Majoration et minoration suite

MayMath · 01-08-2014 19:07:18

Bonjour,

je dois étudier cette suite [tex]{U}_{n+1}=\frac{1}{2}\left({U}_{n}+\frac{a}{{U}_{n}}\right)[/tex] avec Uo>0

J'ai étudié la monotonie :

- quand Uo=[tex]\sqrt{2}[/tex] (Un) est stationnaire
- (Un) est croissante pour 0<Uo<[tex]\sqrt{2}[/tex]
- (Un) est décroissante pour Uo>[tex]\sqrt{2}[/tex]

Je voudrais maintenant Majorer la suite par [tex]\sqrt{2}[/tex] quand elle est croissante et la minorer par [tex]\sqrt{2}[/tex] quand elle est décroissante. J'ai tenté la récurrence et l'étude du signe de [tex]{U}_{n+1})[/tex]-[tex]\sqrt{2}[/tex] mais je n'y arrive pas.

Pourriez-vous m'indiquer la démarche à suivre, je suis bloquée.

Merci d'avance.

freddy · 01-08-2014 19:16:07

Salut,

c'est quoi le paramètre [tex]a[/tex] ?

MayMath · 01-08-2014 19:18:19

freddy a écrit :

Salut,
c'est quoi le paramètre [tex]a[/tex] ?

a est un réel positif. Je dois ensuite traiter le problème avec a=2.

Dernière modification par MayMath (01-08-2014 19:48:13)

MayMath · 01-08-2014 19:21:46

Je me demande si je n'ai pas fait une erreur de rédaction ici : - (Un) est croissante pour 0<Uo< [tex]\sqrt{2}[/tex] car je constate que U1>Uo mais ensuite U2<U1 ??

freddy · 01-08-2014 22:07:48

Re,

donc traite le pb avec [tex]a \gt 0[/tex], puis tu poseras ensuite [tex]a=2[/tex]. Si tu commences par la fin, difficile de faire le début !

MayMath · 02-08-2014 07:52:36

freddy a écrit :

Re,
donc traite le pb avec [tex]a \gt 0[/tex], puis tu poseras ensuite [tex]a=2[/tex]. Si tu commences par la fin, difficile de faire le début !

Oui, tu as raison, dans la précipitation et dans la masse de brouillons tout s'est bousculé dans ma tête. L'énoncé est plutôt vague. Je dois d'abord étudier la suite pour a=2 puis généraliser avec a.

J'ai voulu commencer par l'étude des variations mais je ne sais pas si c'est une bonne chose car dans l'intervalle 0<Uo<[tex]\sqrt{2}[/tex] on ne peut pas vraiment dire que la suite est croissante. On voit aussi qu'elle tend rapidement vers [tex]\sqrt{2}[/tex].

Mais je n'arrive pas à rédiger tout cela correctement.

freddy · 02-08-2014 09:17:36

Re,

c'est ce qu'on appelle la méthode de Héron .

Par contre, je suis prêt à parier 10.000 € que tu n'es pas une élève de secondaire, ton niveau de maîtrise de la langue écrite est proche de ceux qui ont appris à lire et à écrire sous la férule d'instituteurs rigoureux et intransigeants des années 60/70 :-)

MayMath · 02-08-2014 09:35:28

freddy a écrit :

Re,
c'est ce qu'on appelle la méthode de Héron .
Par contre, je suis prêt à parier 10.000 € que tu n'es pas une élève de secondaire, ton niveau de maîtrise de la langue écrite est proche de ceux qui ont appris à lire et à écrire sous la férule d'instituteurs rigoureux et intransigeants des années 60/70 :-)

En effet, je ne suis pas élève du secondaire en revanche mon niveau en mathématiques l'est... c'est pour cette raison que je fais appel au forum pour tenter de progresser notamment sur l'étude des suites où j'ai quelques lacunes. Comme je n'arrive pas vraiment à montrer les variations (difficulté à montrer qu'elle est croissante et décroissante à partir du deuxième terme) ni la minoration, je voulais éventuellement tenter de passer par l'étude de la fonction associée mais je ne suis pas sûre que cela fonctionne avec les suites récurrentes. Finalement je voudrais réussir à démontrer qu'elle est décroissante à partir du second terme et qu'elle converge vers [tex]\sqrt{2}[/tex] mais là c'est une autre histoire. En tous cas merci pour ton aide.

Dernière modification par MayMath (02-08-2014 09:57:37)

freddy · 02-08-2014 16:23:36

Re,

oui, tu as le droit de passer par une fonction. Sinon, calcule la différence de [tex]u_{n+1}-u_n [/tex] et déduis ce que tu cherches !

MayMath · 02-08-2014 18:55:31

freddy a écrit :

Re,
oui, tu as le droit de passer par une fonction. Sinon, calcule la différence de [tex]u_{n+1}-u_n [/tex] et déduis ce que tu cherches !

J'ai finalement commencé par montrer que [tex]{x}_{n}\geq \sqrt{2}[/tex]

J'ai écrit ceci :

[tex]{U}_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{1}{2}\left({U}_{n}+\frac{2}{{U}_{n}}\right)-\sqrt{2}=\frac{{\left({U}_{n}-\sqrt{2}\right)}^{2}}{2{U}_{n}}\geq 0[/tex]

Donc pour tout n non nul [tex]{x}_{n}\geq \sqrt{2}[/tex]

J'ai un doute sur le [tex]\geq [/tex]

Est-ce que je ne devrais plutôt utiliser le > ?

Dernière modification par MayMath (02-08-2014 19:42:32)

freddy · 02-08-2014 21:28:38

Re,

en effet, si [tex]n[/tex] est non nul, alors tu dois écrire [tex]\gt[/tex]

Une piste : calcule plutôt le signe de [tex]U_{n+1}^2-2[/tex] pour déduire quelque chose sur la minoration de la suite.
Puis étudie [tex]2(U_{n+1}-U_n)[/tex] pour le sens de variation.
Tu conclus ensuite en utilisant un résultat sur les suites (si décroissante et minorée, donc convergente !).

Dernière modification par freddy (05-08-2014 11:20:30)

MayMath · 03-08-2014 09:41:24

Merci Freddy pour ta réponse. J'ai réussi à étudier le sens de variation mais je n'ai pas réussi à voir l'intérêt du calcul du signe par [tex]{{{U}^{2}}_{n+1}}^{}-2[/tex] par rapport à l'étude de [tex]{U}_{n+1}-\sqrt{2}[/tex] qui me permet d'en déduire une minoration. Peux-tu m'expliquer ?

Dernière modification par MayMath (03-08-2014 09:41:50)

freddy · 03-08-2014 10:52:58

Salut,

tu dois arriver, quelle que soit la méthode utilisée, à montrer que [tex]\sqrt2 \lt U_n[/tex] donc que la suite est minorée.
Puisqu'elle est décroissante, ele est donc convergente, de limite[tex] l \gt 0[/tex], puisque la suite est positive.

Mais attention, à ce stade, tu ne connais pas encore la limite [tex]l[/tex], sauf que tu sais qu'elle existe.

Ensuite, le raisonnement consiste à dire que puisque [tex]l[/tex] existe, elle vérifie [tex]2l=l+\frac 2 l[/tex], et tu conclus en choisissant la bonne racine :-) !

Dernière modification par freddy (05-08-2014 11:22:49)

MayMath · 05-08-2014 09:27:20

freddy a écrit :

Salut,
tu dois arriver, quelle que soit la méthode utilisée, à montrer que [tex]\sqrt2 \lt U_n[/tex] donc que la suite est minorée, puisque décroissante.
Mais attention, à ce stade, tu ne connais pas encore la limite [tex]l[/tex], sauf que tu sais qu'elle existe.
Ensuite, le raisonnement consiste à dire que puisque [tex]l[/tex] existe, elle vérifie [tex]2l=l+\frac 2 l[/tex], et tu conclus !

Bonjour et merci pour toutes ces informations. Certaines subtilités restent encore un peu obscures mais j'ai bien progressé.

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