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#1 26-10-2013 23:02:56
- mimod
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- Messages : 29
La ruine des joueurs
Bonsoir,
Ci-joint un exercice dont je propose une solution et je souhaite recevoir votre avis :
Deux joueurs A et B misent sur les résultats successifs du jet répété d’une pièce. A chaque jet, A reçoit une unité de la part de B si pile est sorti, tandis qu’il paie une unité à B dans le cas contraire. Ils poursuivent le jeu tant qu’aucun des deux n’est ruiné. On suppose que les jets sont indépendants et que le côté pile de la pièce apparaît avec une probabilité p. Soient i et N-i les fortunes initiales de A et B respectivement. Quel est la probabilité qu’A gagne ?
Soit n le nombre de jets effectués dans lesquels pile est obtenue k fois :
La fortune de A devient : i + k - (n - k)
La fortune de B devient : N - i - k + n - k
B est ruiné si N - i - k + n - k = 0 [tex]\Rightarrow[/tex] k = (N - i + n)/2
Or k [tex]\leq[/tex] n donc (N –i)/2 + n/2 [tex]\leq[/tex] n [tex]\Rightarrow[/tex] (N –i) [tex]\leq[/tex] n
Si N - i est pair alors pour n pair, B est ruiné si k = (N - i + n)/2
Si N - i est impair alors pour n impair B est ruiné si k = (N - i + n)/2
Soit X la variable aléatoire qui désigne le nombre de jets effectués,
[tex]P\left(A\,gagne\,et\,X\,=\,n\right)={C}^{k-1}_{n-1}{p}^{k}{\left(1-p\right)}^{n-k}[/tex]
Si N - i est pair
[tex]P\left(A\,gagne\,\right)=\sum^{+\infty }_{j= (N-i)/2}{C}^{k-1}_{2j-1}{p}^{k}{\left(1-p\right)}^{2j-k}[/tex]
Si N - i est impair
[tex]P\left(A\,gagne\,\right)=\sum^{+\infty }_{j=[(N-i)/2]}{C}^{k-1}_{2j}{p}^{k}{\left(1-p\right)}^{2j+1-k}[/tex], [(N-i)/2] étant la partie entière de (N-i)/2.
Merci d'avance.
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#4 28-10-2013 20:07:38
- mimod
- Membre
- Inscription : 03-08-2013
- Messages : 29
Re : La ruine des joueurs
Bonsoir,
Ce problème "La ruine des joueurs" est traité dans le livre d'Alan Ruegg "Processus Stochastique".
la solution utilisés est basée sur l'équation vérifiée par la probabilité de transition de la fortune de A, de k vers N :
P(k) = pP(k+1) +(1-p)P(k-1), k {1,...,N-1} et les conditions aux limites P(0) = 0 et P(N) = 1.
Devant ce fait, il semblerait que mon raisonnement soit erroné et le problème est de détecter l'erreur.
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#5 28-10-2013 22:35:48
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : La ruine des joueurs
Salut,
oui, oui, je connais ce manuel. Ton problème est simple, tu ne "vois" pas que tu as devant toi un processus stochastique, c'est à dire un suite de variables aléatoires indicées par le temps.
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