Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour je voulais savoir pourquoi dans la definition de l'integrale d'une fonction..on parle de continuite...??
si la fonction n'est pas continue est-ce qu'on pourrait parler d'integrale..???
je voulais avoir des eclaircissements >>

Bonsoir

j'ai un petit probleme avec l'exercice ci-dessous a la question d/

-----------------------------------------------------------------------------------

  L'enonce s'arrete la. Voici ce que j'ai eu a faire.

  a./ Montrons que f admet une reciproque [tex] f^{-1}[/tex]
   
        [tex]\forall x[/tex] [tex]\in[/tex] [tex]]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[[/tex] implique que x a qui on associe [tex]tanx[/tex] est strictement croissante sur

        cette intervalle car [tex] (tan)'(x)=\frac{1}{cos^2x}[/tex] qui est positif. Comme [tex]f[/tex] est definie, continue et strictement

       croissante sur [tex]]\frac{-\pi}{2},\frac{pi}{2}[[/tex] elle realise donc une bijection de cette intervalle vers un intervalle
     
       [tex] J= ]-\infty,+\infty[[/tex]. [tex]x\Rightarrow[/tex][tex]tanx[/tex] admet une bijection reciproque [tex] f^{-1}[/tex] qui est la fonction
       
        [tex]Arctan[/tex]
 
   b./ On note [tex]f^{-1}=Arctanx[/tex].Verifions que:
 
           [tex]2Arctan\frac{1}{2}=Arctan\frac{4}{3}[/tex]. On sait que [tex]\frac{1}{2}[/tex] est compris entre 0 et 1 il en

          resulte donc que [tex]Arctan0=0<arctan\frac{1}{2}<\frac{\pi}{4}[/tex] d'ou donc la tangente est definie.
       
        on a [tex]\tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}[/tex] par analogie on aura :
       
       [tex]\tan(Artan\frac{1}{2}+Arctan\frac{1}{2})=\frac{tan(Arctan\frac{1}{2})+\tan(Artan\frac{1}{2}}{1-\tan^2artan\frac{1}

      {2}}[/tex] d'ou directement on a [tex]tan(2Arctan\frac{1}{2})=\frac{4}{3}[/tex]
     
          implique que [tex]Artan(tan(2Artan\frac{1}{2}))=Arctan\frac{4}{3}[/tex]
     
  2./Montrons que f est une bijection de I vers J a preciser.
     
      les fonctions x a qui on associe [tex]sinx[/tex] et x a qui on associe [tex]cosx[/tex] sont derivables sur I il en resulte donc que f   

       est derivable sur I.
   
   [tex]f'(x)=cosx-sinx[/tex] implique que [tex] f'(x)=\sqrt2(\frac{cosx}{\sqrt2}-\frac{sinx}{\sqrt2})[/tex]

  pour eviter trop de detail [tex] f'(x)[/tex]est positif donc f est strictement croissante sur I. La fonction etant donc definie, continue  et

monotone sur I; elle realise une bijection de I vers [tex][f(\frac{-3\pi}{4}),f(\frac{\pi}{4})]=J[/tex] d'ou [tex]J=[-\sqrt{2},\sqrt{2}][/tex]

   b./ Etudions la continuite et la derivabilite de [tex]f^{-1}[/tex] sur J.

    Partons d'abord d'une etude de la continuite et de la derivabilite de f sur I on a les fonctions x a qui on associe [tex]sinx[/tex] et x 

    a qui on associe [tex]cosx[/tex] sont continues sur[tex]R[/tex] donc sur I il en est de meme pour la derivabilite. D'apres ce qui 

    precede f est continue et derivable sur I, sa fonction reciproque l'est aussi sur [tex]f(I)=J[/tex].
 
   C./ pas de probleme c'est au niveau de la primitive ou j'ai des problemes.
   
   Merci de votre aide....