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Bonjour,

je reviens sur la première partie de la résolution qui génère une erreur :

Résolution de l'équation homogène associée :

[tex]xy'+y=0[/tex]
[tex]sur ]0,1[ et ]-1,0[[/tex] on a peut écrire : [tex]y'+\frac{y}{x}=0[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}[/tex]
[tex]\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}[/tex]

[tex]\int\frac{dy}{y}=ln|y|+C1[/tex] et [tex]\int\frac{-dx}{x}=-ln|x|+C2[/tex]

soit [tex]ln|y|=-ln|x|+C[/tex]  avec K=C1-C2

d'où [tex]y=K{e}^{ln|\frac{1}{x}|}=K\left|\frac{1}{x}\right|[/tex] avec K réel

et c'est ici que mes deux solutions apparaissent (et que j’introduis une erreur) :

Sur ]-1,0[ [tex]x<0[/tex] donc [tex]y=-\frac{K}{x}[/tex]
et
Sur ]0;1[ [tex]x>0[/tex] donc [tex]y=\frac{K}{x}[/tex]

J'ai donc ensuite, lors de la recherche de solutions particulière deux cas et je ne vois pas où je fais une erreur. Pourriez-vous m'indiquer à quel moment je fais une erreur (je pense que c'est avec les valeurs absolue mais je ne vois pas où).

Merci d'avance.

J'ai quelques interrogations :

- la solution est-elle la même sur les deux intervalles ? dans ma résolution, j'en trouve deux en fonction du signe de x car j'ai une valeur absolue qui traine au début.

- Ensuite j'ai des difficultés à comprendre en quoi on n'arrive à montrer qu'il existe une seule solution sur ]-1;1[.

Encore merci pour le temps accordé à mes questions.

Je trouve les résultats suivants (après recherche de la solution générale de l'équation homogène puis d'une solution particulière par la méthode de la variation de la constante, la solution de l'équation est ensuite la somme des deux) :

sur ]-1;0[ : y(x)=-(k/x)-(Arcsin(x²)/x) avec k réel

sur ]0;1[ : y(x)=(k/x)+(Arcsin(x²)/x) avec k réel

Je dois ensuite montrer qu'il existe une seule solution non nulle sur ]-1,1[. Comment faire ?

J'ai deux solutions différentes sur les deux intervalles, comment montrer qu'il en existe une seule sur la réunion de ces deux intervalles sachant qu'en 0 il y a un problème. Ou alors, je me suis trompée dans la résolution !

Bonjour et merci pour toutes ces informations. Certaines subtilités restent encore un peu obscures mais j'ai bien progressé.

J'ai finalement commencé par montrer que [tex]{x}_{n}\geq \sqrt{2}[/tex]

J'ai écrit ceci :

[tex]{U}_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{1}{2}\left({U}_{n}+\frac{2}{{U}_{n}}\right)-\sqrt{2}=\frac{{\left({U}_{n}-\sqrt{2}\right)}^{2}}{2{U}_{n}}\geq 0[/tex]

Donc pour tout n non nul [tex]{x}_{n}\geq \sqrt{2}[/tex]

J'ai un doute sur le  [tex]\geq [/tex]

Est-ce que je ne devrais plutôt utiliser le > ?

Oui, tu as raison, dans la précipitation et dans la masse de brouillons tout s'est bousculé dans ma tête. L'énoncé est plutôt vague. Je dois d'abord étudier la suite pour a=2 puis généraliser avec a.

J'ai voulu commencer par l'étude des variations mais je ne sais pas si c'est une bonne chose car dans l'intervalle  0<Uo<[tex]\sqrt{2}[/tex] on ne peut pas vraiment dire que la suite est croissante. On voit aussi qu'elle tend rapidement vers [tex]\sqrt{2}[/tex].

Mais je n'arrive pas à rédiger tout cela correctement.

a est un réel positif. Je dois ensuite traiter le problème avec a=2.