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Legendre

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Matrice

Salut,

Je suis entrain de lire un article dans lequel l'auteur affirme que la matrice [tex]\begin{pmatrix}
2 & -1 & \dots & \dots & \dots & 0 & 0 \\
-1 & 2 & \ddots & &        & & 0 \\
\vdots&\ddots&\ddots&&&&\vdots\\
\vdots &&&&&& \vdots \\
\vdots&&&&\ddots&\ddots&\vdots\\
0  & & & \ddots & & 2 & -1 \\
0 & 0 &  &  &  & -1 & 2
\end{pmatrix}[/tex] est symétrique définie positive, ce résultat est-il le fruit d'un calcul où peut-on le voir directement? L'auteur affirme que cette matrice admet une décomposition LU, peut-on généraliser à toutes matrices symétriques définies positives?

Merci

Fred

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Re : Matrice

Salut,

  On peut montrer que cette matrice est définie positive car tous ses mineurs principaux (les déterminants des matrices en extrayant les k premières lignes et les k premières colonnes) sont tous strictement positifs. Le calcul de ces mineurs est classique par récurrence d'ordre 2 (il s'agit d'une matrice tridiagonale).
  Pour la décomposition LU, elle peut être effectuée justement pour toute matrice dont les mineurs principaux sont strictement positifs (voir cette page), donc en particulier pour les matrices symétriques définies positives, mais en réalité, la symétrie est inutile.

Fred.

Legendre

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Re : Matrice

Merci pour l'aide!