Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Désolé, je ne vois pas d'issue.

Bonsoir,

Ce problème "La ruine des joueurs" est traité dans le livre  d'Alan Ruegg "Processus Stochastique".

la solution utilisés est basée sur  l'équation vérifiée par la probabilité de transition de la fortune de A, de k vers N :
          P(k) = pP(k+1) +(1-p)P(k-1), k {1,...,N-1} et les conditions aux limites P(0) = 0 et P(N) = 1.

Devant ce fait, il semblerait que mon raisonnement soit erroné et le problème est de détecter l'erreur.

Bonjour,

Je propose le raisonnement suivant pour démontrer que les variables W et Z sont indépendantes :
[tex]P\left(W<w\,et\,Z<z\right)\,=\,P\left(X+Y<w\,et\,Z<z\right)=\int^{}_{D}{f}_{X,Y,Z}\left(x,y,s\right)dxdyds[/tex]
D = {(x,y,s) / x + y < w et s<z }
[tex]P\left(W<w\,et\,Z<z\right)\,=\,\int^{}_{D}{f}_{X}\left(x\right){f}_{Y}\left(y\right){f}_{Z}\left(s\right)dxdyds\,=\,\int^{}_{D1}{f}_{X}\left(x\right){f}_{Y}\left(y\right)dxdy\int^{}_{D2}{f}_{Z}\left(s\right)ds[/tex]
D1 = {(x, y) / x + y < w} et D2 = {s / s < z }
[tex]P\left(W<w\,et\,Z<z\right)\,=\,P\left(W<w\right)P\left(Z<z\right)[/tex]

Bonsoir,

Pourquoi l'inégalité : [tex]\sum^{k}_{j=0}jP\left(X=j\right)\geq \sum^{k}_{j=0}jP\left(X=k\right)[/tex] ?

Est ce que vous supposez que P(X=k) est décroissante ?

L'énoncé indique seulement la non croissance : [tex]\exists \,k\,et\,k'\,tel\,que\,k\,>\,k'\, et\, P\left(X=k\right)\,\leq \,P\left(X=k'\right)[/tex]

Bonsoir;

Pour démontrer que la somme des probabilités est égale à 1, je propose d'utiliser un sens purement de probabilité. Du moment qu'il est certain qu'une boule blanche soit prélevée lors de (n+1) tirages alors nécessairement la somme de toutes les probabilités qui équivaut à la réunion de tous les événements possibles, est égale à 1.

Que pensez-vous ?

Bonjour,

Ci-joint la résolution de l'exercice qui semble être correcte :

1) Calcul de la distribution conditionnelle du poids total des boîtes dans un carton, sachant que ce carton contient moins de deux boites.

Soit P la variable aléatoire continue qui désigne le poids total des boites dans un carton donné. [tex]P\,=\,\sum^{k}_{i=1}{X}_{i}[/tex].

On désigne par A l’événement K=0 ou K=1, [tex]P\left(A\right)={e}^{-\mu}\left(1+\mu \right)[/tex]

Donc [tex]{f}_{P/A}\left(p\right)=\frac{{f}_{P,K}\left(p,k\right)}{P\left(A\right)}[/tex], avec k=0 ou k=1

Il s'ensuit que [tex]{f}_{P/A}\left(p\right)= \frac{{f}_{P,K}\left(p,0\right)+{f}_{P,K}\left(p,1\right)}{P\left(A\right)}[/tex]

Si K= 0 alors P = 0 et c'est une seule et unique valeur donc [tex]{f}_{P,K}\left(p,0\right)=1\,[/tex]

Si K=1 alors P = X et donc [tex]{f}_{P/K=1}\left(p\right)=\lambda{e}^{-\lambda p}[/tex], avec [tex]p\,\geq \,0[/tex]

De  plus  [tex]{f}_{P,K}\left(p,k\right)={f}_{P/K=k}\left(p\right)P\left(K=k\right)[/tex]

Donc [tex]{f}_{P/A}\left(p\right)=\frac{P\left(K=0\right)+P\left(K=1\right){f}_{P/K=1}\left(p\right)}{P\left(A\right)}=\frac{{e}^{-\mu }+\lambda {e}^{-\lambda p}\mu {e}^{-\mu}}{{e}^{-\mu }+\mu {e}^{-\mu }}[/tex]

Pour cette expression de la distribution conditionnelle, si on veut vérifier que [tex]\int^{1}_{0}{f}_{P/A}\left(p\right)dp=1[/tex], on applique l’intégrale que pour le second terme de la distribution conditionnelle car le premier terme concerne le cas où P(K=0) et dans ce cas P ne prend que la valeur 0.

2) Calcul de la transformée en s de la distribution pour le poids total des boites dans une caisse.

Soit Z la variable aléatoire qui désigne le poids total des boite dans une caisse.

On a [tex]Z=\sum^{N}_{n=1}{P}_{n}[/tex]    et    [tex]P\,=\,\sum^{K}_{k=1}{X}_{k}[/tex].

La transformée en s de P est donnée par l'expression : [tex]{f}^{T}_{P}\left(s\right)=\sum^{\infty}_{k=0}P\left(K=k\right){\left[{f}^{T}_{X}\left(s\right)\right]}^{k}[/tex] car les [tex]{X}_{k}[/tex] sont indépendants.

Or [tex]{f}^{T}_{X}\left(s\right)=\frac{\lambda}{\lambda+s}[/tex]
Donc [tex]{f}^{T}_{P}\left(s\right)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{{\mu}^{k}}{k!}{e}^{-\mu}{\left[\frac{\lambda}{\lambda+s}\right]}^{k}={e}^{-\mu}{e}^{\frac{\mu\lambda}{\lambda+s}}[/tex]
On a [tex]Z\,=\,\sum^{N}_{n=1}{P}_{n}[/tex], les [tex]{P}_{n}[/tex] sont indépendants ( poids des boites dans les cartons) alors    : [tex]{f}^{T}_{Z}\left(s\right)=\sum^{\infty}_{n=1}P\left(N=n\right){\left[{f}^{T}_{P}\left(s\right)\right]}^{n}[/tex]
[tex]{f}^{T}_{Z}\left(s\right)=\sum^{\infty}_{n=1}{p}^{n-1}\left(1-p\right){\left[{e}^{-\mu }{e}^{\frac{\mu \lambda }{\lambda +s}}\right]}^{n}[/tex] 
[tex]{f}^{T}_{Z}\left(s\right)=\left(1-p\right)\alpha\sum^{\infty}_{n=1}{\left(p\alpha \right)}^{n-1}=\alpha\left(1-p\right)\frac{1}{1-p\alpha}[/tex]   avec    [tex]\alpha={e}^{-\mu}e^{\frac{\lambda\mu}{\lambda+s}}[/tex]

Merci de bien vouloir donner votre avis.

Bonsoir,

La relation [tex]P\left(X=n\right)=P\left(X>n-r-1\right)\times \left(1-p\right)\times {p}^{r}[/tex], [tex]n\geq r+1[/tex], semble être correcte, je l'ai vérifié pour plusieurs cas. Seulement, je ne suis pas arrivé à la démontrer.

Je souhaite vivement recevoir des indications sur la démonstration.

Merci d'avance.