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#1 13-12-2014 19:02:54
- Legendre
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Suite
Salut,
Je bloque encore sur un exo... Le voici :
Soit [tex]A[/tex] une matrice inversible. On considère la suite [tex](M_{n})_{n\in \mathbb{N}} [/tex] de matrices définie par la donnée de [tex]M_{0}[/tex] et la relation de récurrence [tex]M_{n+1}=2M_{n}-M_{n}AM_{n}[/tex]. Donner une condition nécessaire et suffisante sur [tex]M_{0}[/tex] pour que [tex](M_{n})_{n \in \mathbb{N}}[/tex] converge.
Je ne vois pas du tout comment commencer...
Merci de votre aide
Dernière modification par Legendre (13-12-2014 20:36:24)
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#5 14-12-2014 19:11:51
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Suite
Ca ne m'étonne pas trop...
Parfois ces sujets sont infaisables quand ils sont donnés comme cela. C'est dans la discussion avec l'examinateur que se construit la solution.
Moi, je commencerais par dire que si [tex]M_0AM_0=M_0[/tex], alors évidemment cela converge, et sinon je ferais l'étude du cas n=1 en espérant que cela me donne un indice. Tu as fait le cas n=1???
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#6 15-12-2014 17:36:09
- Legendre
- Membre
- Inscription : 02-07-2014
- Messages : 72
Re : Suite
Salut,
Pour le cas n=1 on se retrouve avec la suite (après isomorphisme entre [tex]M_{1}(\mathbb{K})[/tex]et[tex]\mathbb{K}[/tex]) [tex]u_{n+1}=2u_{n}-au_{n}^2[/tex] où a est non nul. J'ai étudié la fonction [tex]x\mapsto 2x-ax^2[/tex], si il y a convergence c'est vers 0 ou [tex]\frac{1}{a}[/tex]. Je n'arrive cependant pas à déterminer de condition nécessaire et suffisante sur [tex]u_{0}[/tex] pour qu'il y ait convergence...
Merci de m'aider !
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#7 15-12-2014 22:51:50
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Suite
Salut,
L'intervalle [tex] [0,1/a] [/tex] est stable par [tex]f(x)=2x-ax^2[/tex]. Dans cet intervalle, je crois que l'on a [tex]f(x)\geq x[/tex] ce qui va te donner que la suite est croissante... Pas trop de problèmes pour étudier la convergence.
Ensuite, si on part de l'intervalle [tex] [1/a,2/a] [/tex], on se ramène en un coup à [tex] [0,1/a] [/tex] et on sait aussi étudier.
Si on part ailleurs, il semble que l'on va vers moins l'infini (utilise que [tex]f(x)\leq x[/tex] pour [tex]x<0[/tex] ).
F.
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