Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Bernard,
J'en pense, primo, que le décalage horaire été-hiver n'a pas d'importance, il suffit de raisonner en heure solaire (mais de quel méridien ?), et secundo, que pour être exact, il faut tenir compte du quart de jour, en plus des 365 jours, de l'année, et donc que si on considère que 2025 a commencé à minuit le 1er janvier 2025, ce qui serait normal après une année bissextile, le mitan de l'année se situerait plutôt vers 15 h ...
En outre, si l'on veut parler en temps universel, il faudrait, selon moi, tenir compte de la position de la ligne de changement de date, quelque part en plein Pacifique ...
Tout cela est un peu compliqué ...
Bien cordialement, Jean-Louis B.

Merci Rescassol !

Bonjour, Rescassol,
Oui, peut-être bien ... Mais ne soyons pas trop pessimistes !
Bien amicalement, JLB

Bonjour Borassus,
Eh oui, toujours l'ambiguïté entre signifiant (symbole ou chiffre) et signifié (objet ou nombre) ...
Le signe "=" est décidément trompeur !
Bien amicalement, JLB

Bonsoir à tous,
Bernard-maths, apparemment, tu ne t'es pas encore aperçu de la bourde que tu as faite par inattention dans ton premier message (#3 dans cette discussion) : les deux dernières de tes figures dans ce message sont identiques, l'une d'elles ayant pris la place du cas "point M dans le quatrième quadrant" ... 
Bien amicalement, JLB

Bonjour Gaïa,
Je vais essayer de t'aider :
Commençons par un point M situé sur le cercle trigonométrique, de rayon 1 par convention, dont le centre O est l'origine du repère orthonormé classique (Ox, Oy), dans ce qu'on appelle le premier quadrant, c'est-à-dire le quart de cercle supérieur du côté droit, puisque l'origine des "abscisses circulaires" sur le cercle est encore par convention, le point A de coordonnées (1, 0) et que le sens "positif" de parcours du cercle est, toujours par convention, le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre. Appelons en outre Hx et Hy les points projections orthogonales respectives du point M sur les axes Ox et Oy. On définit le cosinus de l'angle AOM comme le rapport OHx/OM, c'est-à-dire, dans le triangle OHxM rectangle en Hx, le rapport de la longueur du côté OHx adjacent à l'angle HxOM (identique à l'angle AOM) à la longueur de  l'hypoténuse OM. D'accord ? Bien. Donc, l'axe des x représente "l'axe des cosinus". Le sinus de l'angle AOM, lui, est défini comme le rapport HxM/OM, c'est-à-dire, dans le même triangle OHxM, le rapport de la longueur du côté HxM opposé à l'angle HxOM à la longueur de  l'hypoténuse OM. Mais étant donné que le quadrilatère OHxMHy est un rectangle, les côtés opposés OHy et MHx de ce rectangle sont égaux, le sinus de l'angle AOM est donc aussi égal au rapport OHy/OM, et l'on peut dire que l'axe des y représente "l'axe des sinus". Toujours d'accord ? Bien. Continuons : Faisons bouger le point M sur le cercle, en partant du point A : il est évident que, jusqu'à ce qu'il arrive en B, le "point haut" du cercle, l'abscisse du point Hx, autrement dit le cosinus de l'angle AOM, va rester positif, tout en diminuant au fur et à mesure. Quand M est en B, l'angle M devient droit, le point Hx se confond avec le point O : le cosinus d'un angle droit vaut zéro. Si M dépasse ce point B, il entre dans "le deuxième quadrant" le quart de cercle supérieur du côté gauche, et l'angle AOM devient obtus : alors, Hx dépasse O vers la gauche, autrement dit, son abscisse devient négative, et le cosinus de l'angle AOM devient lui aussi négatif. Par contre, quand M se trouve dans ce deuxième quadrant, sa projection Hy sur l'axe vertical reste au-dessus de O, comme quand M se trouvait dans le premier quadrant : donc, son sinus est encore positif. Pour que le sinus de l'angle AOM devienne négatif, il faut attendre que le point M passe dans le "troisième quadrant", autrement dit, qu'il dépasse, dans son parcours sur le cercle, le point à l'extrême gauche du cercle (point où le sinus vaut zéro) et qu'il entame son retour vers le côté droit ...
Je te laisse vérifier que l'on peut résumer les choses de la manière suivante :
premier quadrant, angle aigu positif : cosinus positif décroissant de +1 à 0, sinus positif croissant de 0 à +1 ;
deuxième quadrant, angle obtus positif : cosinus négatif décroissant de 0 à -1, sinus positif décroissant de +1 à 0 ;
troisième quadrant (en bas à gauche), angle obtus négatif : cosinus négatif croissant de -1 à 0, sinus négatif décroissant de 0 à -1 ;
quatrième quadrant (en bas, à droite), angle aigu négatif : cosinus positif croissant de 0 à +1, sinus négatif croissant de -1 à 0.
Dans les troisième et quatrième quadrants, les angles sont considérés comme étant négatifs,  car le point M peut aussi, partant de A, y arriver en allant sur le cercle dans le sens des aiguilles d'une montre, sens négatif sur le cercle trigonométrique.
Je reviendrai plus tard pour la tangente, là j'ai une réunion.
Bien cordialement, JLB

Bonjour Yoshi, Bernard et tous,
Merci beaucoup Yoshi ! Je ne connaissais pas cette construction, j'en étais resté à celle de Gauss (je crois), bien plus compliquée dans mon souvenir, qu'il me semblait avoir vue dans le petit livre "Les nombres et leurs mystères" d'André Warusfel. Mais vérification faite, j'ai dû l'apercevoir ailleurs, car celle qui figure dans ce livre, c'est bien celle de Richmond ! Ou alors, je confonds avec la figure de la construction du polygone constructible suivant, avec je ne sais plus combien de côtés ...
Je sais, bien sûr, que l'heptadécagone est constructible à la règle et au compas, contrairement à beaucoup d'autres ... Mais c'est devenu l'un de mes passe-temps favoris, de m'amuser à chercher, avec Geogebra, des constructions approchées le plus "exactes" possible des polygones de degré impair, réalisables "à la règle et au compas".
Pour l'ennéagone, par exemple : https://www.geogebra.org/classic/z3vb45vj  et https://www.geogebra.org/classic/utmhuq2v
Et comme cela fait longtemps que je m'y adonne, j'en ai "pas mal" ! J'ai d'ailleurs le "projet" d'en faire un petit recueil, pour celles et ceux qui seraient intéressé(e)s ...
Et pour ta proposition, bien sûr que "cela me dit" !
En toute amitié, Jean-Louis B.

Bonjour Borassus, DrStone, bonjour à tous,
Il me semble effectivement que la réponse idoine à ta question, cher Borassus, est bien celle que tu viens de donner, à savoir le signe de la dérivée seconde, si celle-ci existe ... 
Mais j'ai quand même du mal à imaginer une "fonction concave", dans la mesure où une "fonction" reste quelque chose d'abstrait tant qu'on ne la représente pas par une courbe concrète, ou pour mieux dire, tant qu'on ne la visualise pas à l'aide d'une courbe concrète ...
Bien amicalement, JLB

Bonjour Ernst,
Ah ça, c'est sûr et certain, c'est une autre époque que celle où nous passions cet examen ...
En quoi "l'élocution", telle qu'elle est définie ici, est-elle une "compétence essentielle" ? Si je comprends bien, les timides sont ipso facto "incompétents" ! Même s'ils connaissent leur sujet sur le bout des doigts ...
J'approuve ta conclusion !
Bien amicalement, JLB

Bonjour à tous,
Borassus, un détail : dans l'expression "aller de pair", le mot "pair" s'écrit sans "e" : d'après A. Rey, il s'agit de l'adjectif "pair" substantivé au sens (ancien) de "compagnon" ...
Bien amicalement, Jean-Louis B.

Ah oui, je vois le principe ... Merci ! Ce fut amusant ...