Grand oral de maths sur les intégrales

ricardo7 · 17-04-2024 17:59:09

Bonjour,
J'ai besoin de votre aide je cherche une question et un sujet pour mon grand oral de maths je me demandais si ma question était un bon point de départ c'est "Comment les intégrales peuvent nous permettre de régler nos problèmes de débits d'eau ?"
C'est une première question je n'arrive pas à trouver de bon sujet qui me correspond.
Par avance merci.

Borassus · 17-04-2024 18:44:35

Salut Ricardo,

Un des sujets que je propose à mes élèves de Terminale pour le Grand oral : calcul d'aires et de volumes à l'aide de l'intégrale simple.

Je t'assure qu'il y a de quoi dire.

Borassus · 17-04-2024 19:29:47

Avec une simple intégrale simple, tu peux calculer, par exemple :

l'aire d'un rectangle ;
le volume d'un parallélépipède ;
l'aide d'un disque ;
le volume d'un cône de révolution ;
le volume d'une sphère ;
le volume d'un vase sur le tour d'un potier

la problématique étant « L'intégrale permet-elle d'aller au-delà du calcul de l'aire sous une courbe ? »

Dernière modification par Borassus (17-04-2024 19:32:51)

ricardo7 · 18-04-2024 11:43:03

Merci beaucoup pour votre aide je vais me servir de votre problématique.
Bonne journée.

Borassus · 19-04-2024 23:20:47

Bonsoir Ricardo, bonsoir à tous,

Le principal, dans l'utilisation de l'intégrale à d'autres fins que le calcul de l'aire sous une courbe — pourquoi on ne vous limite l'explication de l'intégrale qu'à cette seule utilisation ??!! —, est de bien choisir la logique d'intégration.

Par exemple, pour calculer l'aire d'un disque de rayon $R$, il faut considérer l'aire comme la somme des aires des anneaux de périmètre $2\pi r$ et d'épaisseur infiniment fine $dr$, la variable d'intégration $r$ allant de $0$ à $R$.

L'intégrale s'écrit alors [tex]\displaystyle \int_0^R \:2\pi rdr[/tex]

Dernière modification par Borassus (19-04-2024 23:37:21)

Borassus · 02-05-2024 22:43:36

Bonsoir Ricardo, ainsi qu'à ceux qui entrent dans cette discussion,

Bonsoir à tous,
Je me posais une question pour mon grand oral je me demandais si juste dire comment calculer l'air d'un disque était suffisant comme problématique ou si il fallait que je l'applique à un cas concret de la réalité.
Par avance merci.
Cordialement.

Visiblement, tu t'es trompé de discussion, et ton message concernait la discussion que tu as toi-même initiée. :-)

Je rappelle la problématique que j'ai proposée plus haut :

« L'intégrale permet-elle d'aller au-delà du calcul de l'aire sous une courbe ? »

Le calcul de l'aire d'un disque est juste un exemple parmi d'autres (revoir mon poste #3).

komi37 · 22-05-2024 18:07:35

Bonjour,
Je souhaite également faire mon grand oral sur les intégrales mais malheureusement mes professeurs m'ont dit que ça risque d'être court pour 10min. Je ne sais pas sur quoi me pencher sachant que j'ai mes épreuves de mes autres spécialités qui commence dans même pas 3 semaines, ça risque d'être dur et je ne sais pas quoi faire. Que peut-on dire de plus sur les intégrales s'il vous plaît ?

Borassus · 22-05-2024 18:58:56

Bonsoir Komi,

Je suis à chaque fois étonné de cette réponse, car il y a, à mon sens, (largement) de quoi dire.

J'ai une élève qui a insisté pour que sa prof accepte de signer car, je cite « [..] c'est un sujet qui me plaît et que je saurai exploiter au mieux. »

Tout est là : il faut que le sujet que tu choisis te plaise, quel qu'il soit !
S'il le sujet te plaît, tu sauras trouver les mots et les développements pour transmettre ton enthousiasme. (Et les dix minutes te sembleront trop courtes.)

Borassus · 23-05-2024 09:39:37

Bonjour,

komi37 a écrit :

Que peut-on dire de plus sur les intégrales s'il vous plaît ?

Je me sens quelque peu responsable d'avoir proposé l'extension de la notion d'intégrale au-delà du calcul de l'aire sous une courbe, sujet qui apparemment semble vous intéresser, mais qui repousse les murs étroits de la notion d'intégrale telle qu'elle est enseignée en Terminale.

Aussi vais-je développer un peu les éléments qui peuvent vous servir de guide pour la préparation de votre Grand Oral, si vous choisissez ce sujet.

Tout d'abord, c'est le point fondamental, il faut bien comprendre ce que signifie le produit $f(x)dx$ entrant dans l'écriture de l'intégrale.

Voici l'exemple illustratif que je montre à mes élèves : je leur demande de me fournir un livre épais, typiquement un dictionnaire, et trace au crayon une courbe quelconque sur la tranche du livre placé verticalement.
Le produit $f(x)dx$ représente tout simplement l'aire délimitée par la hauteur d'un point de la courbe et l'épaisseur de la feuille. Donc, $f(x)dx$ désigne l'aire d'un rectangle infiniment fin de hauteur $f(x)$ et de largeur $dx$, la lettre $d$ devant une expression signifiant, pour faire simple, une variation infiniment petite de l'expression.

Autrement dit, concrètement, une grandeur physique (aire, volume, mais aussi bien d'autres grandeurs) peut être calculée en tant que somme infinie d'un élément particulier, dont une composante est infiniment petite.

Exemples :

L'aire d'un rectangle peut être calculée en tant que somme verticale de rectangles horizontaux infiniment fins de largeur $L$ et d'épaisseur $dh$, ou comme somme horizontale de rectangles verticaux infiniment fins de hauteur $H$ et de largeur $dl$.

Le volume d'un parallélépipède peut être calculé en tant que somme verticale de parallélépipèdes horizontaux infiniment fins d'aire $L \times P$ et d'épaisseur $dh$, ou en tant que somme horizontale de parallélépipèdes infiniment fins d'aire $H \times P$ et d'épaisseur $dl$, $L$ désignant la longueur, $H$ la hauteur, et $P$ la profondeur. (Essayez d'imaginer les variantes possibles : du bas vers le haut, de gauche à droite, d'avant en arrière...)

L'aire d'un disque de rayon peut être calculée comme étant la somme d'anneaux concentriques infiniment fins de périmètre $2\pi r$ et d'épaisseur $dr$.

Le volume d'un cylindre peut être calculé en tant que somme de cylindres infiniment fins d'aire $\pi R^2$ et d'épaisseur $dh$.

Le volume d'une sphère peut être calculé en tant que somme de "pelures d'oignon" infiniment fines d'aire $4 \pi r^2$ et d'épaisseur $dr$.

Le volume d'un cylindre de révolution peut être calculé en tant que somme de cylindres infiniment fins d'aire $\pi r^2$ et d'épaisseur $dh$. (Il faut alors déterminer $r$ en fonction de la cote $h$ du cylindre.)

Vous voyez que cette logique permet de calculer un grand nombre de grandeurs.
Voir la liste d'exemples d'applications pratiques fournie par ChatGPT que j'ai publiée plus haut dans cette discussion.
Voici aussi celle, plus courte, fournie par Mistral AI :

L'intégrale simple a de nombreuses applications pratiques dans divers domaines. En voici quelques exemples :
1. Calcul d'aires : L'une des applications les plus courantes de l'intégrale simple est le calcul d'aires de figures géométriques complexes. Par exemple, l'aire comprise entre la courbe d'une fonction et l'axe des abscisses sur un intervalle donné est égale à l'intégrale de cette fonction sur cet intervalle.
2. Physique : Dans le domaine de la physique, l'intégrale simple est utilisée pour calculer le travail effectué par une force variable. Par exemple, si une force F(x) est appliquée sur un objet et qu'il se déplace de la position a à la position b, le travail effectué par cette force est donné par l'intégrale de F(x) de a à b.
3. Probabilités et statistiques : L'intégrale simple est utilisée pour calculer les probabilités dans le cas de variables aléatoires continues. Par exemple, si f(x) est la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire X, la probabilité que X soit comprise entre a et b est égale à l'intégrale de f(x) de a à b.
4. Économie : En économie, l'intégrale simple peut être utilisée pour calculer des quantités cumulées au fil du temps. Par exemple, si C(t) représente le coût de production d'un bien à l'instant t, l'intégrale de C(t) de t1 à t2 donne le coût total de production de ce bien entre les instants t1 et t2.

Vous avez donc un choix important d'exemples concrets ! Choisissez celui ou ceux qui vous conviennent le mieux.

La clé de toutes ces intégrales est de déterminer l'élément de base, dont une des dimensions doit être infiniment petite, qui devra être sommée.

Mon prochain post portera sur l'imbrication, double ou triple, d'intégrales simples.
N'hésitez pas, en attendant, à demander des précisions si quelque chose ne vous semble pas clair.

PS : Toute intervention de la part de nos amis "non lycéens" permettant de m'aider à vous aider sera la bienvenue. :-)

Dernière modification par Borassus (23-05-2024 18:17:03)

Borassus · 23-05-2024 21:08:00

[ suite 1 ]

Reprenons maintenant les exemples, simples mais à réelle portée pédagogique, de l'aire d'un rectangle et du volume d'un parallélépipède.

Pour l'aire d'un rectangle, on peut en premier lieu considérer un rectangle infiniment petit de dimensions $dl \times dh$.
Ce rectangle peut être sommé de deux façons :

le long de la largeur, ce qui correspond à l'intégrale $ \displaystyle\int_{0}^{L} dh \cdot dl = \bigg[ \: dh \cdot l \: \bigg]_0 ^L = L dh$, qui "trace" le trait de largeur $L$ ;

le long de la hauteur, ce qui correspond à l'intégrale $ \displaystyle\int_{0}^{H} dl \cdot dh = \bigg[ \: dl \cdot h \: \bigg]_0 ^H = H dl$, qui "trace" le trait de hauteur $H$.

Une fois obtenu le trait horizontal ou le trait vertical, on peut calculer l'aire du rectangle de deux façons, comme évoqué dans mon post précédent :

en sommant le trait horizontal le long de la hauteur, ce qui correspond à l'intégrale $\displaystyle \int_0 ^H L dh = \bigg [ Lh \bigg]_0 ^H = LH$ ;

en sommant le trait vertical le long de la largeur, ce qui correspond à l'intégrale $\displaystyle \int_0 ^L H dl = \bigg [ Hl \bigg]_0 ^L = HL $.

Les deux intégrales successives, la première pour obtenir le trait horizontal ou le trait vertical, la seconde pour obtenir l'aire du rectangle, s'écrivent, en les imbriquant (les intégrales doivent être calculées de l'intérieur vers l'extérieur) :

$\displaystyle \int_0^H \int_0 ^L dl \cdot dh$, qui correspond à la réalisation du trait horizontal, suivie de l'obtention de l'aire du rectangle le long de la hauteur.

$\displaystyle \int_0^L \int_0 ^H dh \cdot dl$, qui correspond à la réalisation du trait vertical, suivie de l'obtention de l'aire du rectangle le long de la largeur.

Bien évidemment, les deux logiques mènent à la même aire (et pas à la mémère :-).
Ce serait en effet étonnant qu'on obtienne deux valeurs différentes !

Suite au prochain numéro. (Pour réduire la charge d'écriture, pour moi, et de lecture, pour vous, je vais "feuilletonner" mon exposé.)

Dernière modification par Borassus (24-05-2024 13:46:21)

Borassus · 24-05-2024 11:05:20

[suite 2]

Bonjour,

Que représente, graphiquement, une intégrale double d'une fonction à deux variables ?

Tout d'abord, une fonction à deux variables $x$ et $y$ est représentée par une surface d'équation $z = f(x , y)$, qu'on ne peut visualiser qu'en 3D, et souvent peu évidente à interpréter car il faut penser en $x$ constants et en $y$ constants.

Un exemple classique d'une telle surface est celle de la paraboloïde hyperbolique, d'équation $z = x² - y²$, reconnaissable par sa forme de selle d'équitation, et souvent utilisée en architecture, comme le montre la photo du Musée océanographique de Valence, en Espagne :
https://www.cjoint.com/c/NEyhxmhP7iD (source mathcurve.com)
https://www.cjoint.com/c/NEyhHSU1B3D (source lifeder.com)

Une intégrale double représente le volume entre la surface $z = f(x,y)$ et le plan $(Ox,Oy)$, délimité par les bornes des abscisses et par les bornes des ordonnées, l'élément de base sommé étant un parallélépipède "vertical" de hauteur $f(x,y)$ et de base infiniment petite d'aire $dx \times dx$.
(La logique de fond est donc la même que pour une intégrale simple : celle-ci calcule l'aire sous la courbe et l'axe des abscisses, délimitée par les bornes sur $x$, l'élément de base sommé étant un rectangle "vertical" de hauteur $f(x)$ et de largeur infiniment petite $dx$.)

Ainsi l'intégrale double $ \displaystyle \int_{-2}^{3} \int_{1}^{2} (x^2 - y^2) dxdy $ se calcule successivement comme suit :

$ \displaystyle \int_{-2}^{3} \int_{1}^{2} (x^2 - y^2) dxdy \quad = \quad \int_{-2}^{3} \bigg [ \dfrac {x^3}{3} - y^2x \bigg ]_1 ^2 dy$

$\displaystyle = \int_{-2}^{3} \bigg [ \left ( \dfrac 8 3 - 2y^2 \right ) - \left ( \dfrac 1 3 - y^2 \right ) \bigg ] dy$

$\displaystyle = \int_{-2}^{3} \left ( \dfrac 7 3 - y^2 \right )dy \quad = \quad \bigg [ \dfrac 7 3 y - \dfrac {y^3}{3} \bigg ]_{-2}^3$

$= (7 - 9) - \left ( - \dfrac {14}{3} + \dfrac 8 3 \right ) \quad = \quad 2 + \dfrac 6 3 \quad = \quad 4$

Oui, les intégrales doubles sont totalement en dehors du sacro-saint programme de Terminale !
Mais vous voyez qu'à partir du moment où vous comprenez le principe de l'intégrale simple, l'intégrale double n'est qu'une application de deux intégrales simples imbriquées. (Je demande parfois à des élèves de Terminale de calculer des intégrales doubles ou triples.)

Elle nécessite davantage d'attention que l'intégrale simple — ne confondez pas difficulté due à l'attention qu'il faut porter et difficulté due au concept ! —, mais la logique reste fondamentalement la même.

La suite suit.

Dernière modification par Borassus (24-05-2024 13:45:36)

Borassus · 24-05-2024 15:46:46

[ suite 3 ]

Pour le volume d'un parallélépipède de dimensions $L \times P \times H$, la logique est de même nature que pour les intégrales simple et double :
on somme un parallélépipède infiniment petit de dimensions $dx \times dp \times dh$ selon l'un des trois axes ; le trait ainsi obtenu est sommé selon l'un des deux axes restants, ce qui génère une des faces ; la face ainsi obtenue est sommée selon l'axe restant, ce qui permet de générer le parallélépipède.

Il y a donc $3! = 6$ façons de calculer le volume d'un parallélépipède en partant de l'origine (le coin avant inférieur gauche du parallélépipède est placé sur l'origine du repère) :

[tex]\displaystyle \int_0^H \int_0^P \int_0^L dxdydz[/tex]
génération de l'arête inférieure avant, puis génération de la face inférieure, puis génération du parallélépipède

[tex]\displaystyle \int_0^P \int_0^H \int_0^L dxdzdy[/tex]
génération de l'arête inférieure avant, puis génération de la face avant, puis génération du parallélépipède

[tex]\displaystyle \int_0^H \int_0^L \int_0^P dydxdz[/tex]
Génération de l'arrête inférieure gauche, puis génération de la face inférieure, puis génération du parallélépipède

[tex]\displaystyle \int_0^L \int_0^H \int_0^P dydzdx[/tex]
Génération de l'arrête inférieure gauche, puis génération de la face gauche, puis génération du parallélépipède

[tex]\displaystyle \int_0^P \int_0^L \int_0^H dzdxdy[/tex]
Génération de l'arête avant gauche, puis puis génération de la face avant, puis génération du parallélépipède

[tex]\displaystyle \int_0^L \int_0^P \int_0^H dzdydx[/tex]
Génération de l'arête avant gauche, puis génération de la face gauche, puis génération du parallélépipède

L'année dernière, j'ai expliqué le principe à une élève de 4ème : nous réalisions le parallélépipède avec des morceaux de sucre.
Et je suis persuadé qu'on pourrait faire construire des parallélépipèdes selon ces six façons à des enfants de maternelle en utilisant des cubes (sans bien sûr leur dire qu'on les initie aux intégrales triples, sous peine de voir débarquer des parents teigneux menaçant de porter plainte pour "violence intellectuelle sur de jeunes enfants" :-).

Pour ce qui est de l'intégrale triple d'une fonction à trois variables, de telles fonctions ne sont pas représentables graphiquement en une seule vision.
Mais le mode de calcul est identique à celui montré pour les intégrales doubles, si ce n'est qu'il y a un niveau d'imbrication supplémentaire.

A titre d'exercice, je vous propose de calculer l'intégrale suivante :

[tex]\displaystyle \int_0^2 \int_1^3 \int_2^4 (x + xy + xyz)dxdydz[/tex]

La suite suit.

Dernière modification par Borassus (24-05-2024 16:00:21)

komi37 · 25-05-2024 11:09:14

Bonjour, j'ai encore du mal avec les notations. Comment ça se fait que l'intégrale de dh.dl devient [dh.l] ? C'est une primitive ce que vous avez fait ?

Borassus a écrit :

le long de la largeur, ce qui correspond à l'intégrale $ \displaystyle\int_{0}^{L} dh \cdot dl = \bigg[ \: dh \cdot l \: \bigg]_0 ^L = L dh$, qui "trace" le trait de largeur $L$ ;

Dernière modification par komi37 (25-05-2024 11:10:05)

DrStone · 25-05-2024 15:44:30

Bonjour.

Il s'agit d'une des primitives de $\mathrm{d} h \cdot \mathrm{d} l$, exactement de la même manière que pour calculer
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\mathrm{d}x\]
tu te retrouves à chercher la primitive (parmi d'autres à constante près)
\[\sin(x)\]
afin d'écrire
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\mathrm{d}x=\bigg[\sin(x)\bigg]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\sin(\frac{\pi}{2})-\sin(0)=1.\]
La seule différence ici, c'est que notre ami Borassus a intégré sur une seule variable de la fonction $f(h,l)=\mathrm{d}h\cdot\mathrm{d}l=(1\times\mathrm{d}h)\cdot(1\times\mathrm{d}l)$ et non sur les deux. Tu peux réécrire ce qu'il a écrit sous la forme
\[\int_{l=0}^{l=L} \mathrm{d}h \cdot \mathrm{d}l = \bigg[ \: \mathrm{d}h \cdot l \: \bigg]_{l=0}^{l=L} = L \mathrm{d}h\]
afin d'indiquer la variable d'intégration, ou encore
\[\int_{l=0}^{l=L} \mathrm{d}h \cdot \mathrm{d}l = \underbrace{\mathrm{d}h}_{\text{constante}} \int_{l=0}^{l=L} \mathrm{d}l = \underbrace{\mathrm{d}h}_{\text{constante}} \bigg[ \: l \: \bigg]_{l=0}^{l=L} = L \mathrm{d}h\]
si c'est plus clair comme cela.

Dernière modification par DrStone (25-05-2024 15:54:11)

komi37 · 25-05-2024 17:42:39

Bonjour, c'est super clair, ça va me permettre d'avancer correctement, merci beaucoup !!!!

DrStone a écrit :

Bonjour...

Dernière modification par komi37 (25-05-2024 17:42:55)

komi37 · 25-05-2024 17:47:54

J'ai à nouveau une question, pourquoi avez-vous calculé $ \displaystyle \int_{-2}^{3} (x^2 - y^2) dy $ et non $ \displaystyle \int_{1}^{2} (x^2 - y^2 ) dx $ ?
D'ailleurs, comment pourrais-je aborder ça au grand oral alors que l'on n'a pas vu les intégrales double en Terminale ?

Borassus a écrit :

[suite 2]
Ainsi l'intégrale double $ \displaystyle \int_{-2}^{3} \int_{1}^{2} (x^2 - y^2) dxdy $ se calcule successivement comme suit :
$ \displaystyle \int_{-2}^{3} \int_{1}^{2} (x^2 - y^2) dxdy \quad = \quad \int_{-2}^{3} \bigg [ \dfrac {x^3}{3} - y^2x \bigg ]_1 ^2 dy$
$\displaystyle = \int_{-2}^{3} \bigg [ \left ( \dfrac 8 3 - 2y^2 \right ) - \left ( \dfrac 1 3 - y^2 \right ) \bigg ] dy$
$\displaystyle = \int_{-2}^{3} \left ( \dfrac 7 3 - y^2 \right )dy \quad = \quad \bigg [ \dfrac 7 3 y - \dfrac {y^3}{3} \bigg ]_{-2}^3$
$= (7 - 9) - \left ( - \dfrac {14}{3} + \dfrac 8 3 \right ) \quad = \quad 2 + \dfrac 6 3 \quad = \quad 4$

DrStone · 25-05-2024 19:31:25

Mais… il calcule bien
\[\int_{1}^{2} (x^2 - y^2 ) \mathrm{d}x.\]
Il s'agit de la première primitive utilisée dans son calcul :
\[\int_{1}^{2} (x^2 - y^2 ) \mathrm{d}x = \bigg [ \dfrac {x^3}{3} - y^2x \bigg ]_1 ^2 = \left(\frac{7}{3}-y^2\right).\]

—————————

Notez l'étourderie de Borassus qui a oublié de soustraire un $\frac{1}{3}$. En effet,
\[\bigg[\frac{x^3}{3}\bigg]_{1}^{2}=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}.\]
On voit ici qu'une simple étourderie amène à de très grandes conséquences : prenez gare à ne jamais vous précipiter sur des calculs. Cette étourderie à malheureusement ici pour conséquence de fausser tout le calcul qui vaut, me semble-t-il, normalement $0$.
Ah non, je n'ai rien dit. Comme quoi. Je m'étais concentré sur les deux premières lignes et il n'a pas fait une erreur à cet endroit mais plus probablement après. WolframAlpha à l'appui :
NEzrRSshQi3_Capture-d%E2%80%99e%CC%81cran-2024-05-25-a%CC%80-19.29.54.png
Du coup j'ai voulu refaire le calcul pour en avoir le cœur net et le voici:

\[
\begin{align}
\int_{-2}^{3} \int_{1}^{2} (x^2 - y^2) dxdy & = \int_{-2}^{3} \bigg [ \dfrac {x^3}{3} - y^2x \bigg ]_1 ^2 dy \\
& = \int_{-2}^{3} \frac{7}{3} - y^2 dy \\
& = \bigg [ \frac{7}{3} - y^2 \bigg ]_{-2} ^{3} \\
& = \left(\frac{7\times3}{3} - \frac{7\times(-2)}{3}\right) - \left(\frac{3^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3}\right) \\
& = \left(7 + \frac{14}{3}\right) - \left(9 + \frac{8}{3}\right) \\
& \color{lightgray}{=\frac{35}{3}-\frac{35}{3}=0}\\
& = \left(7-9\right) + \left(\frac{14}{3} - \frac{8}{3}\right) \\
& = (-2) + \frac{6}{3}\\
& = 2 - 2 \\
& = 0.
\end{align}
\]

Et c'est là que j'ai eu la révélation : Borassus c'est emmêlé les pinceaux sur les signes à la toute fin de son calcul.
Le plus étonnant finalement, c’est que personne ne l’ait relevé en plus d’une journée.

[EDIT] Dernière faute de frappe corrigée à 20h41.

Dernière modification par DrStone (25-05-2024 20:41:20)

komi37 · 25-05-2024 21:01:20

Excusez-moi, je n'avais pas compris comment on calculait les intégrales doubles et j'ai posé la question sur l'imméditat. Après quelques recherche j'ai mieux compris le concept mais maintenant je l'a comprend mieux avec ce que vous avez fait,merci beaucoup !!!

DrStone a écrit :

Mais… il calcule bien
[EDIT] Dernière faute de frappe corrigée à 20h41.

Borassus · 25-05-2024 21:26:47

[suite 4 ]

Bonsoir Komi, et bonsoir tous ceux qui suivent cette discussion,

Excusez-moi, j'ai été pris toute la journée et n'ai pu me remettra à mon clavier que maintenant.
Merci Doc d'avoir pris le relais.

Il est très important de comprendre qu'une variable n'est pas forcément désignée par $x$ !!!

La variable d'une fonction peut être désignée par $x$, $s$, $t$, $y$ , $schroumpf$ , $quelquechose$ ...

Ce qu'il faut comprendre, c'est la LOGIQUE de la fonction par rapport à SA variable.

Par exemple, $f(x) = x^2 +e^x + \dfrac 1 x$ signifie que si la variable est désignée par "schmilblick", le résultat du calcul sera $\text {schmilblick}^2 + e^{\text {schmilblick}} + \dfrac 1 {\text {schmilblick}}$.

Et si la variable est $5s -2$, le résultat du calcul est $(5s - 2)^2 + e^{5s - 2} + \dfrac 1 {5s - 2}$.

Deuxième point très important qu'il faut comprendre : c'est qu'une fonction est TOUJOURS dérivée par rapport à SA variable.
Donc la fonction définie par $f(5s - 2) = (5s - 2)^2 + e^{5s - 2} + \dfrac 1 {5s - 2}$ doit être dérivée par rapport à SA variable $5s - 2$, et non par rapport à $s$ !
Donc $f'(5s - 2) = 2(5s - 2) + e^{5s - 2} - \dfrac 1 {(5s - 2)^2}$

Si par contre la fonction est définie par $f(s) = (5s - 2)^2 + e^{5s - 2} + \dfrac 1 {5s - 2}$, là il faut multiplier la dérivée par rapport à $5s - 2$ par la dérivée de $5s - 2$ par rapport à la variable finale $s$ :
$f'(s) = \bigg [2(5s - 2) + e^{5s - 2} - \dfrac 1 {(5s - 2)^2} \bigg ] \times 5$

La suite suit.

Dernière modification par Borassus (25-05-2024 22:19:05)

DrStone · 25-05-2024 21:56:46

Bonsoir Borassus.

Juste pour info : j'ai du mal à comprendre ton dernier post qui est dans un style bien différent de ce que tu proposais plus haut. Je n'ose donc imaginer la peine que vont avoir les élèves qui vont essayer de le lire !

Borassus · 25-05-2024 22:22:03

Bonsoir Doc,

Je clarifierai autant qu'il est nécessaire à la demande. Promis.

Pour l'instant j'élabore la suite, dans laquelle j'explique où je veux en venir.

Borassus · 26-05-2024 00:09:52

[ suite 5 ]

Le raisonnement par rapport à la primitive est du même ordre :

Déterminer la primitive d'une fonction se dit intégrer la fonction. Pourquoi ?
Parce qu'on détermine la primitive de la fonction d'une variable, multipliée par la variation infiniment petite (pour faire simple) de la variable.
Donc on détermine la primitive à constante nulle, que j'appelle "algébrique", de $f(\text{variable}) \times d\text{variable}$, primitive qu'on note $\displaystyle \int f(\text{variable}) \times d\text{variable}$, et qu'on appelle intégrale indéfinie de $f$.

Par exemple, l'intégrale $\displaystyle \int s^2ds$ représente la primitive "algébrique" de $s^2ds$, c'est-à-dire $\dfrac {s^3} 3$

Et, comme l'expliquait si justement DrStone, que je remercie, $\displaystyle \int dl = \int 1 dl$ désigne la primitive de $1$, la variable étant $l$, qui est égale à $l$.
De même, $\displaystyle \int dh = \int 1 dh$ désigne la primitive de $1$, la variable étant $h$, qui est égale à $h$, et $\displaystyle \int dp = \int 1 dp$ désigne la primitive de $1$, la variable étant $p$, qui est égale à $p$.

Donc, pour résumer, on dérive une fonction par rapport à sa variable, et on intègre une fonction par rapport à sa variable.

DrStone a écrit :

Et c'est là que j'ai eu la révélation : Borassus s'est emmêlé les pinceaux sur les signes à la toute fin de son calcul.

Oups !
$7 - 9 = 2$ !!
Pas mal, comme étourderie !!
Heureusement que @DrStone veille au grain ! :-)
(Ce genre d'étourderie est pour moi un révélateur indéniable de ce que je dois prendre du repos. Heureusement, je vais partir mardi pour deux semaines de vacances.)

komi37 a écrit :

D'ailleurs, comment pourrais-je aborder ça au grand oral alors que l'on n'a pas vu les intégrales double en Terminale ?

En montrant qu'à partir du moment qu'on a compris la logique de l'intégrale simple, une intégrale double ne représente ni plus ni moins que deux intégrales simples imbriquées, qui, certes, nécessitent plus d'attention — n'est-ce pas Borassus ? — que deux intégrales simples séparées, mais dont on comprend facilement la logique.

Tu peux alors lancer le débat de fond « Pourquoi ne nous explique-t-on pas les intégrales doubles ou triples, alors qu'elles relèvent de la même logique que l'intégrale simple ? On estime que nous ne pouvons pas, du fait de notre jeune âge, comprendre cela ? »

Dans le même ordre d'idée, pourquoi martèle-t-on un nombre incalculable de fois l'identité $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et n'explique-t-on pas la logique qui permet de développer $(a + b + c)^2$ ou $(a + b + c + d)^2$ ?
C'est trop difficile pour de jeunes cerveaux ? Il faut être au minimum en Prépa pour comprendre cette logique ?
(Je l'explique à des élèves de 4ème...)

Toujours dans le même ordre d'idée, pourquoi limite-t-on la dérivée d'une fonction composée à seulement deux fonctions, alors que si on comprend la logique prévalant à la dérivation de fonction composées, on peut dériver sans peine des fonctions composées à trois, quatre, cinq, ou plus, niveaux d'imbrication ?
(Je demande à mes élèves de Première d'écrire la dérivée de fonctions à six ou sept niveaux d'imbrication.)

L'année dernière, une élève de Première m'a dit « J'ai l'impression qu'on nous prend pour des débiles ! »
« A un point que tu n'imagines pas ! »

____________

Les suites 4 et 5 étaient en quelque sorte une parenthèse initiée par les échanges entre komi et DrStone.

Demain, je reviens à la question de base du sujet « L'intégrale simple permet-elle d'aller au-delà de l'aire sous une courbe ? », avec des applications tout à fait concrètes.

Comme aime à dire Borassus « La suite suit. »
(Je reprends la construction de la phrase en russe « Продолжение следует. » ; « Prodolgénié slédouiet. »)

Dernière modification par Borassus (26-05-2024 09:13:20)

vam · 26-05-2024 08:56:47

Bonjour

Une toute petite remarque : les intégrales doubles ont (je ne sais plus vers quelles années) été au programme de terminale S, je les enseignais. cela ne posait aucun problème (certains démonstrations de volumes étaient au programme et à démontrer de cette manière) Avant qu'elles n'y soient, j'en parlais ; une fois disparues, j'en parlais encore : en ouverture d'esprit, pour qu'ils sachent que ça existe, pour préparer doucement le supérieur (où un prof de fac est capable de l’utiliser dans ses cours comme si cela avait été vu...) Si cela peut rassurer les terminales actuelles...

Borassus · 26-05-2024 09:07:26

Bonjour Vam,

Oh que ton intervention est précieuse !! Merciii !!

en ouverture d'esprit, pour qu'ils sachent que ça existe, pour préparer doucement le supérieur

C'est exactement ma position d'enseignement : montrer que les formules dont on gave les élèves ne sont que des cas particuliers de logiques générales qui, elles, n'ont pas besoin de formules.

Je suis absolument étonné de cette "frilosité" de l'enseignement — « Mais ils ne peuvent pas compreeendre ! Ils sont trop jeuuunes ! » — qui ne prépare pas du tout à ce que les étudiants tout juste sortis du Bac vont rencontrer dès les premiers jours du Supérieur.

Borassus · 26-05-2024 09:10:02

[ suite 6 ]

Bonjour à tous, et notamment à Komi et Dr Stone,

Petites remarques avant de continuer sur notre sujet principal :

Oups !
$7 − 9 = 2$ !!
Pas mal, comme étourderie !!

Plus qu'une étourderie, il s'agit bien d'un bug. Je sais que lorsque je produis ce genre de bug (en particulier avec une ou un élève), je dois impérativement partir me reposer quelque part.

DrStone a écrit :

Le plus étonnant finalement, c’est que personne ne l’ait relevé en plus d’une journée.

Alors qu'elle était parfaitement visible, comme une verrue sur le nez :

$= (7 - 9) - \left ( - \dfrac {14}{3} + \dfrac 8 3 \right ) \quad = \quad 2 + \dfrac 6 3 \quad = \quad 4$

Que signifie le fait que l'intégrale calculée soit égale à 0 ?

Comme une aire sous une courbe, un volume sous une surface est signé, et peut donc être positif ou négatif. L'intégrale égale à 0 signifie que le volume au-dessus du plan $(Ox , Oy)$ et le volume au-dessous de ce plan se compensent parfaitement, comme c'est le cas, par exemple, pour l'intégrale de $\cos x$ ou $\sin x$ sur une période : l'aire positive sous la courbe est exactement compensée par l'aire négative.

Pour terminer cette note préliminaire, en voyant les questions de Komi, auxquelles a si bien répondu DrStone, que je remercie de nouveau, je me suis rendu compte que j'ai agi "par excès d'évidence" : cela me semblait "évident" que la logique de calcul était immédiatement compréhensible, alors qu'une petite voix me disait de détailler les calculs...

_______________

Revenons maintenant au sujet qui nous préoccupe, à savoir « L'intégrale simple permet-elle d'aller au-delà de l'aire sous une courbe ? »

Voici, pour commencer, le calcul de la longueur d'un arc de la courbe définie par $y = f(x)$.

Le principe, simple, consiste à considérer que la longueur entre deux points infiniment proches de la courbe peut être assimilée à un segment.
La longueur de l'arc de courbe est donc égale à la somme infinie de tous ces segments. (Dans le raisonnement intégral, il faut toujours sommer l'élément générateur. Tout réside dans le bon choix de cet élément.)

Or la longueur $l$ d'un segment élémentaire est égale à $\sqrt {(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ (théorème de Pythagore), où $\Delta x$ et $\Delta y$ désignent les variations de l'abscisse et de l'ordonnée.

Comme il s'agit de variations infiniment petites, on peut remplacer $\Delta$ par $d$.
La longueur d'un segment élémentaire devient maintenant $l = \sqrt {(dx)^2 + (dy)^2}$.
En mettant $(dx)^2$ en facteur, $l = \sqrt {1 + \left( \dfrac {dy}{dx} \right)^2} dx$

Or, comme $y = f(x)$, $\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {df}{dx} = f'(x)$.
La longueur d'un segment élémentaire est égale à $\sqrt {1 + \bigg[ f'(x) \bigg]^2} dx$.

D'où la longueur $L$ d'un arc de courbe entre les abscisses $\alpha$ et $\beta$ :

$\displaystyle L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt {1 + \bigg[ f'(x) \bigg]^2} dx $

Prenons un exemple concret :
Soit une piste de skate board modélisée entre le plateau de départ et le plateau d'arrivée par $y = 0,1x^2$, avec $x$ compris entre $-8$ et $7$, les unités étant exprimées en mètres.
Quelle est la distance parcourue par un skate boarder allant du plateau de départ au plateau d'arrivée ?
Elle est égale à $\displaystyle \int_{-8}^{7} \sqrt {1 + 0,04x^2} dx$.
A la calculatrice, on obtient $D = 19,5$ mètres.

Vous voyez qu'on est assez loin du calcul de l'aire sous une courbe !

Prodolgénié sliédouiet

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