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#1 23-10-2013 16:51:37
- mimod
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Indépendance de variables aléatoires
Bonjour,
X, Y et Z sont trois variables aléatoires, continues et indépendantes. On pose W = X + Y.
Comment établir que W et Z sont indépendantes.
Merci de bien vouloir donner des indications sur la démonstration.
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#3 23-10-2013 18:51:30
- mimod
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Re : Indépendance de variables aléatoires
Bonjour,
Le couple (W,Z) est indépendant ssi [tex]{f}_{W,Z}\left(w,z\right)={f}_{W}\left(w\right){f}_{Z}\left(z\right)[/tex].
Supposons que les variables X, Y et Z sont uniformes sur [0, 1], il est possible de calculer [tex]{f}_{W}[/tex], mais comment faire pour [tex]{f}_{W,Z}[/tex] ?
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#4 26-10-2013 18:37:09
- mimod
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Re : Indépendance de variables aléatoires
Bonjour,
Je propose le raisonnement suivant pour démontrer que les variables W et Z sont indépendantes :
[tex]P\left(W<w\,et\,Z<z\right)\,=\,P\left(X+Y<w\,et\,Z<z\right)=\int^{}_{D}{f}_{X,Y,Z}\left(x,y,s\right)dxdyds[/tex]
D = {(x,y,s) / x + y < w et s<z }
[tex]P\left(W<w\,et\,Z<z\right)\,=\,\int^{}_{D}{f}_{X}\left(x\right){f}_{Y}\left(y\right){f}_{Z}\left(s\right)dxdyds\,=\,\int^{}_{D1}{f}_{X}\left(x\right){f}_{Y}\left(y\right)dxdy\int^{}_{D2}{f}_{Z}\left(s\right)ds[/tex]
D1 = {(x, y) / x + y < w} et D2 = {s / s < z }
[tex]P\left(W<w\,et\,Z<z\right)\,=\,P\left(W<w\right)P\left(Z<z\right)[/tex]
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#7 29-10-2013 06:27:12
- freddy
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Re : Indépendance de variables aléatoires
Bonsoir,
Je trouve que le raisonnement est logique, êtes - vous du même avis ?
C'est un poil plus compliqué car [tex]\Pr(W \le z) = \Pr( "X \le x" \cap "Y \le z-x")[/tex] ce que ton raisonnement élude allègrement (ou alors, j'ai mal lu).
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