Forum de mathématiques - Bibm@th.net

re 

     j'ai terminé ma démo que j'avais commencée samedi avant d'etre déconnecté du site au post 12

re.

       En effet , la lumière a sa vitesse propre dans le vide et dès qu'elle doit traverser un autre milieu ,
        elle change de vitesse et de direction .
        dans le problème du coureur il y a 3 zones à traverser mais seulement 2 types différents et alors là
         l'astuce consiste à descendre la bande de sable jusqu'à l'axe des x pour qu'il n'y ai plus que 2 zones
         car les 2 pentes parcourues à 18km/h sont parallèles

        et si le coureur attaque la bande de sable au point I  alors on peut écrire l'équation du temps et étudier
         son comportement.

         le coureur parcourt d'abord   [tex]AI[/tex]  dont les coordonnées sont    [tex]x  et    a[/tex]

                      il parcourt ensuite  [tex]IB[/tex]  dont les  coordonnées sont    [tex](d-x)   et  b[/tex]

                Les valeurs  a, b & d on les connait  [tex]a = 6  ,  b = 2  &  d = 8[/tex]  le rapport des vitesses

        [tex]\frac{V_1}{V_2} = c = 3  alors   V_1  =  3.V_2[/tex]  et va garder les lettres dans  les  calculs

         L'équation du temps est la suivante:
                 
                 [tex]t(x) = \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{c.V_2} + \frac{\sqrt{(d-x)^2+b^2}}{V_2}[/tex]

       en calculant la dérivée première et en cherchant les valeurs de x pour lesquelles elle s'annule
       on va pouvoir trouver un extrémum de la fonction -- ici ca va etre un minimum --

   Alors [tex]t^{'}(x)  = \frac{2.x}{2.c.V_2.\sqrt{x^2+a^2}}+\frac{2.x-2.d}{2.V_2.\sqrt{x^2-2.d.x+d^2+b^2}}[/tex]

re.     
                donc après réduction au meme dénominateur  la dérivée s'annule comme le numérateur

      Alors  [tex](c^2-1).x^4 + (2d-2c^2.d).x^3 + (c^2.d^2+a^2.c^2-d^2-b^2).x^2  - 2a^2.c^2.d.x  +   a^2.c^2.d^2  = 0[/tex]

       Puis en remplaçant   a , b , c & d  par leurs valeurs et en simplifiant :

         [tex]X^4  -  16.X^3  +  104.X^2   -   648.X  + 2592  =  0[/tex]

          ET  X = 7.4619851819 

             et  [tex]t = \frac{\sqrt{6^2 + 7.4619851819^2}}{18}  +  \frac{\sqrt{2^2 + (8 - 7.4619851819)^2}}{6}  \approx  0.87712970269   heure  \approx  52 min  37 s  67/100[/tex]

re.

       on va laisser un peu chercher les autres .

re,

j'ai mieux à proposer : 52 minutes 37 secondes 67 centièmes
en assimilant la bande de sable à une lame parrallèle où l'indice n est 1/3 (rapport des vitesses) et sin(i) = n sin(r)
dans ce cas le coureur part avec un angle i = 51°,20

re. 

          8/9 d'heure vaut 0.888888.. Il peut faire mieux

re.

         si tu veux préciser ton calcul car ca m'a l'air d'etre une approximation.
                                                                                                                  merci.

Bonjour.

             D'abord pour bien visionner le problème.   L'unité utilisée est le Km

             Soit un repère orthonormé  xOy   .  deux points  A (0,8)  et B(8,0)

             deux droites  [tex]D_1  et  D_2[/tex] d'équations respectives [tex]Y = 4 \; et \; Y = 2[/tex]

              Le problème est le suivant:  une grande étendue de terrain assez dur et idéal pour la course à

             pied est traversée par une longue bande de sable fin qui , elle , interdit la course car ça couperait

              les jambes du meilleur marathonien. Notre coureur décide donc de la traverser en marchant
              à un rythme soutenu.

              Cette bande de sable a pour frontières les 2 droites [tex]D_1  et   D_2[/tex]

              Il chronomètre donc son parcours de A à B  .

               Question:  sachant que s'il garde une vitesse constante de 18 Km/heure en courrant

                et une vitesse constante de 6 Km/heure en marchant , quelle peut etre son meilleur

                 temps lorsqu'il est au mieux de ses formes physique et mentale?