Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

Borassus · 10-05-2025 14:15:35

Bonjour à tous,

Une courbe est convexe si l'intérieur de celle-ci (c'est-à-dire sa concavité) est "orientée vers le haut" (ou, du moins, vers les ordonnées croissantes).
Une courbe est concave si sa concavité est "orientée vers la bas" (ou, du moins, vers les ordonnées décroissantes).

Que signifie fondamentalement une fonction convexe ou une fonction concave ?
Est-ce un abus de langage ?

Merci de vos retours, toujours enrichissants.

Bonne journée et bon week-end.

Dernière modification par Borassus (10-05-2025 14:16:15)

Bernard-maths · 10-05-2025 15:12:05

Bonjour à tous !

Question qui m'amuse ! Je me lance.

Concave veut dire avec un creux, la cave, c'était un moyen mnémotechnique que je donnais. Convexe, avec une bosse, au contraire.

Si je transpose cela en relations numériques ...

Une fonction f est concave sur un intervalle [a, b], si, et seulement si, pour tous x1, x2 >x1, x3>x2, de [a, b], on a f(x2)< f(x1) ET f(x2)<f(x3). Voilà ma première idée.

Bien sur f est convexe si on a le contraire : f(x2)> f(x1) ET f(x2)>f(x3).

Alors, est-ce que ça colle avec ce qui est connu ?

Bernard-maths

yoshi · 10-05-2025 18:55:26

Bonjour,

Ave Borassus !

Une courbe est convexe si l'intérieur de celle-ci (c'est-à-dire sa concavité)...

Et la concavité alors ?
Curieuse définition... Elle sort d'où ?
Donc, si je comprends bien on définit la convexité par opposition à la concavité, c'est intéressant...
Dans le même ordre d'idée, à celui qui n'arrive pas à différencier la gauche de la droite, je dis :
Facile ! Regardez le dos de vos mains. La main gauche, c'est celle où le pouce est à droite...

Bon, je redeviens sérieux (si, si ! ça m'arrive)...
Si je trace la courbe représentative des variations de $f$ tel que sur $]-\infty\,;\,+\infty[$, $f(x)=x^3-3x+2$, où se trouve la convexité, la concavité ?
l'article défini singulier (comme on disait à mon époque) est-il approprié ?

@+

DrStone · 10-05-2025 19:47:57

Bonjour Borassus. Cela fait longtemps.

Une fonction $f$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$ est convexe si

$$\forall(\alpha, \beta)\in\mathbf{R}^2, \quad \forall \lambda\in[0, 1], \qquad f(\lambda\alpha + (1-\lambda)\beta) \leq \lambda f(\alpha) + (1-\lambda)f(\beta).$$

Autrement dit, une fonction est convexe si son graphe est toujours sous ses cordes. Il y a une belle et sympathique illustration sur Wikipédia que je dérobe sans aucun scrupule pour la présenter ici :

Ensuite, fort heureusement pour nous autres, simples mortels, les définitions mathématiques étant bien faites :

une fonction $f$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$ est concave si son opposée $-f$ est convexe.

Dernière modification par DrStone (10-05-2025 19:48:40)

Borassus · 10-05-2025 21:28:17

$$\forall(\alpha, \beta)\in\mathbf{R}^2, \quad \forall \lambda\in[0, 1], \qquad f(\lambda\alpha + (1-\lambda)\beta) \leq \lambda f(\alpha) + (1-\lambda)f(\beta).$$
Autrement dit, une fonction est convexe si son graphe est toujours sous ses cordes.

Bonsoir Doc (effectivement cela fait longtemps :-), bonsoir Bernard, bonsoir Yoshi, bonsoir à tous.

Oui, bien sûr, cette expression donne la définition d'une fonction convexe. (Le rapport le plus simple est $\frac 1 2$ : une fonction est convexe si l'image du milieu d'un intervalle est égale à la moyenne des images des deux bornes de l'intervalle.)

Mais l'interprétation de la définition revient à la courbe...

Le sens de ma question était « En mode calcul, exclusivement, que signifie convexe ou concave pour une fonction, sans se référer à la courbe qui la représente ? »

Le Larousse Grand format indique pour "concave" « Dont la surface présente un arrondi intérieur », et pour "concavité" « Etat de ce qui est concave ; partie concave de quelque chose »

Une lentille concave n'est pas forcément orientée vers la cave. On peut aussi l'utiliser horizontalement. :-)

Borassus · 10-05-2025 21:59:38

Exemple de courbe convexe, si on la regarde de gauche à droite, dont la concavité est orientée vers la droite.
Mais la courbe devient concave si on la regarde de droite à gauche. :-)

Je reprends donc ma question, en la formulant un peu autrement : « Qu'est-ce qu'un calcul convexe ? Qu'est-ce qu'un calcul concave ? »

Dernière modification par Borassus (10-05-2025 22:10:14)

DrStone · 10-05-2025 22:04:05

Bonsoir Borassus.

Peux-tu préciser ce que tu entends par «en mode calcul exclusivement» ? Car je ne suis pas certain de comprendre où tu veux nous emmener.

Borassus · 10-05-2025 22:08:59

Une fonction est d'abord une logique de calcul !

Qui n'est pas obligatoirement représentée par une courbe.

Si la fonction est représentée par juste un tableau de valeurs, que signifie un tableau concave ou convexe ?
Et que signifie une corde du tableau ?

Dernière modification par Borassus (10-05-2025 22:14:53)

DrStone · 10-05-2025 22:16:54

Ah.

Eh bien une fonction $f$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$ est convexe si, et seulement si, elle admet une dérivée croissante.

Borassus · 10-05-2025 22:24:44

Bien sûr. Mais ce qui me gêne, c'est qu'on utilise deux termes de géométrie pour caractériser une logique de calcul.

Voici la question que j'ai posée à Mistral AI :

Je compte utiliser la métaphore de Platon concernant des hommes dans une caverne ne voyant que les ombres pour illustrer que la courbe représentant une fonction est à la fonction ce que les ombres sont au monde réel.
Comment formuler cette analogie ?

Voici sa réponse

Imaginez des hommes enchaînés dans une caverne, ne voyant du monde extérieur que les ombres projetées sur un mur. Ces ombres, bien que fidèles en apparence, ne sont que des représentations partielles et simplifiées de la réalité complexe qui les produit.
De même, la courbe tracée dans un repère pour représenter une fonction mathématique n'est qu'une "ombre" de la fonction elle-même. Elle en capture certaines propriétés (valeurs, variations, concavité), mais ne révèle pas toute sa nature :
La courbe montre les résultats (images) de la fonction, mais pas son mécanisme interne (formule, algorithme).
Elle visualise des comportements (croissance, extremums), mais occulte des propriétés abstraites (continuité, dérivabilité).
Comme les ombres, elle est une projection bidimensionnelle d'un objet potentiellement plus complexe (fonctions multivariées, espaces abstraits).
Ainsi, la courbe est à la fonction ce que l'ombre est à l'objet réel : une représentation utile mais incomplète, qui nécessite l'étude de la fonction elle-même pour en saisir toute la richesse.

DrStone · 10-05-2025 22:30:19

Quels termes de géométrie ? Et en quoi cela serait un problème ? Pour définir une fonction et en utiliser les propriétés tu utilises des termes d'algèbre (et même plus généralement de théorie des ensembles).

Ne serait-ce que le mot fonction qui, en mathématique contemporaine et pour rester simple (et ne pas entrer dans différentes axiomatiques), n'est finalement qu'une relation spécifique, elle même définie par un ensemble de départ, un ensemble d’arrivée et un… graphe.

Cela ne te pose pas de problème que je sache ?

Dernière modification par DrStone (10-05-2025 22:32:16)

Borassus · 10-05-2025 22:41:58

Cela fait en effet longtemps, cher Doc, que nous n'avons pas offert à nos lecteurs une de ces parties de tennis homériques — toc, toc, toc, toc... — qui font en général monter le compteur de nombres de vues. :-)

DrStone · 10-05-2025 22:48:06

Il est vrai. :=)

Mais sans aller jusque-là, j'ai du mal à comprendre ta position. De mon point de vue, ta position revient à dire qu'il est honteux d'employer des termes mathématiques en économie pour expliquer le principe de croissance économique, par exemple.

Quoi que non, c'est encore pire en réalité, étant donné que la mathématique forme en réalité un tout cohérent et au fond, que ce soit l'analyse ou la géométrie, tout ceci peut s'exprimer à travers l'algèbre. J'ai donc envie de dire, analyse, géométrie, même combat. ;=)

Quoi qu'il en soit, j'aimerais sincèrement comprendre ce qui t'agace à ce point !

Borassus · 11-05-2025 06:50:19

Je ne m'agace pas !

Je voulais juste comprendre quel sens donner à "fonction convexe" et "fonction concave" si on fait abstraction de la courbe qui la représente.

C'EST TOUT !!

PS : Bon dimanche à tous.

Dernière modification par Borassus (11-05-2025 06:51:38)

Borassus · 11-05-2025 07:27:30

J'explique donc :

Comme la dérivée croissante ou décroissante signifie que sa propre dérivée — c'est-à-dire la dérivée seconde — est positive ou négative, le critère premier, et le plus simple, est le signe de la dérivée seconde.

Trois autres critères permettent de déterminer si une courbe représentant une fonction est convexe ou concave. (Par extension, la fonction représentée par la courbe sera désignée "fonction convexe" ou "fonction concave".)

jelobreuil · 11-05-2025 07:59:11

Bonjour Borassus, DrStone, bonjour à tous,
Il me semble effectivement que la réponse idoine à ta question, cher Borassus, est bien celle que tu viens de donner, à savoir le signe de la dérivée seconde, si celle-ci existe ...
Mais j'ai quand même du mal à imaginer une "fonction concave", dans la mesure où une "fonction" reste quelque chose d'abstrait tant qu'on ne la représente pas par une courbe concrète, ou pour mieux dire, tant qu'on ne la visualise pas à l'aide d'une courbe concrète ...
Bien amicalement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (11-05-2025 08:01:48)

Borassus · 11-05-2025 08:11:31

Bonjour cher JLB,

Que j'apprécie tes interventions, toujours bienveillantes et pertinentes !

Bonne journée.
De mon côté, je pars en cours, et j'aurai un autre cours en fin d'après-midi.
(Je travaille même le dimanche.)

Borassus · 12-05-2025 11:47:12

Bonjour jelobreuil, bonjour à tous

L'intervention de JLB — merci !! — m'a permis d'enrichir mon texte comme suit :

(Par extension, la fonction représentée par la courbe sera désignée "fonction convexe" ou "fonction concave", bien que ces désignations ne correspondent pas à des significations concrètes, une fonction étant avant tout une logique de calcul concrétisée, notamment, par le tracé d'une courbe.)

DrStone · 12-05-2025 12:40:47

Bonjour. Borassus.

Si je suis plutôt tout à fait d'accord avec la première partie (de ta citation et du reste), je suis en revanche en désaccord avec ce passage:

Borassus a écrit :

une fonction étant avant tout une logique de calcul concrétisée, notamment, par le tracé d'une courbe.

Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ est une relation de $A$ dans $B$ pour laquelle chaque élément de l'ensemble $A$ est associé à, au plus, un élément de l'ensemble $B$.

Ainsi donc, par exemple, avec l'ensemble
$$A=\{\text{Macron}, \text{Hollande}, \text{Sarkozy}, \text{Chirac}, \text{Mitterand}, \text{Giscard d'Estaing}, \text{Pompidou}, \text{de Gaulle}\}$$

et l'ensemble

$$B=\{\text{Amiens}, \text{Lille}, \text{Montboudif}, \text{Jarnac}, \text{Paris}, \text{Rouen}\},$$

on peut définir la fonction

$$\text{«… est né à…»}$$

de l'ensemble $A$ vers l'ensemble $B$.

On obtient alors le graphe — qui n'est pas obligatoirement une courbe — suivant pour, j'insiste, une fonction ne faisant aucunement intervenir de logique de calcul.

EDIT. Oops, j'ai oublié Amiens pour Macron que j'ai fait naitre à Paris. je corrige ça.
PS. J'ai délibérément choisi de ne pas donner la ville de naissance de Giscard pour souligner le "au plus" de la définition d'une fonction, pour lequel il faut comprendre "zéro ou un élément".

Dernière modification par DrStone (12-05-2025 12:50:11)

Borassus · 12-05-2025 13:09:31

Bonjour DrStone,

Mon extrait fait partie d'un ouvrage explicatif portant sur la notion de DÉRIVATION s'adressant à des élèves de Première et de Terminale !!!
Portant donc sur des fonctions RÉELLES !!!

Ton souci de rigueur n'a donc ABSOLUMENT PAS sa place ici !!!

Que signifie la limite de [ lieu de naissance moins lieu de naissance du président A ] sur [ président moins président A ] quand président tend indéfiniment vers président A ??!!

Que signifie la convexité ou la concavité de la correspondance entre les présidents de la 5ème République et leur lieu de naissance ??!!

Que signifie une corde joignant les points (président A , lieu de naissance du président A) et (président B , lieu de naissance du président B) ??!!

Que signifie etc. ??!!

Excuse-moi de mon ton (profondément) énervé, mais tu as véritablement réussi à me mettre hors de moi, ce que tu souhaitais sans doute !!

PS : Je vais néanmoins corriger mon texte en précisant "une fonction réelle", au cas où un lecteur ne comprendrait pas que le concept de dérivation porte sur des fonctions réelles.

PPSS: Je vais de ce pas me gratifier de deux comprimés de valériane !

DrStone · 12-05-2025 13:25:41

Venant d'une personne qui fustige bien souvent les professeurs du secondaire qui ne s'en tiendraient pas suffisament aux définitions et à la logique, j'ai simplement trouvé cocasse de ta part d'essentialiser toutes les fonctions en fonctions numériques de la variable réelle.

Car, réellement, qu'importe la convexité ou la concavité ici. Le souci n'est pas là. Non, le souci est dans le fait d'écrire, et de considérer, je cite :

Borassus a écrit :

une fonction étant avant tout une logique de calcul concrétisée

ce qui est faux.

Si tu avais écrit (je rajoute en gras)

une fonction numérique (de la variable réelle) étant avant tout une logique de calcul concrétisée

je n'aurais rien dit.

Dernière modification par DrStone (12-05-2025 13:29:09)

Eust_4che · 12-05-2025 20:09:00

Bonjours a tous et à toutes :

Que signifie la limite de [ lieu de naissance moins lieu de naissance du président A ] sur [ président moins président A ] quand président tend indéfiniment(*) vers président A ??!!

Cela dépend de la topologie que tu considères sur l'ensemble des président de Ve république :-)

Que signifie la convexité ou la concavité de la correspondance entre les présidents de la 5ème République et leur lieu de naissance ??!!

Rien. On ne peut pas parler de convexité ou de concavité pour toute fonction. Il faut à tout le moins un espace vectoriel réel sur lequel travailler. On peut alors y définir les parties convexes et les fonctions convexes à partir de fonctions définies dans une partie convexe et à valeurs réelles. Question : Peut-on définir une fonction convexe à partir d'une fonction définie dans une partie quelconque de $\mathbf{R}$ ? La fonction $x \mapsto 1/x$ est convexe ou concave? :-)

(*) "tendre" suffit. Pas besoin du complément "indéfiniment"

Dernière modification par Eust_4che (12-05-2025 20:12:36)

Borassus · 12-05-2025 23:15:37

Cela dépend de la topologie que tu considères sur l'ensemble des président de Ve république :-)

Bonsoir, ou bonjour, Eust_4che,

Merci de m'avoir fait sourire. J'en avais bien besoin. :-)

Il faut à tout le moins un espace vectoriel réel sur lequel travailler. On peut alors y définir les parties convexes et les fonctions convexes à partir de fonctions définies dans une partie convexe et à valeurs réelles.

Je me vois tout à fait expliquer cela à mes élèves. :-)

Peut-on définir une fonction convexe à partir d'une fonction définie dans une partie quelconque de $\mathbf{R}$ ? La fonction $x \mapsto 1/x$ est convexe ou concave?

Excellent question ! La convexité et la concavité n'ont véritablement de sens que si on précise l'intervalle sur lequel la courbe (et donc la fonction qu'elle représente) est concave ou convexe.

(*) "tendre" suffit. Pas besoin du complément "indéfiniment"

J'ai largement pu constater que les élèves ont une faible compréhension de "tend vers", notamment lorsqu'il s'agit d'une valeur finie. (Ils comprennent mieux "tend vers l'infini", mais ne comprennent pas vraiment ce que cela signifie concrètement.)

C'est pourquoi j'utilise l'expression "tend indéfiniment vers" et explique que la variable (ou la fonction) peut être très proche de telle ou telle valeur, à la centième ou à la trois millième décimale, sans jamais lui être définitivement égale.

Borassus · 12-05-2025 23:33:51

Si tu avais écrit (je rajoute en gras)
une fonction numérique (de la variable réelle) étant avant tout une logique de calcul concrétisée
je n'aurais rien dit.

Bonsoir, ou bonjour, DrStone,

Dont acte :
En introduction j'ai précisé

Une fonction réelle — c'est-à-dire de l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ vers le même ensemble $\mathbb{R}$ — est une logique de calcul qui [...]

J'ai même mis en commentaire du code html « c'est là la trace du fort énervement que m'a provoqué cet épouvantable DrStone sur Bibmath (discussion sur les courbes et fonctions convexes ou concaves le 12/05/2025) ».

En note, j'ai précisé

L'appellation rigoureuse d'une fonction réelle est "fonction numérique à variable et à valeurs réelles".
Par ailleurs, une fonction n'est pas nécessairement réelle. Mais la définition générale et précise d'une fonction sort du cadre de cet ouvrage, qui ne traite que des fonctions réelles.

Enfin, le passage incriminé est devenu

[...] une fonction réelle étant avant tout une logique de calcul concrétisée, notamment, par le tracé d'une courbe.

Tu as donc apporté ta contribution à mon ouvrage !

Borassus · 12-05-2025 23:35:02

Je serai absent pendant ces deux jours.

Bonne et fructueuse journée à tous.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 10-05-2025 14:15:35

Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

#2 10-05-2025 15:12:05

Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

#3 10-05-2025 18:55:26

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#4 10-05-2025 19:47:57

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#5 10-05-2025 21:28:17

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#6 10-05-2025 21:59:38

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#7 10-05-2025 22:04:05

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#8 10-05-2025 22:08:59

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#9 10-05-2025 22:16:54

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#10 10-05-2025 22:24:44

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#13 10-05-2025 22:48:06

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