grand oral

yop · 15-04-2024 21:53:18

Bonjour à tous,

Je compte réaliser mon grand oral sur le pendule de Foucault et le Théorème des valeurs intermédiaires.

Ma problématique est la suivante « Comment le pendule de Foucault permet il d’illustrer le TVI ? »
Or face à ce sujet, je ne trouve que certains éléments comme l’étude de la fonction de la période de révolution du pendule,… Je n’arrive pas à expliquer clairement l’analogie.

Serait-il possible de m’éclairer ?

Bonne soirée.

yoshi · 16-04-2024 08:14:30

Bonjour,

http://www.maths-et-physique.net/article-3311041.html (ce n'est pas grand chose, mais peut-être cela t'aidera-t-il. L'auteur y fait référence à son livre, qu'on peut apparemment trouver autour de 10 €. N-B : je n'ai aucune participation aux ventes ^_^)

@+

yop · 16-04-2024 11:42:01

Bonjour,

Merci pour votre réponse, en revanche ce n'est pas la réponse que je cherchais.

En revanche, dans mon oral, j'ai mis cette phrase : "La période de rotation du pendule, définie par une fonction continue, prend toutes les valeurs intermédiaires entre ses valeurs maximales et minimales à mesure que la latitude change. Ceci est conforme au TVI, qui stipule que toute fonction continue sur un intervalle donné prend toutes les valeurs intermédiaires entre ses valeurs extrêmes."

Pensez-vous donc que cette approche me permettrait de construire mon grand oral ?

yoshi · 17-04-2024 13:58:13

Re,

Je penche pour un "oui", mais essaie d'expliquer - montrer - concrètement l'intérêt du TVI dans le cas du pendule de Foucault : conçu pour matérialiser la rotation de la Terre, il remplit son office, alors à quelle finalité destines-tu ici l'utilisation dudit TVI ?

Voilà pour moi (mais d'autres avis seraient les bienvenus !) ce que tu devrais expliciter...

@+

Borassus · 17-04-2024 18:06:28

yop a écrit :

En revanche, dans mon oral, j'ai mis cette phrase : "La période de rotation du pendule, définie par une fonction continue, prend toutes les valeurs intermédiaires entre ses valeurs maximales et minimales à mesure que la latitude change. Ceci est conforme au TVI, qui stipule que toute fonction continue sur un intervalle donné prend toutes les valeurs intermédiaires entre ses valeurs extrêmes."

Bonjour yop,

Attention à la confusion fréquente : le théorème des valeurs intermédiaires ne dit pas « prend toutes les valeurs intermédiaires entre ses valeurs extrêmes »
Il dit que si la variable est comprise entre deux bornes, les valeurs de la fonction prennent toutes les valeurs intermédiaires entre l'image de la première borne et l'image de la deuxième borne.
Donc si $x \in [a , b]$, la fonction $f$ prend au moins une fois n'importe quelle valeur intermédiaire comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.

Cela ne signifie en aucun cas que $f(a)$ et $f(b)$ sont les valeurs maximales sur $[a , b]$ !

Le théorème reste applicable si $f(b) = f(a)$.
(Si tu fais une balade en montagne, en partant de l'altitude 1000 m et que tu termines ta balade à la même altitude de 1000 m, tu es absolument certain qu'an moins une fois tu seras passé par cette altitude, quelles que soient tes montées et descentes durant ta balade, ne serait-ce que par le simple fait que tu pars de l'altitude 1000 m et que tu arrives à l'altitude 1000 m, ce qui fait déjà deux fois.

Par ailleurs, je n'ai pas l'impression que tu pourras étoffer suffisamment ton sujet sur le pendule de Foucault vs TVI dont, a priori, tu feras vite le tour. (Même en te balançant d'avant en arrière, et en tournant progressivement sur toi-même. :-)

yop · 17-04-2024 18:56:12

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse !

En revanche les valeurs extrêmes correspondent à mes bornes, donc je ne sais pas si cela est intéressant.

De plus, j'ai pu lire dans certains documents, que je pouvais illustrer le TVI GRACE au pendule de Foucault, notamment avec la période de révolution.

Je vais essayer de faire des recherches complémentaires.

Merci beaucoup.

Bonne soirée.

Borassus · 17-04-2024 19:06:38

En revanche les valeurs extrêmes correspondent à mes bornes

C'est important de le préciser, et c'est encore plus important de montrer que tu ne fais pas la confusion.

Bonne soirée à toi également.

PS : Comment comptes-tu appliquer le TVI : sur la seule rotation du plan de balancement du pendule (c'est précisément son intérêt : illustrer la rotation de la Terre), ou aussi sur le balancement (en considérant que sur une période du pendule, on peut négliger la rotation du plan) ?

Tu as donc deux optiques d'application du TVI.

yop · 17-04-2024 19:36:01

Re,

Je comptais appliquer mon Théorème des Valeurs Intermédiaires par rapport au plan de balancement, mais j'ai du mal à illustrer véritablement ce théorème...

Serait-il possible que je t'envoie la partie de texte que j'ai réalisé sur cela ?

Merci beaucoup pour ton aide.

Bonne soirée.

Borassus · 17-04-2024 19:56:15

Oui, bien sûr !
Mais je ne te garantis pas de pouvoir y travailler ce soir car je dois terminer un travail pour un important rendez-vous demain.

Ce serait peut-être plus profitable pour toi que tu fasses part de ton texte sur le forum via cjoint point com.

Mais sans connaître préalablement ton texte, si tu appliques le TVI uniquement sur la rotation du plan, tu dois raisonner en angles exprimés en radians :
Sur une période, l'angle prend toutes les valeurs intermédiaires entre 0 et $\pi$ (et non $2\pi$ car il s'agit d'un plan...)

yop · 17-04-2024 20:06:33

Re,

Merci beaucoup pour votre aide c'est super gentil !

Pas de soucis, prenez votre temps !

Je vous envoie mon texte, c'est un premier jet que j'ai réalisé, je n'avais pas tellement de ligne directrice donc il paraît évident qu'il y a certainement des erreurs...

En revanche je n'ai pas compris comment je dois vous l'envoyer ^-^

Borassus · 17-04-2024 21:10:45

Si c'est à titre privé, en cliquant sur la touche email associée à mon pseudo à gauche de mes messages.

Je préfère cependant que tu publies ton texte sur le forum en te connectant sur cjoint point com et en collant l'adresse du lien dans ton post. (Tu verras, c'est très simple.)

yop · 17-04-2024 21:17:38

Re,

Il faut croire que je ne suis pas un adepte de la technologie. ^_^

Il me semble que je vous ai envoyé mon texte via votre mail.

Borassus · 17-04-2024 22:00:51

Je l'ai bien reçu, merci.

Néanmoins, il serait plus sain que l'assistance dont tu pourrais bénéficier, de ma part ou d'un autre membre, soit apportée dans le cadre du forum et non dans le cadre d'une assistance personnelle "hors antenne".

Donc, lance-toi ! Tu y gagneras un petit enrichissement de compétence technologique. :-)

yop · 17-04-2024 22:27:28

Re,

Je n'arrive pas à trouver le "cjoint point com", je publie donc mon texte ci-dessous.

Aujourd'hui, je vais vous parler du pendule de Foucault qui permet d’illustrer le célèbre et utile théorème des valeurs intermédiaires. Tout d’abord, le pendule de Foucault est une expérience fascinante qui a vu le jour pour la 1er fois en 1851 grâce au physicien français Léon Foucault.

Issu à la base d'une première tentative de mise au point dans la cave de sa maison avec une sphère suspendue à un fil de 2 mètres de long, il se résigna par la suite à entreprendre une expérience plus conséquente avec un fil d'acier de 11 mètres de long attaché à la voûte du Panthéon à Paris la même année. L'intérêt du pendule, imaginé et réalisé par Foucault, est de mettre en évidence la rotation de la Terre manifestée par la déviation constante du plan d'oscillation du pendule. En effet, une fois lancé, on observe un mouvement remarquable : le plan d'oscillation pivote au fil des heures. Si on le lance en premier lieu dans la direction Nord-Sud, on le retrouve en quelques heures dans la position Est-Ouest, jusqu’à un tour complet.

De cette première analyse, dans quelle mesure le pendule de Foucault pourrait-il illustrer le Théorème des Valeurs intermédiaires ?

Avant toute chose, commençons par présenter le Théorème des Valeurs Intermédiaires ; approuvé en 1821 par le mathématicien français Cauchy est une propriété fondamentale des fonctions. Il stipule que pour toutes fonctions f définies et continues, c’est-à-dire que l’on peut tracer la courbe représentative de cette dernière “sans lever le crayon”, autrement dit si la fonction f est dérivable sur un intervalle I, prenant 2 valeurs a et b ∈ I, avec par exemple a<0 et b>0 alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. Dans l’exemple précédent, la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires entre a et b passant à un moment précis par y = 0.

En somme, une fonction continue ne peut pas sauter d'une valeur positive à négative sans passer par ce dernier.

Cette exemple résume parfaitement le cas du pendule de Foucault, car en effet son pivotement est dû à la simple rotation de la Terre autour de son propre axe (dessin pour comprendre cf image ci-dessus), démontrant ainsi sa caractéristique d'oscillation d'un point latéral à un autre, dépendante de la latitude terrestre variant quant à elle entre 90°N et 90°S en passant par 0 au niveau de l'équateur.

En clair, si on lâche le pendule situé par exemple au pôle Nord en un point initial défini par le Nord, il oscille donc vers sont point opposé, le Sud tout en suivant la rotation de la Terre pour se retrouver 24h plus tard à avoir parcouru un tour complet suivant sa période de révolution définie par la fonction suivante :
T(phi) = 2 π Lg cos(phi)

avec L : la longueur du pendule
avec g : l’accélération de la pesanteur (9,81 m.s2)
avec : la valeur de la latitude en radian

Pour simplifier notre étude et d’un point de vu technique, la durée de 24h est valable uniquement aux pôles car la verticale du point de suspension du pendule coïncide avec l’axe de rotation de la Terre tandis qu’à l’équateur le pendule n’indique aucune variation d’orientation de son plan d’oscillation dû à une perpendicularité du point d’attaque avec l’axe de rotation terrestre.

En dérivant la période de révolution, c’est à dire en dérivant uniquement le cosinus car les autres éléments n’étant que des constantes et en utilisant la formule de la dérivée d’un produit d’un réel par une fonction : ku= ku'

PARTIE FONCTION TRIGO (revoir)

Or la dérivée de cos(x) est -sin(x)

donc T(phi) = 2 π Lg cos(phi)
T'(phi) = -2 π Lg sin(phi)

de la dérivée, nous pouvons déterminer le tableau de signe de la fonction T’

or sin(0) = 0
déterminons maintenant : T'0 ⇔ -2 π Lg sin(phi)
sin(phi)0 ⇔ =0

donc on en déduit le tableau de signe de T’ + le tableau de variation de la fonction T sur [-2pi ;2pi] car l’angle d’oscillation varie entre 90°N et 90°S (relation angle / radian)

De ce fait, lorsque la latitude varie, cos (Ф), représenté par une fonction cosinus continue, va alors varier sur [-2pi ;2pi] , représentant exactement la latitude Nord et Sud, permettant donc au pendule de prendre toutes les valeurs intermédiaires possibles entre ces 2 extrêmes. On comprend donc qu'à chaque fois que ce dernier arrive au bout de son oscillation en un point précis, il est immobile pendant un court instant et sa vitesse est nulle, ce qui caractérise un changement de direction.

En outre, sur l'intervalle de latitude noté [-2pi ;2pi] , on supposera que la période minimale de cet intervalle est f(-pi/2) et celle maximale est f(pi/2). Ainsi pour que les oscillations du pendule puissent interpréter le Théorème des Valeurs Intermédiaires, la période de rotation doit à son tour prendre en compte toutes les valeurs intermédiaires entre f(-pi/2) et f(pi/2) de ce même intervalle. Autrement dit, il doit exister au moins un point de latitude (Ф) où la période de rotation est égale à n'importe quelle valeur intermédiaire comprise entre f(-pi/2) et f(pi/2).

Ainsi la continuité du mouvement du pendule met en avant la continuité des fonctions dans le théorème des valeurs intermédiaires, illustrant ainsi comment des concepts apparemment distincts peuvent être liés par des théorèmes mathématiques.

Je remercie toutes les personnes qui porteront de l'attention à mon travail.

Bonne soirée à tout le monde.

Cordialement.

PS : Je suis une quiche en informatique je crois...

Borassus · 17-04-2024 22:32:24

Je n'arrive pas à trouver le "cjoint point com"

J'avais écrit "point" à la place du caractère "." :-)

yop · 17-04-2024 22:35:54

Effectivement je viens de trouve x_x

Veux-tu que je refasse ?

Borassus · 18-04-2024 00:17:14

Non, ce n'est pas nécessaire. Ton texte suffira.

yop · 18-04-2024 11:10:19

Bonjour,

Merci beaucoup.

Bonne journée.

Cordialement.
Yop

Borassus · 19-04-2024 18:57:22

Bonsoir Yop,

Excuse-moi, je n'étais pas disponible hier et aujourd'hui dans la journée.
Je me suis donc réservé un peu de temps en début de soirée pour lire ton premier texte.

Note préalable : l'impératif que j'utilise doit être compris dans le sens de conseil, et non dans le sens d'injonction...

Effectivement, le sujet est intéressant, ce à quoi je ne m'attendais a priori pas. (C'est toujours bon d'avoir un sujet qui intéresse et qui intrigue.)

Aujourd'hui, je vais vous parler du pendule de Foucault [...]

Evite les formulations du style « Aujourd'hui, je vais vous parler de ... »
Plutôt : « Le sujet que je soumets à votre attention porte sur ... »

[...] qui a vu le jour pour la 1er fois en 1851 grâce au physicien français Léon Foucault

C'est bien de préciser le prénom, car on a en mémoire le philosophe Michel Foucault ou, plus près de nous, le présentateur Jean-Pierre Foucoult.
Précise aussi son temps de vie (1819-1868). Indique aussi (rapidement) qu'on lui doit le calcul de la vitesse de la lumière, le gyroscope, et aussi les courants tourbillonnaires appelés en son honneur "courants de Foucault", qui permettent en particulier aux poids-lourds de freiner sans trop solliciter les freins mécaniques.

autrement dit si la fonction f est dérivable sur un intervalle I

Attention, une fonction continue — c'est-à-dire qu'on peut tracer sans lever le crayon — n'est pas forcément dérivable. Elle ne l'est pas notamment lorsqu'elle présente un point d'inflexion avec tangente verticale, ou qu'elle présente un "point anguleux" dont l'exemple le plus connu est la valeur absolue en 0.

[...]prenant 2 valeurs a et b ∈ I, avec par exemple a<0 et b>0 alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. Dans l’exemple précédent, la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires entre a et b passant à un moment précis par y = 0.

Confusion !! :
Que $a$ soit négatif et que $b$ soit positif n'importe absolument pas !
Ce qui importe, c'est que l'une des deux valeurs $f(a)$ et $f(b)$ soit négative, et que l'autre soit positive (si on prend $k = 0$ ; si $k = 1$, il faut que l'une des deux valeurs soit inférieure à 1, et que l'autre soit supérieure à 1).
Donc, présente l'exemple à la fin du paragraphe, en choisissant $k = 0$ ou une autre valeur.

car en effet son pivotement est dû à la simple rotation de la Terre autour de son propre axe

La rotation de la Terre autour de son axe est en soi un phénomène assez complexe. Tu peux donc supprimer "simple". :-)

[...] sa caractéristique d'oscillation d'un point latéral à un autre, dépendante de la latitude terrestre variant quant à elle entre 90°N et 90°S en passant par 0 au niveau de l'équateur.

Ne m'étant jusqu'à ce jour jamais véritablement intéressé au sujet — je me suis juste limité à regarder pivoter le pendule suspendu au Musée des Arts et Métiers, bien évidemment à Paris —, je n'avais jamais réalisé que le mouvement dépend de la latitude.
Tu peux donc créer un petit effet de surprise et de suspens en indiquant que « le pendule de Paris n'est pas le même que celui à l'Equateur, ni celui du Pôle Nord ! Je l'explique un peu plus loin. »

En clair, si on lâche le pendule situé par exemple au pôle Nord en un point initial défini par le Nord, il oscille donc vers sont point opposé, le Sud [...]

Qu'est le Sud lorsqu'on est au Pôle Nord ? Quelle que soit la direction vers laquelle on se tourne, on regarde vers le Sud. (Le Sud est "en-dessous", aux antipodes du Pôle Nord. Donc, une oscillation Nord-Sud serait donc... verticale ?)
Je comprends donc "dans une direction quelconque".

T(phi) = 2 π Lg cos(phi)

Je traduis en LaTex pour que ce soit plus facilement lisible : $T(\phi) = 2 \pi Lg cos(\phi)$

avec g : l’accélération de la pesanteur (9,81 m.s2)

L'accélération de la pesanteur à quel endroit ? Aux pôles, elle est égale à 9,83 m/s² ; à l'équateur, elle est égale à 9,78 m/s². (Ceci est dû au fait que la Terre n'est pas sphérique, mais légèrement aplatie aux pôles, comme le pressentait le grand Isaac. On pèse donc légèrement plus lourd aux pôles qu'à l'équateur, dans les deux cas sans les vêtements. :-)
La valeur que tu indiques est donc en contradiction avec ton exemple plaçant le pendule au Pôle Nord !

Sur ce, je fais une pose dîner. suite au prochain numéro. :-)

yoshi · 19-04-2024 20:12:20

Bonsoir,

Oh, M'sieu Borassus, scusez-moi de vous d'mander pardon, mais c'est quoi le symbole Lg()?^_^
Il est normalisé ? Depuis quand ?
Parce que cela fait maintenant un bon moment que j'ai dételé, alors je ne suis plus tellement l'actualité, c'est juste pour être au point...
J'en suis resté à $\ln(x)$ et à $\log_n(x)$ (logarithme en base n de x)
Quand j'étais Lycéen, si on utilisait $\text{Log}(x)$ pour le log népérien, normalement aujourd'hui c'est toujours $\ln(x)$, non ?
Ou alors, soit j'ai raté un épisode, soit je te présente mes excuses pour mon intervention intempestive.
Bon, Je voulais simplement être sûr (et le dire de façon non conventionnelle et "plaisante" pour ne choquer qui que ce soit... ;-D) qu'il n'y ait pas là, de faute de frappe susceptible de faire que notre interlocuteur soit l'objet d'une remarque - qui serait mal venue - de la part du jury...

@yop :
1. Un détail... m.s² pour une accélération est une unité incorrecte (faute de frappe ?) c'est soit $m/s^2$, soit $m.$$s^{-2}$...
2. Borassus est dans le vrai pour la valeur de g, attention...
3. Peux-tu (et je suis sérieux) m'expliquer comment tu vas utiliser le TVI ? Ça m'intéresse (et je suis sérieux.
Ça n'est pas une question faussement innocente)

@+

Eust_4che · 19-04-2024 20:19:40

Bonjour à tous,

Curieuse interprétation de notre modo Yoshi, ici. Est-ce plus clair $L \times g \times \cos(\phi)$ ?

E.

Borassus · 19-04-2024 20:21:34

Oh, M'sieu Borassus, scusez-moi de vous d'mander pardon, mais c'est quoi le symbole Lg()?^_^

Bonsoir ô sage Yoshi !

Bien évidemment, il faut lire $L \times \ g \times \cos\phi$

(Mais, sur le coup, en lisant @yop, je me suis posé la même question. :-)

Borassus · 19-04-2024 20:23:20

Bonsoir Eust_4che,

Nos messages se sont croisés. :-)

yoshi · 19-04-2024 20:24:48

Re,

Est-ce plus clair $L \times g \times \cos(\phi)$

Tout à fait, merci Eust_4che et Borassus...
Je vais devoir relire encore une fois pour voir pourquoi ça m'a échappé... Ça me contrarie.

@+

[EDIT]
Je crois avoir trouvé :
Les espaces, puis l'absence d'espace entre L et g
2 $\pi$ Lg cos($\phi$)
puis la version Latex :
$2\pi Lg cos(\varphi)$ absence de tout espace et Latex qui ne râle pas comme s'il avait écrit $\Lg$ : j'aurais dû être alerté.

Donc, il ne me reste plus qu'à trouver un trou de souris pour aller m'y cacher.
Je vous dois des excuses.
Dont acte !

Dernière modification par yoshi (19-04-2024 21:16:28)

Borassus · 19-04-2024 22:29:15

Rassure-toi, et ne te ronge pas, il n'y a pas de quoi être contrarié.

C'est de ma faute : j'ai pressenti que la notation $Lg$ sans espace et sans signe multiplicatif pourrait faire apparaître une fonction "logarithmoïde", mais je n'ai pas tenu compte de la petite voix qui me préconisait d'écrire l'expression de façon moins ambiguë.

Le pire, c'est qu'en voulant rendre lisible une expression peu confortable mais lisible T(phi) = 2 π Lg cos(phi), j'ai en fait rendu l'expression difficilement lisible. :-)

Au temps pour moi !

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 15-04-2024 21:53:18

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