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BAKARY NDIAYE

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Foncion reciproque

Bonsoir

j'ai un petit probleme avec l'exercice ci-dessous a la question d/

1./ Soit [tex] f(x)=tan(x), x\in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[[/tex]

      a./ Montrer que f admet une reciproque [tex]f^{-1}[/tex]
       
      b./ On note [tex] f^{-1}=Arctan[/tex]. Verifier que : [tex] 2Arctan\frac{1}{2}=Artan\frac{4}{3}[/tex].
     
     
2./ soit [tex] f(x)=sinx+cosx[/tex] ,[tex] x\in[/tex][tex][\frac{-3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]=I [/tex]
     
     a./Montrer que f est une bijection de I vers J a preciser.

     b./ Etudier la continuite et la derivabilite de [tex] f^{-1}[/tex] sur J.
   
     c./ Calculer [tex] f^{-1}(\sqrt{2}) , f^{-1}(\sqrt{2})[/tex] et [tex](f^{-1})'(1)[/tex].
     
     d./ Calculer [tex] (f^{-1})'(x)[/tex] . En deduire une primitive de [tex] F(x)=\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}[/tex] sur[tex][-\sqrt{2} ; \sqrt{2}][/tex].

-----------------------------------------------------------------------------------

  L'enonce s'arrete la. Voici ce que j'ai eu a faire.

  a./ Montrons que f admet une reciproque [tex] f^{-1}[/tex]
   
        [tex]\forall x[/tex] [tex]\in[/tex] [tex]]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[[/tex] implique que x a qui on associe [tex]tanx[/tex] est strictement croissante sur

        cette intervalle car [tex] (tan)'(x)=\frac{1}{cos^2x}[/tex] qui est positif. Comme [tex]f[/tex] est definie, continue et strictement

       croissante sur [tex]]\frac{-\pi}{2},\frac{pi}{2}[[/tex] elle realise donc une bijection de cette intervalle vers un intervalle
     
       [tex] J= ]-\infty,+\infty[[/tex]. [tex]x\Rightarrow[/tex][tex]tanx[/tex] admet une bijection reciproque [tex] f^{-1}[/tex] qui est la fonction
       
        [tex]Arctan[/tex]
 
   b./ On note [tex]f^{-1}=Arctanx[/tex].Verifions que:
 
           [tex]2Arctan\frac{1}{2}=Arctan\frac{4}{3}[/tex]. On sait que [tex]\frac{1}{2}[/tex] est compris entre 0 et 1 il en

          resulte donc que [tex]Arctan0=0<arctan\frac{1}{2}<\frac{\pi}{4}[/tex] d'ou donc la tangente est definie.
       
        on a [tex]\tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}[/tex] par analogie on aura :
       
       [tex]\tan(Artan\frac{1}{2}+Arctan\frac{1}{2})=\frac{tan(Arctan\frac{1}{2})+\tan(Artan\frac{1}{2}}{1-\tan^2artan\frac{1}

      {2}}[/tex] d'ou directement on a [tex]tan(2Arctan\frac{1}{2})=\frac{4}{3}[/tex]
     
          implique que [tex]Artan(tan(2Artan\frac{1}{2}))=Arctan\frac{4}{3}[/tex]
     
  2./Montrons que f est une bijection de I vers J a preciser.
     
      les fonctions x a qui on associe [tex]sinx[/tex] et x a qui on associe [tex]cosx[/tex] sont derivables sur I il en resulte donc que f   

       est derivable sur I.
   
   [tex]f'(x)=cosx-sinx[/tex] implique que [tex] f'(x)=\sqrt2(\frac{cosx}{\sqrt2}-\frac{sinx}{\sqrt2})[/tex]

  pour eviter trop de detail [tex] f'(x)[/tex]est positif donc f est strictement croissante sur I. La fonction etant donc definie, continue  et

monotone sur I; elle realise une bijection de I vers [tex][f(\frac{-3\pi}{4}),f(\frac{\pi}{4})]=J[/tex] d'ou [tex]J=[-\sqrt{2},\sqrt{2}][/tex]

   b./ Etudions la continuite et la derivabilite de [tex]f^{-1}[/tex] sur J.

    Partons d'abord d'une etude de la continuite et de la derivabilite de f sur I on a les fonctions x a qui on associe [tex]sinx[/tex] et x 

    a qui on associe [tex]cosx[/tex] sont continues sur[tex]R[/tex] donc sur I il en est de meme pour la derivabilite. D'apres ce qui 

    precede f est continue et derivable sur I, sa fonction reciproque l'est aussi sur [tex]f(I)=J[/tex].
 
   C./ pas de probleme c'est au niveau de la primitive ou j'ai des problemes.
   
   Merci de votre aide....

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (16-05-2013 19:45:10)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Foncion reciproque

Salut,

Ça t'arrive de te relire ???
Message incomplet...
Qu'est-ce que tu veux ? Qu'est-ce qui ne va pas ?

@+

Yassine

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Re : Foncion reciproque

C'est vrai que comme dit yoshi, on a du mal à savoir ce que tu veux, où tu bloques.
As-tu pensé à élever [tex]f(x)[/tex] au carré et appliquer tes formules de trigo (double angle) ?
J'imagine que si on te demande de dériver une fonction, puis qu'on te demande d'en déduire une primitive d'une autre fonction, c'est qu'il est probable que ce soit la fonction que tu viens de dériver à une constante près.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Foncion reciproque

RE,

C'est vrai que comme dit yoshi, on a du mal à savoir ce que tu veux, où tu bloques.

Sauf que quand j'ai regardé ce matin, son post était limité à 2 lignes..
La question 1 s'arrêtait à  [tex]x\in][/tex]
Rien après, d'où mon étonnement.

Maintenant, c'est complet...
Bizarre...
Alors Yassine, tu interviens, c'est bien...
A toi de jouer, je ne m'en mêle plus.

Au taf !

@+

freddy

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Re : Foncion reciproque

Salut,

je confirme, deux lignes, le début d'un message ... Là, 40 lignes, bel effort !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Foncion reciproque

Salut,

Et pourtant,

Aucune modification faite depuis hier 23:10 : je ne peux m'expliquer ça !

Prière de corriger ta dérivée question 2 (si tu veux que Yassine puisse t'aider),  après "implique que"... Moi j'y ai renoncé.

@+

totomm

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Re : Foncion reciproque

Bonjour,

Un peu d'aide pour la dérivée question 2d, même si ce n'est pas par Yassine....

on écrit [tex] (f^{−1})'=\frac{1}{(siny+cosy)'}=\frac{1}{cosy-siny}[/tex]

reste à évaluer [tex]\alpha= cosy-siny[/tex] en fonction de [tex]x=siny+cosy[/tex]

c'est le tour de passe-passe quelque peu habituel en trigonométrie :
[tex]\alpha^2= (cosy-siny)^2=1-2siny.cosy=2-(1+2siny.cosy)[/tex]
[tex]\alpha^2=2-(sin^2y+cos^2y+2siny.cosy)=2-x^2[/tex]
voilà donc [tex](f^{−1})' = \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}[/tex]

@nerosson : suis-je resté assez sage ?

Cordialement

BAKARY NDIAYE

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Re : Foncion reciproque

Bonjour>

Merci j'ai compris votre raisonnement mais y a une partie tout au debut que j'ai pas compris.
vous aviez ecrit [tex](f^{-1})'=\frac{1}{(siny+cosy)'}[/tex] moi j'ai essaye d'utiliser [tex](f^{-1})'=\frac{1}{f'(f^{-1})}[/tex]

mais j'ai pas trouve le meme resultat que vous Nerosson

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (29-04-2013 12:00:17)

BAKARY NDIAYE

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Re : Foncion reciproque

Salut Yoshi j'ai corrige la derivee.

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (29-04-2013 12:14:40)

totomm

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Re : Foncion reciproque

Merci j'ai compris votre raisonnement mais y a une partie tout au debut que j'ai pas compris.
vous aviez ecrit [tex](f^{-1})'=\frac{1}{(siny+cosy)'}[/tex] moi j'ai essaye d'utiliser [tex](f^{-1})'=\frac{1}{f'(f^{-1})}[/tex]

mais j'ai pas trouve le meme resultat que vous

Donnez donc votre calcul.

Yassine

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Re : Foncion reciproque

Bonjour Bakary, totomm utilise bien la formule que tu indiques, mais avec peut être une notation qui te perturbe.
Je te le découpe en étapes : si tu poses [tex]y=f(x)[/tex], il vient alors [tex](f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}=\frac{1}{f'(x)}[/tex]. Par ailleurs, tu peux facilement vérifier que [tex](cosx + sinx)^2 + (cosx - sinx)^2=2[/tex],
tu peux donc en déduire que [tex]f(x)^2 + f'(x)^2=2[/tex], d'où, en remplaçant [tex]f(x)[/tex] par [tex]y[/tex], on a [tex]f'(x) = \sqrt{2-y^2}[/tex]. Et donc, en replaçant dans la formule précédente, on arrive à : [tex](f^{-1})'(y) = \frac{1}{\sqrt{2-y^2}}[/tex].
J'espère que c'est plus clair pour toi.

BAKARY NDIAYE

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Re : Foncion reciproque

Merci a vous deux .... j'ai bien compris..

totomm

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Re : Foncion reciproque

Bonjour,

totomm utilise bien la formule que tu indiques, mais avec peut être une notation qui te perturbe.

Pour bien préciser : Quand Yassine arrive de manière impeccable à
[tex](f^{-1})'(y) = \frac{1}{\sqrt{2-y^2}}[/tex], la variable dans la fonction réciproque est y
et la dérivée est celle de x fonction de y.

Quand je veux étudier la réciproque de la fonction [tex] f(x)=sinx+cosx[/tex] ,[tex] x\in[\frac{-3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}][/tex],
j'intervertis x et y de façon à représenter  [tex]f \ et\ f^{-1}[/tex] sur le même plan muni d'un repère  orthogonal [tex] (O,\vec{i},\vec{j}) [/tex], x étant l'abscisse et y l'ordonnée.

Pour éviter toute erreur je définis une variable auxiliaire t et j'écris pour f :
x=t avec [tex]t=[\frac{-3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}][/tex],
y= sint+cost

alors pour [tex]f^{-1}[/tex], en intervertissant simplement x et y :
y=t avec [tex]t=[\frac{-3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}][/tex],
x= sint+cost
et la dérivée s'écrit "naturellement" en dérivant par rapport à t : [tex](f^{-1})'=\frac{y'}{x'}=\frac{1}{cost-sint}[/tex]

Reste ensuite à exprimer cette dernière en fonction de x qui se place en abscisses.
(au post #7 je n'ai pas utilisé t mais y)

Si ma démarche n'est pas "orthodoxe", elle évite bien des erreurs...

BAKARY NDIAYE

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Re : Foncion reciproque

Merci encore Tottom.