calcul différentiel

MayMath · 31-10-2014 10:10:27

Bonjour,

Je dois résoudre une équation sur ]-1,0[ et ]0,1[ et ensuite montrer qu'il existe une seule solution non nulle sur ]-1,1[.

Voici l'équation : [tex]xy'+y=\frac{2x}{\sqrt{1-{x}^{4}}}[/tex]

J'ai commencé par résoudre l'équation sans second membre et je trouve une solution de la forme [tex]y=\frac{1}{x}+k[/tex] avec k constante. les intervalles de résolution me posent problème et je suis bloquée pour la suite de la résolution.

Pourriez-vous me dépanner ?

Merci d'avance

totomm · 31-10-2014 12:10:06

Bonjour,

Pour l'équa diff sans second membre je dirais plutôt [tex]y=\frac{k}{x}[/tex]
Pour une solution particulière, cherchez du coté de Arcsin(x²) dont la dérivée contient le radical proposé...

Edit : à 17:31 j'ai mis é à cote pour faire coté. Et La piste [tex]arcsin(x^2)[/tex] est bonne.

Dernière modification par totomm (31-10-2014 17:39:06)

MayMath · 01-11-2014 09:40:45

totomm a écrit :

Bonjour,
Pour l'équa diff sans second membre je dirais plutôt [tex]y=\frac{k}{x}[/tex]
Pour une solution particulière, cherchez du coté de Arcsin(x²) dont la dérivée contient le radical proposé...

Edit : à 17:31 j'ai mis é à cote pour faire coté. Et La piste [tex]arcsin(x^2)[/tex] est bonne.

Bonjour et merci pour la réponse.

Je ne comprends pas où j'ai fait mon erreur pour l'équation sans second membre :

j'ai xy'+y=0 => y'/y=-(1/x) => lny+k1=-lnx+k2 => lny=-lnx+K =>y=exp [(ln(1/x)+K]=exp(ln(1/x)+exp(K)

d'où y=1/x+exp(K)

Alors y=1/x+constante

Je ne vois pas comment on peut trouver y=k/x et de plus, je n'ai même pris en compte les intervalles de résolution. Je suis perdue sur ce point là.

Pour la suite je vois bien quelque chose qui ressemble à la dérivée de arcsin (x²= mais j’ai le 2x au numérateur qui m'ennuie.

Quelques pistes pour débloquer cette résolution ? Merci d'avance.

totomm · 01-11-2014 10:07:50

Bonjour,

Quand vous obtenez y=exp [(ln(1/x)+K] avec une ( en trop !
if faut écrire y=exp [ln(1/x)+K]=exp [ln(1/x)+ln(k)] et La somme des logarithmes est le logarithme du produit

Ensuite dérivez [tex]\frac{arcsin(x^2)}{x}[/tex] puis recomposez xy'+y

Cordialement, à+

MayMath · 01-11-2014 16:11:21

totomm a écrit :

Bonjour,
Quand vous obtenez y=exp [(ln(1/x)+K] avec une ( en trop !
if faut écrire y=exp [ln(1/x)+K]=exp [ln(1/x)+ln(k)] et La somme des logarithmes est le logarithme du produit
Ensuite dérivez [tex]\frac{arcsin(x^2)}{x}[/tex] puis recomposez xy'+y
Cordialement, à+

Je trouve les résultats suivants (après recherche de la solution générale de l'équation homogène puis d'une solution particulière par la méthode de la variation de la constante, la solution de l'équation est ensuite la somme des deux) :

sur ]-1;0[ : y(x)=-(k/x)-(Arcsin(x²)/x) avec k réel

sur ]0;1[ : y(x)=(k/x)+(Arcsin(x²)/x) avec k réel

Je dois ensuite montrer qu'il existe une seule solution non nulle sur ]-1,1[. Comment faire ?

J'ai deux solutions différentes sur les deux intervalles, comment montrer qu'il en existe une seule sur la réunion de ces deux intervalles sachant qu'en 0 il y a un problème. Ou alors, je me suis trompée dans la résolution !

Dernière modification par MayMath (01-11-2014 16:39:43)

totomm · 01-11-2014 16:49:22

bonsoir,

Dans ]-1,1[ la solution est impaire avec une discontinuité en x=0
Pour la seule valeur k=0 il n'y a plus de discontinuité en x=0 car y ~ x

MayMath · 01-11-2014 19:17:16

totomm a écrit :

bonsoir,
Dans ]-1,1[ la solution est impaire avec une discontinuité en x=0
Pour la seule valeur k=0 il n'y a plus de discontinuité en x=0 car y ~ x

Bonsoir,

je suis toujours sur mon équation différentielle. Les solutions sont-elles bonnes ?

J'ai tracé les courbes pour k=0 mais je n'ai pas bien compris pour la solution impaire. Et je ne vois pas pourquoi elle est unique car j'ai toujours deux solutions du type y(x)=(+/-)(Arcsin(x²)/x). J'ai aussi toujours un problème en x=0.

Donc je n'arrive pas non plus à déterminer l'unique solution et je ne vois plus très bien comment m'en sortir.

Merci encore pour les réponses.

Dernière modification par MayMath (01-11-2014 19:27:12)

totomm · 01-11-2014 20:02:14

Bonsoir,

Dans mes calculs j'ai une solution particulière [tex]y1=\frac{\arcsin(x^2)}{x}[/tex]
et une solution générale [tex]y2=\frac{k}{x}[/tex], avec k réel pouvant varier de moins à plus l'infini.
J'ai donc dans les intervalles ]-1,0[ et ]0,1[ la solution [tex]y=\frac{k + \arcsin(x^2)}{x}[/tex] qui est la somme y1+y2

il s'avère que [tex]\frac{sin(x)}{x}[/tex] tend vers 1 quand x tend vers 0,
et que [tex]\frac{\arcsin(x^2)}{x}[/tex] tend vers x quand x tend vers 0,
donc si et seulement si k=0 la solution y est définie pour x=0 avec y(0)=0 et y=x au voisinage de 0. Convaincant ?

MayMath · 01-11-2014 20:20:15

totomm a écrit :

Bonsoir,
Dans mes calculs j'ai une solution particulière [tex]y1=\frac{\arcsin(x^2)}{x}[/tex]
et une solution générale [tex]y2=\frac{k}{x}[/tex], avec k réel pouvant varier de moins à plus l'infini.
J'ai donc dans les intervalles ]-1,0[ et ]0,1[ la solution [tex]y=\frac{k + \arcsin(x^2)}{x}[/tex] qui est la somme y1+y2
il s'avère que [tex]\frac{sin(x)}{x}[/tex] tend vers 1 quand x tend vers 0,
et que [tex]\frac{\arcsin(x^2)}{x}[/tex] tend vers x quand x tend vers 0,
donc si et seulement si k=0 la solution y est définie pour x=0 avec y(0)=0 et y=x au voisinage de 0. Convaincant ?

J'ai quelques interrogations :

- la solution est-elle la même sur les deux intervalles ? dans ma résolution, j'en trouve deux en fonction du signe de x car j'ai une valeur absolue qui traine au début.

- Ensuite j'ai des difficultés à comprendre en quoi on n'arrive à montrer qu'il existe une seule solution sur ]-1;1[.

Encore merci pour le temps accordé à mes questions.

totomm · 01-11-2014 21:15:22

Re

@MayMath : vous ne voyez pas la différence entre x qui tend vers 0 et k qui est une constante, aussi petite soit-elle ?
Tant que k n'est pas nulle, rien n'empêche y de tendre vers l'infini quand x tend vers 0 !!,
Mais si et seulement si k= 0, alors....(je l'ai déjà écrit)

Je n'ai que la même solution pour les deux intervalles. y = y1 + y2
D'où vient votre valeur absolue ? Mais je peux me tromper, il y a 60 ans passés depuis que je faisais ce genre d'exercice...

Edit : Si vous continuez à être dans le doute, appelez Fred au secours.

Dernière modification par totomm (01-11-2014 21:23:42)

Fred · 01-11-2014 21:47:50

Salut,

Je prends le train en marche suite à la suggestion de Totomm. D'abord, si on fixe l'intervalle ]0,1[ ou l'intervalle ]-1,0[, on ne change pas la résolution de l'équation. Les solutions générales sont toujours de la forme [tex]x\mapsto k/x[/tex], une solution particulière est donnée par [tex]x\mapsto \frac{\arcsin(x^2)}{x}. [/tex]

Imaginons maintenant qu'il y ait une solution [tex]y[/tex] sur [tex] ]-1,1[ [/tex]. Alors c'est une solution sur [tex] ]-1,0[ [/tex]. Alors
il existe une constante [tex]k_1[/tex] telle que, pour tout [tex]x\in ]-1,0[ [/tex], on ait
[tex] y(x)=\frac{k_1}x+\frac{\arcsin(x^2)}{x} [/tex]
Mais [tex]y[/tex] est aussi une solution sur [tex] ]0,1[ [/tex]. Alors
il existe une constante [tex]k_2[/tex] telle que, pour tout [tex]x\in ]0,1[ [/tex], on ait
[tex] y(x)=\frac{k_2}x+\frac{\arcsin(x^2)}{x} [/tex]

Attention!!!!!! On n'a pas forcément [tex]k_1=k_2[/tex] (je n'ai pas vu ces deux constantes peut-être différentes apparaitre dans les postes de Totomm, mais j'ai lu en diagonale!).

Maintenant, [tex]y[/tex] doit être continue en 0. On peut remarquer que [tex]\frac{\arcsin(x^2)}{x} [/tex] tend vers 0 si [tex]x[/tex] tend vers 0, et donc ce terme ne pose pas de problèmes. Maintenant, pour qu'il y ait une limite à droite, on voit facilement que [tex]k_2=0[/tex] et pour qu'il y ait une limite à gauche, on doit avoir [tex]k_1=0[/tex]. Ainsi, si [tex]y[/tex] est solution sur [tex] ]-1,1[ [/tex], on a
[tex]y(x)=\frac{\arcsin(x^2)}x.[/tex]

Maintenant, il faut encore vérifier que cette fonction est solution de l'équation. Notamment, ce que l'on n'a pas encore fait, qu'elle est dérivable en 0!!!!

Fred.

totomm · 01-11-2014 22:23:52

Bonsoir,

@Fred : Merci pour cette rigueur...
J'ai investi un gros effort sur ce problème, et je ne différenciais pas k1 et k2 car k ne se détermine qu'avec une condition limite...
Pour l'unicité de la solution non nulle passant par 0, je m'appuyais sur la limite [tex]\frac{sinx}{x}[/tex] tend vers 1 quand x tend vers 0 pour établir que [tex]\frac{arcsin(x^2)}{x}[/tex]tend vers x quand x tend vers 0 : N'est-ce pas légitimement suffisant ?

Fred · 01-11-2014 22:40:53

totomm a écrit :

je m'appuyais sur la limite [tex]\frac{sinx}{x}[/tex] tend vers 1 quand x tend vers 0 pour établir que [tex]\frac{arcsin(x^2)}{x}[/tex]tend vers x quand x tend vers 0 : N'est-ce pas légitimement suffisant ?

On ne dirait pas "tend vers x"... On ne peut tendre que vers un réel.
Par contre, on peut légitimement passer de [tex]\frac{\sin x}x[/tex] tend vers 1 à [tex]\frac{x}{\arcsin(x)}[/tex] tend vers 1!

Dans ce genre de problèmes, il faut passer par l'utilisation de deux constantes quand on travaille sur des intervalles différents. On peut avoir parfois des surprises (voir par exemple cet exercice).

Merci à toi, comme aux autres contributeurs, d'investir parfois énormément de temps pour résoudre les problèmes des autres.

Fred.

MayMath · 02-11-2014 10:40:11

Bonjour,

Merci à totomm de m'avoir guidée tout au long de la résolution de ce problème et aussi à Fred pour sa précieuse intervention.

Je n'ai pas encore tout saisi, je vais me repemcher sur cette équation et tenter de voir où je fais une erreur (valeur absolue en début de résolution qui entraine deux solutions). Je reprends l'étude des maths après de longues années et le décrassage est difficile. Je tenterai d'écrire tout en Latex, ainsi il sera peut-être plus facile de voir où est mon erreur.

Merci encore.

totomm · 02-11-2014 10:46:05

Bonjour,

@ Fred : Pardonne-moi si j'insiste un peu (je viens de tutoyer !!) mais il y a un petit quiproquo.

J'ai parcouru rapidement , quoi qu’avec attention, l'exercice indiqué.
Mais dans le problème présent, il ne s'agit pas de montrer la continuité en x=0 de la solution générale de xy'+y=0, mais de montrer qu'il n'y a pas d'autre solution non nulle sur ]-1,1[ qu'une unique solution qui justement est la solution "particulière choisie ": [tex]y=\frac{arcsin(x^2)}{x}[/tex] de l'équation avec second membre.

Pour cette solution particulière je n'aurais pas dû écrire "tend vers x",
je voulais dire "se comporte (converge) comme f(x)=x quand x tend vers 0" et il n'y a aucune difficulté à en montrer la continuité en x=0.
De même qu'il n'y a aucune difficulté à prétendre que [tex]y=\frac{k}{x}[/tex] n'est pas continue en x=0 quel que soit k différent de 0.

J'espère ainsi enlever tout doute éventuel dans l'esprit de MayMath.

Cordialement : totomm

MayMath · 02-11-2014 16:58:42

Bonjour,

je reviens sur la première partie de la résolution qui génère une erreur :

Résolution de l'équation homogène associée :

[tex]xy'+y=0[/tex]
[tex]sur ]0,1[ et ]-1,0[[/tex] on a peut écrire : [tex]y'+\frac{y}{x}=0[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}[/tex]
[tex]\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}[/tex]

[tex]\int\frac{dy}{y}=ln|y|+C1[/tex] et [tex]\int\frac{-dx}{x}=-ln|x|+C2[/tex]

soit [tex]ln|y|=-ln|x|+C[/tex] avec K=C1-C2

d'où [tex]y=K{e}^{ln|\frac{1}{x}|}=K\left|\frac{1}{x}\right|[/tex] avec K réel

et c'est ici que mes deux solutions apparaissent (et que j’introduis une erreur) :

Sur ]-1,0[ [tex]x<0[/tex] donc [tex]y=-\frac{K}{x}[/tex]
et
Sur ]0;1[ [tex]x>0[/tex] donc [tex]y=\frac{K}{x}[/tex]

J'ai donc ensuite, lors de la recherche de solutions particulière deux cas et je ne vois pas où je fais une erreur. Pourriez-vous m'indiquer à quel moment je fais une erreur (je pense que c'est avec les valeurs absolue mais je ne vois pas où).

Merci d'avance.

totomm · 02-11-2014 18:37:16

Bonsoir,

MayMath a écrit :

...
et c'est ici que mes deux solutions apparaissent (et que j’introduis une erreur) :
Sur ]-1,0[ [tex]x<0[/tex] donc [tex]y=-\frac{K}{x}[/tex]
et
Sur ]0;1[ [tex]x>0[/tex] donc [tex]y=\frac{K}{x}[/tex]

Mais non, il n'y a pas d'erreur, si [tex]K\ réel \in [-\infty,+\infty ][/tex] alors [tex]y=\frac{K}{x}[/tex] est la même solution que [tex]y=-\frac{K}{x}[/tex]
Bien voir que [tex]K[/tex] n'est pas choisi encore et ne le serait qu'en fixant une condition limite...on a une solution "génerale" qui veut dire adaptable à une condition limite...

Cordialement

MayMath · 02-11-2014 19:41:49

Bonsoir totomm,

c'est là que j'éprouve une grande difficulté, pour moi [tex]y=\frac{K}{x}[/tex] et [tex]y=-\frac{K}{x}[/tex] sont deux solutions différentes et même opposées pour un K réel fixé. Mais je dois faire une erreur de raisonnement.

HELP, je coule...

totomm · 02-11-2014 20:15:46

Bonsoir,

Relax, Cool, ne coulez pas .
Si vous dérivez, vous devez être absolument rigoureu(x)se !
Mais quand on part d'une dérivée pour retrouver la fonction qui peut en être l'origine, on a une certaine liberté qui est la contrepartie de la difficulté : c'est là où on introduit des constantes judicieusement placées pour traduire la multiplicité des origines possibles.

Ces constantes sont donc bien des valeurs disponibles pour un choix ultérieur éventuel.
La contrainte in fine est de vérifier que toutes les origines possibles son bien représentées, après élimination des solutions équivalentes.

Ne pas oublier que dériver est un processus rigoureux
Alors qu'intégrer est une bidouille (difficile) de recettes que l'on vérifie après coup.

Cordialement.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 31-10-2014 10:10:27

calcul différentiel

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