Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Julien_residu

Membre

Inscription : 14-02-2025

Messages : 3

Autour du triangle

Un petit problème de triangle ABC quelconque non isocèle

Soit O l'intersection de la bissectrice issue de A et de la médiatrice de [BC].

Soit B' la projection de O sur (AC) et C' la projection de O sur (AB).

Démontrer que B' ou C' est forcément en dehors du triangle ABC.

Rescassol

Membre

Inscription : 19-09-2023

Messages : 212

Re : Autour du triangle

Bonsoir,

$O$ étant sur la $A-$bissectrice, on a $OB'=OC'$ et $AB'=AC'$.
$O$ étant sur la médiatrice de $[BC]$, on a $OB=OC$.
Les triangles $OBC'$ et $OCB'$ étant rectangles avec deux côtés égaux sont alors des triangles égaux, donc $BC'=CB'$.
Si $B'$ et $C'$ étaient tous deux intérieurs au triangle $ABC$, par addition, on aurait $AB=AC$.
S'ils étaient tous deux extérieurs, par soustraction, on aurait encore $AB=AC$.
Dans les deux cas, il y a contradiction avec le fait que $ABC$ n'est pas isocèle.
Donc il y en a un à l'intérieur et un à l'extérieur.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (20-02-2025 11:54:29)

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 145

Re : Autour du triangle

Bonjour, Rescassol, Julien_residu,
N'y a-t-il pas moyen d'utiliser le fait que O est le milieu de l'arc BC du cercle circonscrit à ABC ? ou le fait (à démontrer ?) que la droite B'C' passe par le milieu M de BC ? ou encore celui que les points O, M, B et C' d'une part, O, M, B' et C d'autre part, sont cocycliques et définissent deux cercles de diamètres respectifs OB et OC ?
Il me semble que l'on peut aussi raisonner à partir du fait que le triangle OBC' est l'image de OCB' dans la rotation de centre O et d'angle (OC, OB), et que cette rotation, envoyant C sur B et B' sur C', fait que, si sur la demi-droite orientée AC, on a AB' < AC, sur la demi-droite orientée AB, on a AB < AC', et inversement. Est-ce correct ?
Bien amicalement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (16-02-2025 12:18:04)