans cesse.
A partir de t = 1/2, elle devient prédominante.
Pour illustrer le principe des courbes de Bézier, tu peux demander à ton auditoire d'imaginer le trajectoire que suivent quatre mouches (ou quatre fourmis, si tu préfères) Adèle, Berthe, Charlotte, Dorothée placées initialement aux quatre sommets d'un carré : Adèle se dirige "en diagonale" vers Berthe, Berthe se dirige "en diagonale" vers Charlotte, Charlotte se dirige "en diagonale" vers Dorothée, et Dorothée se dirige se dirige "en diagonale" vers Adèle... :-)

Je pense que tu as de quoi compléter les connaissances que tu as déjà acquises.
(J'imagine que tu es bien au-dessus de la solution de facilité consistant à pomper simplement le texte de présentation... :-)

Comme tu pourras le voir, le courbe expliquant le principe est assez facile à préparer lors de la vingtaine de minutes qui te seront octroyées pour préparer ton exposé.

Dernière modification par Borassus (05-06-2024 06:15:08)

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#26 26-05-2024 11:02:18

Re : Grand oral de maths sur les intégrales

#27 26-05-2024 22:50:39

Re : Grand oral de maths sur les intégrales

#28 27-05-2024 07:17:51

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