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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Vincent62
- 30-07-2023 10:56:09
Merci Gui.
- Gui82
- 27-07-2023 18:53:56
Bonjour,
On peut aussi obtenir la majoration [tex]\displaystyle |f(0)| \le \max\limits_{\mathcal{C}(0,|a|)}|f|[/tex] par la formule de Cauchy sur [tex]\mathcal{C}(0,|a|)[/tex], c'est même plus élémentaire.
- Vincent62
- 26-07-2023 10:48:45
Salut Gui,
Bien vu pour le principe du maximum. Cependant, cet exercice du cours intervient avant l'énoncé du principe du maximum...
Merci en tout cas pour ta réponse !
- Gui82
- 25-07-2023 17:25:49
Bonjour,
Il y a quelque chose qui m'échappe dans l'énoncé, on ne sait pas qui est [tex]a[/tex]. S'agit-il d'un élément arbitraire de [tex]D(0,r)[/tex] ou bien est-il un des zéros de [tex]f[/tex] ?
Sinon, ta majoration est correcte. Pour faire intervenir [tex]f(0)[/tex], on peut dire que [tex]f \in \mathcal{H}(D(0,|a|)) \cap \mathcal{C}(\bar{D}(0,|a|))[/tex] et d'après le principe du maximum, on a [tex]\displaystyle |f(0)| \le \max\limits_{\mathcal{C}(0,|a|)}|f|[/tex]. Comme on a [tex]\displaystyle |f(z)| \le \frac{Mr}{r-|a|} \,\, \forall z \in \mathcal{C}(0,|a|)[/tex], on a [tex]\displaystyle \max\limits_{\mathcal{C}(0,|a|)}|f| \le \frac{Mr}{r-|a|}[/tex]. Par contre, pour le moment je ne vois pas comment obtenir [tex]\displaystyle \frac{M|a|}{r-|a|}[/tex] au lieu de [tex]\displaystyle \frac{Mr}{r-|a|}[/tex] (je ne me suis pour l'instant pas servi du fait que [tex]f[/tex] s'annule dans [tex]D(0,r)[/tex])
- Vincent62
- 25-07-2023 13:58:05
Bonjour,
On considère [tex]D=D(0,1)[/tex] et un réel [tex]r[/tex] strictement compris entre [tex]0[/tex] et [tex]1[/tex].
Soit [tex]f[/tex] une fonction holomorphe sur [tex]D[/tex] et bornée par [tex]M[/tex] sur le cercle [tex]|z|=r[/tex].
On suppose enfin que [tex]f[/tex] s'annule en au moins un point [tex]w\in D(0,r)[/tex].
Il faut alors montrer que [tex]|f(0)|\le \frac{M|a|}{r-|a|}[/tex].
Bon, je me doute que c'est de la formule de Cauchy dont il est question, dont voici l'énoncé :
Soient [tex]U[/tex] un ouvert étoilé (ou simplement connexe), [tex]C[/tex] un chemin tracé dans [tex]U[/tex], [tex]f[/tex] une fonction holomorphe sur [tex]U[/tex] et [tex]a\in U[/tex] un point n'appartenant pas au support de [tex]C[/tex].
Alors : [tex]f(a)\times ind(C,a)=\frac{1}{2i\pi}\int_C \frac{f(z)}{z-a}dz[/tex].
Ici, en choisissant [tex]U=D(0,r)[/tex], on a alors que [tex]C=C(0,r)[/tex] et donc [tex]ind(\gamma,a)=1[/tex] pour tout [tex]a[/tex] dans le disque ouvert [tex]D(0,r)[/tex]. On peut donc se lancer dans la majoration suivante :
[tex]|f(a)\times ind(C,a)|=|f(a)|\le \frac{1}{2\pi}\int_C \frac{|f(z)|}{|z-a|}dz[/tex]
Or, [tex]|z-a|\ge |z|-|a|=r-|a|[/tex], et donc :
[tex]|f(a)\times ind(C,a)|=|f(a)|\le \frac{M}{2\pi}\int_C \frac{dz}{r-|a|}=\frac{M}{2\pi}\frac{2\pi r}{r-|a|}=\frac{Mr}{r-|a|}[/tex].
Voilà où j'en suis. Je ne vois pas bien pour l'instant comment faire apparaître ce f(0) et avoir en même temps la majoration demandée.
Auriez-vous un indice pour que je puisse avancer ?
Grand merci, et bonne journée :)