Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

Encore bloqué sur un exercice, le voici :

Soit [tex]p[/tex] un nombre premier supérieur ou égal à 3.

a) Montrer que le nombre de carrés de [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] est [tex]\frac{p+1}{2}[/tex].
b) Montrer que l'élément de [tex]x\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] est un carré si et seulement si [tex]x^\frac{p+1}{2}=x[/tex].
c) Pour quels [tex]p[/tex] la classe de [tex]-1[/tex] modulo [tex]p[/tex] est-elle un carré de [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex]?
d) Déterminer le cardinal de l'ensemble [tex]S[/tex] des [tex](x,y)\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2[/tex] tels que [tex]x^2+y^2=1[/tex]

J'en suis à la dernière question, et pour la c) j'ai trouvé [tex]p=1 (4)[/tex], je suppose qu'il faut distinguer alors le cas [tex]p=1 (4)[/tex] du cas [tex]p=-1 (4)[/tex] mais je ne vois pas trop comment m'y prendre, merci de votre aide.

Salut à tous,

Je me posais plusieurs questions restées sans réponse...

- Y-a t-il une différence topologique de voir [tex]\mathbb{R}[/tex] comme un [tex]\mathbb{R}[/tex]-espace vectoriel ou [tex]\mathbb{Q}[/tex]-espace vectoriel ?
- Pour une norme d'algèbre [tex]||.||[/tex], comment se sert-on (matrice d'Hilbert, de Vandermonde, Cauchy... ou exercices) du résultat : [tex]||A-I_n||<1[/tex] implique [tex]A[/tex] inversible ?
- Les fonctions [tex]ζ[/tex] et [tex]Γ[/tex] sont-elles développables en série entière ?
- Comment montrer que pour tout [tex]n\in\mathbb{N}, tan^{(n)}(0)\geq 0[/tex] ?

Merci.

Bonsoir,

Je bloque sur cet exercice :

Soit (G, . ) un groupe abélien fini, on note m le ppcm des ordres des éléments de G, montrer qu'il existe un élément d'ordre G.

J'ai essayé d'écrire [tex]m=\prod_{k=1}^n p_k^{\alpha_k}[/tex] produit en facteurs premiers, mais je ne vois pas comment continuer.

Merci de m'aider.

Salut,

Encore et toujours sur un problème :

On pose [tex]u_{n}=\int_0^{1}\,\frac{1}{(1+t^4)^n}\,dt[/tex]. Calculer [tex]u_{1}[/tex]. Limite de [tex]u_{n}[/tex]. Montrer que la série [tex]\sum _{n>0}\frac{u_{n}}{n}[/tex] converge et préciser sa somme. Montrer que la série [tex]\sum _{n>0}u_{n}[/tex] diverge et trouver un équivalent de [tex] \sum_{k=1}^n u_{k}[/tex].

Pour le calcul de [tex]u_{1}[/tex] et la limite de [tex]u_{n}[/tex] pas de soucis, c'est pour les deux autres questions que je bloque, notamment la dernière question où j'arrive à [tex]\sum_{k=1}^n u_{k}=\int_0^{1}\,\frac{(1+t^4)^n-1}{t^4(1+t^4)^n}\,dt[/tex]

Merci de votre aide !

Salut,

Je bloque encore sur un exo... Le voici :

Soit [tex]A[/tex] une matrice inversible. On considère la suite [tex](M_{n})_{n\in \mathbb{N}} [/tex] de matrices définie par la donnée de [tex]M_{0}[/tex] et la relation de récurrence [tex]M_{n+1}=2M_{n}-M_{n}AM_{n}[/tex]. Donner une condition nécessaire et suffisante sur [tex]M_{0}[/tex] pour que [tex](M_{n})_{n \in \mathbb{N}}[/tex] converge.

Je ne vois pas du tout comment commencer...

Merci de votre aide

Salut,

Soit [tex]I_{n}=\int_0^{+\infty}\,1-(1-e^{-t})^n\,dt[/tex], existence de [tex]I_{n}[/tex], puis montrer que [tex]I_{n} \sim ln(n)[/tex]

Soit [tex]f_{n}(x)=cos{(\frac{x}{\sqrt{n}})}^n[/tex], convergence simple de [tex](f_{n})[/tex] puis convergence uniforme sur tout segment de la forme [tex][-a,a][/tex] où [tex]a \in \mathbb{R}^+[/tex]

Alors pour le premier exercice, l'existence ne pose pas de soucis par contre pour l'équivalent j'ai essayé plusieurs changement de variable puis essayé d'appliquer le théorème de convergence dominée, sans résultat... Pour le deuxième je trouve une convergence simple vers la fonction [tex]x\mapsto e^{\frac{-x^2}{2}}[/tex], pour la convergence uniforme, il suffit de l'étudier sur [tex][0,a][/tex] comme la fonction est paire, mais je n'arrive pas à majorer de manière assez fine...

Un petit coup de main ? Merci !

Salut,

Je suis entrain de lire un article dans lequel l'auteur affirme que la matrice [tex]\begin{pmatrix}
2 & -1 & \dots & \dots & \dots & 0 & 0 \\
-1 & 2 & \ddots & &        & & 0 \\
\vdots&\ddots&\ddots&&&&\vdots\\
\vdots &&&&&& \vdots \\
\vdots&&&&\ddots&\ddots&\vdots\\
0  & & & \ddots & & 2 & -1 \\
0 & 0 &  &  &  & -1 & 2
\end{pmatrix}[/tex] est symétrique définie positive, ce résultat est-il le fruit d'un calcul où peut-on le voir directement? L'auteur affirme que cette matrice admet une décomposition LU, peut-on généraliser à toutes matrices symétriques définies positives?

Merci