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#1 25-07-2023 14:58:05

Vincent62
Membre
Inscription : 26-05-2022
Messages : 314

Analyse complexe, majoration

Bonjour,

On considère [tex]D=D(0,1)[/tex] et un réel [tex]r[/tex] strictement compris entre [tex]0[/tex] et [tex]1[/tex].
Soit [tex]f[/tex] une fonction holomorphe sur [tex]D[/tex] et bornée par [tex]M[/tex] sur le cercle [tex]|z|=r[/tex].
On suppose enfin que [tex]f[/tex] s'annule en au moins un point [tex]w\in D(0,r)[/tex].
Il faut alors montrer que [tex]|f(0)|\le \frac{M|a|}{r-|a|}[/tex].

Bon, je me doute que c'est de la formule de Cauchy dont il est question, dont voici l'énoncé :

Soient [tex]U[/tex] un ouvert étoilé (ou simplement connexe), [tex]C[/tex] un chemin tracé dans [tex]U[/tex], [tex]f[/tex] une fonction holomorphe sur [tex]U[/tex] et [tex]a\in U[/tex] un point n'appartenant pas au support de [tex]C[/tex].
Alors : [tex]f(a)\times ind(C,a)=\frac{1}{2i\pi}\int_C \frac{f(z)}{z-a}dz[/tex].

Ici, en choisissant [tex]U=D(0,r)[/tex], on a alors que [tex]C=C(0,r)[/tex] et donc [tex]ind(\gamma,a)=1[/tex] pour tout [tex]a[/tex] dans le disque ouvert [tex]D(0,r)[/tex]. On peut donc se lancer dans la majoration suivante :

[tex]|f(a)\times ind(C,a)|=|f(a)|\le \frac{1}{2\pi}\int_C \frac{|f(z)|}{|z-a|}dz[/tex]

Or, [tex]|z-a|\ge |z|-|a|=r-|a|[/tex], et donc :

[tex]|f(a)\times ind(C,a)|=|f(a)|\le \frac{M}{2\pi}\int_C \frac{dz}{r-|a|}=\frac{M}{2\pi}\frac{2\pi r}{r-|a|}=\frac{Mr}{r-|a|}[/tex].

Voilà où j'en suis. Je ne vois pas bien pour l'instant comment faire apparaître ce f(0) et avoir en même temps la majoration demandée.

Auriez-vous un indice pour que je puisse avancer ?
Grand merci, et bonne journée :)

Hors ligne

#2 25-07-2023 18:25:49

Gui82
Membre
Inscription : 03-08-2022
Messages : 125

Re : Analyse complexe, majoration

Bonjour,

Il y a quelque chose qui m'échappe dans l'énoncé, on ne sait pas qui est [tex]a[/tex]. S'agit-il d'un élément arbitraire de [tex]D(0,r)[/tex] ou bien est-il un des zéros de [tex]f[/tex] ?

Sinon, ta majoration est correcte. Pour faire intervenir [tex]f(0)[/tex], on peut dire que [tex]f \in \mathcal{H}(D(0,|a|)) \cap \mathcal{C}(\bar{D}(0,|a|))[/tex] et d'après le principe du maximum, on a [tex]\displaystyle |f(0)| \le \max\limits_{\mathcal{C}(0,|a|)}|f|[/tex]. Comme on a [tex]\displaystyle |f(z)| \le \frac{Mr}{r-|a|} \,\, \forall z \in \mathcal{C}(0,|a|)[/tex], on a [tex]\displaystyle \max\limits_{\mathcal{C}(0,|a|)}|f| \le \frac{Mr}{r-|a|}[/tex]. Par contre, pour le moment je ne vois pas comment obtenir [tex]\displaystyle \frac{M|a|}{r-|a|}[/tex] au lieu de [tex]\displaystyle \frac{Mr}{r-|a|}[/tex] (je ne me suis pour l'instant pas servi du fait que [tex]f[/tex] s'annule dans [tex]D(0,r)[/tex])

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#3 26-07-2023 11:48:45

Vincent62
Membre
Inscription : 26-05-2022
Messages : 314

Re : Analyse complexe, majoration

Salut Gui,

Bien vu pour le principe du maximum. Cependant, cet exercice du cours intervient avant l'énoncé du principe du maximum...

Merci en tout cas pour ta réponse !

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#4 27-07-2023 19:53:56

Gui82
Membre
Inscription : 03-08-2022
Messages : 125

Re : Analyse complexe, majoration

Bonjour,

On peut aussi obtenir la majoration [tex]\displaystyle |f(0)| \le \max\limits_{\mathcal{C}(0,|a|)}|f|[/tex] par la formule de Cauchy sur [tex]\mathcal{C}(0,|a|)[/tex], c'est même plus élémentaire.

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#5 30-07-2023 11:56:09

Vincent62
Membre
Inscription : 26-05-2022
Messages : 314

Re : Analyse complexe, majoration

Merci Gui.

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