Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mimod

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Inégalités

Bonsoir,

Je vous demande de bien vouloir m'aider dans la démonstration des deux inégalités suivantes :

X, variable aléatoire discrètes positives et P(X=k) est non croissante : [tex]P\left(X=k\right)\leq 2\frac{E\left(X\right)}{{k}^{2}}[/tex], k =1, 2, ....

X, variable aléatoire continue, positive et de densité non croissante : [tex]f\left(x\right)\leq 2\frac{E\left(X\right)}{{x}^{2}}[/tex], x[tex]\geq[/tex]0.

Merci d'avance pour votre aide.

Fred

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Re : Inégalités

Salut,

  Je vais t'expliquer le début pour la première inégalité :
[tex]E(X)=\sum_{j\geq 0} jP(X=j)\geq \sum_{j=0}^k j P(X=j)\geq \sum_{j=0}^k j P(X=k)[/tex]

Après, tu dois pouvoir conclure....

Pour l'autre inégalité, c'est pareil, mais en remplaçant la somme par une intégrale...

Fred.

mimod

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Re : Inégalités

Bonsoir,

Pourquoi l'inégalité : [tex]\sum^{k}_{j=0}jP\left(X=j\right)\geq \sum^{k}_{j=0}jP\left(X=k\right)[/tex] ?

Est ce que vous supposez que P(X=k) est décroissante ?

L'énoncé indique seulement la non croissance : [tex]\exists \,k\,et\,k'\,tel\,que\,k\,>\,k'\, et\, P\left(X=k\right)\,\leq \,P\left(X=k'\right)[/tex]

Fred

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Re : Inégalités

Re-

  C'est un énoncé en anglais, n'est-ce pas? Parce qu'en anglais, nonincreasing, cela signifie décroissant en français.
C'est pour cela que je l'ai interprété ainsi.

Fred.

mimod

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Re : Inégalités

Bonsoir,

Je dispose d'un énoncé écrit en français mais l'hypothèse de décroissance de f s'avère nécessaire dans la mesure où il est possible de trouver des contre exemples discrets qui ne vérifient pas l'inégalité.

Cette hypothèse de décroissance de la densité est-elle nécessaire pour le cas continu ?