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#1 05-03-2011 14:44:44
- jpp
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- Messages : 1 170
La bande de sable
Bonjour.
D'abord pour bien visionner le problème. L'unité utilisée est le Km
Soit un repère orthonormé xOy . deux points A (0,8) et B(8,0)
deux droites [tex]D_1 et D_2[/tex] d'équations respectives [tex]Y = 4 \; et \; Y = 2[/tex]
Le problème est le suivant: une grande étendue de terrain assez dur et idéal pour la course à
pied est traversée par une longue bande de sable fin qui , elle , interdit la course car ça couperait
les jambes du meilleur marathonien. Notre coureur décide donc de la traverser en marchant
à un rythme soutenu.
Cette bande de sable a pour frontières les 2 droites [tex]D_1 et D_2[/tex]
Il chronomètre donc son parcours de A à B .
Question: sachant que s'il garde une vitesse constante de 18 Km/heure en courrant
et une vitesse constante de 6 Km/heure en marchant , quelle peut etre son meilleur
temps lorsqu'il est au mieux de ses formes physique et mentale?
Dernière modification par jpp (08-09-2011 11:33:51)
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#2 05-03-2011 16:28:44
- coureur
- Invité
Re : La bande de sable
Bonjour,
8/9 d'heure
#4 05-03-2011 17:45:13
- coureur
- Invité
Re : La bande de sable
re,
de A aller en C (4,16/3) puis en D (2,16/3) puis en B
La bande de sable est traversée perpendiculairement
La longueur AC + DB vaut exactement 10 et CD vaut 2
10/18 + 2/6 = 8/9 d'heure exactement
#6 05-03-2011 18:59:13
- yoshi
- Modo Ferox
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- Messages : 17 385
Re : La bande de sable
Salut jpp,
J'attends de voir...
Mais cette démonstration, sans les problèmes de vitesse, traînait dans tous les livres de maths de 4e au chapitre Régionnement du plan par une médiatrice, même si dans cet exo, il n'y en a pas : il suffirait pour en trouver une de demander que les trajets de A à la droite y=2 et de la droite y=4 au point B soient d'égales longueurs.
Cet exercice figurait sous le nom de "Plus courte distance" et on remplaçait ton banc de sable par une rivière sur laquelle on jetait un pont qui lui était perpendiculaire.
La position du pont se trouvait ainsi :
Soit A'(8,2). Joignons [A'B] : A'B est la plus courte longueur de A'à B.
[A'B] coupe la droite d'équation y = 4 au point D.
J'abaisse la perpendiculaire de D suur la droite d'équation y = 2, j'obtiens le point C.
Le quadrilatère DA'AC est un parallélogramme puisque ;
(CD) // (AA') par construction et CD = AA' = 2.
Par conséquent AC = A'D
La plus courte distance de A à B est donc matérialisée par le parcours A-C-D-B
Le trajet A-C-D-B vaut AC + CD + DB = A'D+CD+DB = A'B + CD = 10 + 2 = 12 km
10 km à 18 km/h et 2 km à 6 km/h et je rejoins les 8/9 h de notre invité...
La seule raison pour laquelle tu pourrais avoir raison quand même résiderait dans le fait que tu rajoutes des vitesses, et que tu as allongé un peu la traversée du banc de sable avec une augmentation du temps compensée par une diminution de la longueur de la course et donc de son temps...
Je vais voir ça de plus près.
En ce qui concerne la plus courte distance et les distances égales, pour ceux que ça intéresse, cf mes énigmes "Romeo et Juliette" :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2806
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2807
Donc, je regarde !
@+
[EDIT]
J'ai amélioré un chouïa : 0.75222107339558486 h au lieu de 0.8888888888.... h
Soit un gain de 8 min 12 s.
Je revérifie mes calculs...
Dernière modification par yoshi (05-03-2011 20:34:28)
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#7 05-03-2011 20:27:45
- coureur
- Invité
Re : La bande de sable
re,
j'ai mieux à proposer : 52 minutes 37 secondes 67 centièmes
en assimilant la bande de sable à une lame parrallèle où l'indice n est 1/3 (rapport des vitesses) et sin(i) = n sin(r)
dans ce cas le coureur part avec un angle i = 51°,20
#10 05-03-2011 21:06:40
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : La bande de sable
RE,
Mes calculs précédents sont faux. Mille regrets...
Je reprends proprement.
Je pars sur le trajet [AC] précédent.
Abscisse de C = Abscisse de D
Equation de (A'B) [tex]y=-\frac 3 4 x + 8[/tex]
Intersection avec y = 4 : [tex]x=\frac{16}{3}[/tex]
D'où [tex]C\left(\frac{16}{3}\;;\;2)[/tex]
Je trace alors (AB) qui coupe (D2) en E et (D1) en F.
Soit M le milieu de [EF]
La perpendiculaire à (D2) passant par M, d'équation x = 5 coupe D1 en G (5 ; 4).
Je calcule la distance AC + CG + GB
[tex]AC^2 = \left(8-\frac{16}{3}\right)^2+2^2= \left(\frac{8}{3}\right)^2+4=\frac{64}{9}+\frac{36}{9}=\frac{100}{9}[/tex]
[tex]AC=\frac{10}{3}[/tex]
[tex]CG^2= \left(\frac{16}{3}-5\right)^2+2^2=\frac 1 9 + 4 = \frac{37}{9}[/tex] d'où [tex]\GB=\frac{\sqrt{37}}{3}[/tex]
[tex]GB^2=25+16=41[/tex] d'où [tex]GB=\sqrt{41}[/tex]
Le temps cherché est donc :
[tex]\frac{10+3\sqrt{41}}{54}+\frac{\sqrt{37}}{18}\approx 0.87884556117024459\; h[/tex]
Soit un gain de 36 s 16/100e par rapport à 8/9...
52 min 46 s 75/100e...
Le coureur a fait mieux...
Bien vu, je n'ai pas pensé à cette propagation de la lumière...
Je ne sais même pas si ça m'aurait effleuré...
J'ai fait ma B.A.
@+
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#11 05-03-2011 22:48:50
- jpp
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- Messages : 1 170
Re : La bande de sable
re.
En effet , la lumière a sa vitesse propre dans le vide et dès qu'elle doit traverser un autre milieu ,
elle change de vitesse et de direction .
dans le problème du coureur il y a 3 zones à traverser mais seulement 2 types différents et alors là
l'astuce consiste à descendre la bande de sable jusqu'à l'axe des x pour qu'il n'y ai plus que 2 zones
car les 2 pentes parcourues à 18km/h sont parallèles
et si le coureur attaque la bande de sable au point I alors on peut écrire l'équation du temps et étudier
son comportement.
le coureur parcourt d'abord [tex]AI[/tex] dont les coordonnées sont [tex]x et a[/tex]
il parcourt ensuite [tex]IB[/tex] dont les coordonnées sont [tex](d-x) et b[/tex]
Les valeurs a, b & d on les connait [tex]a = 6 , b = 2 & d = 8[/tex] le rapport des vitesses
[tex]\frac{V_1}{V_2} = c = 3 alors V_1 = 3.V_2[/tex] et va garder les lettres dans les calculs
L'équation du temps est la suivante:
[tex]t(x) = \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{c.V_2} + \frac{\sqrt{(d-x)^2+b^2}}{V_2}[/tex]
en calculant la dérivée première et en cherchant les valeurs de x pour lesquelles elle s'annule
on va pouvoir trouver un extrémum de la fonction -- ici ca va etre un minimum --
Alors [tex]t^{'}(x) = \frac{2.x}{2.c.V_2.\sqrt{x^2+a^2}}+\frac{2.x-2.d}{2.V_2.\sqrt{x^2-2.d.x+d^2+b^2}}[/tex]
re.
donc après réduction au meme dénominateur la dérivée s'annule comme le numérateur
Alors [tex](c^2-1).x^4 + (2d-2c^2.d).x^3 + (c^2.d^2+a^2.c^2-d^2-b^2).x^2 - 2a^2.c^2.d.x + a^2.c^2.d^2 = 0[/tex]
Puis en remplaçant a , b , c & d par leurs valeurs et en simplifiant :
[tex]X^4 - 16.X^3 + 104.X^2 - 648.X + 2592 = 0[/tex]
ET X = 7.4619851819
et [tex]t = \frac{\sqrt{6^2 + 7.4619851819^2}}{18} + \frac{\sqrt{2^2 + (8 - 7.4619851819)^2}}{6} \approx 0.87712970269 heure \approx 52 min 37 s 67/100[/tex]
Dernière modification par jpp (07-03-2011 19:34:34)
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#12 07-03-2011 09:26:26
- coureur
- Invité
Re : La bande de sable
bonjour,
juste pour rectifier : Au post #7 j'ai écrit "l'indice n est 1/3 " ; il faut bien sû lire "l'indice n est 3"
Signaler aussi que pour résoudre numériquement très facilement ce genre de calculs, le "Solveur" d'Excel est d'une aide appréciable
Cordialement
