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Re, Salut a vous: Yoshi,Freddy and tottom

Je bloque sur la derniere question d'un exo.
Voici l'enonce de l'exercice et ce que j'ai eu a faire:

Exercice:

a)Calculer en fonction de [tex]n[/tex],la somme des [tex]n[/tex] premiers entiers naturels non nuls.

b)Demontrer que, pour tout entier non nul,
   [tex]\sum_{p=1}^n p^3=(\sum_{p=1}^n p)^2[/tex]
   Soit [tex]S[/tex] la suite de terme general
   [tex] S_n=\sum_{p=1}^n p^3[/tex]
--Exprimer [tex]S_n[/tex] en fonction de [tex]n[/tex].

c) Soit [tex] D_n[/tex] le plus grand diviseur commun des nombres[tex] S_n[/tex] et [tex] S_{n+1}[/tex].
   --Calculer [tex] D_n[/tex] lorsque [tex] n=2k[/tex] puis [tex] n=2k+1[/tex]
  --En deduire que, pour[tex] n[/tex] superieur a 1, [tex] D_n[/tex] est different de 1 et que trois termes consecutifs[tex] S_n[/tex],
     [tex]S_{n+1}[/tex] et [tex]S_{n+2}[/tex]de la suite[tex]S[/tex] sont premiers entre eux dans leur ensemble.

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Soit [tex]S_1= 1+2+3+...+n[/tex]. [tex] S_1[/tex] peut s'ecrire de la maniere suivante aussi: [tex]S_1= n+(n-1)+(n-2)+...+1[/tex].

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex] 2S_1=(n+1)+(n+1)+(n+1)+...+(n+1)[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex] 2S_1=n(n+1)[/tex] d'ou [tex]S_1=\frac {n(n+1)}{2}=\sum_{p=1}^n p[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_1=\sum_{p=1}^n p=\frac {n(n+1)}{2}[/tex].

b) Demontrons que, pour tout entier naturel non, nul.

[tex]\sum_{p=1}^n p^3=(\sum_{p=1}^n p)^2[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] on a: [tex] (p+1)^4=p^4+4p^3+6p^2+4p+1[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex] (p+1)^4-p^4= 4p^3+6p^2+4p+1[/tex]

en sommant cette egalite donc de 1 a n on a:

[tex]\sum_{p=1}^n[(p+1)^4-p^4]= 4\sum_{p=1}^n p^3+6\sum_{p=1}^n p^2+4\sum_{p=1}^n p+n[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex](n+1)^4-1[/tex]= [tex]4\sum_{p=1}^n p^3[/tex]+[tex]n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4\sum_{p=1}^n p^3=(n+1)^3-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-(n+1)[/tex]
                           
                            [tex]=(n+1)[(n+1)^3-n(2n+1)-2n-1][/tex]
                           
                            [tex]=(n+1)[(n+1)^3-(2n+1)(n+1)][/tex]

                         [tex]=(n+1)^2[(n+1)^2-2n-1][/tex]
                                                                             
                         [tex]=(n+1)^2[n^2+2n+1-2n-1][/tex]

                            [tex]= n^2(n+1)^2[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex] 4\sum_{p=1}^n p^3=n^2(n+1)^2[/tex] d'ou [tex]\sum_{p=1}^n p^3= (\frac{n(n+1)}{2})^2[/tex]

Or[tex] S_1=\sum_{p=1}^n p=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]par suite donc,[tex] \sum_{p=1}^n p^3=[\sum_{p=1}^n p]^2[/tex]

Soit[tex]S_n[/tex] =[tex]\sum_{p=1}^n p^3[/tex].

---Exprimons[tex] S_n[/tex] en fonction de [tex]n[/tex]

D'apres ce qui precede on a: [tex]S_n=(\sum_{p=1}^n p)^2= \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex] d'ou [tex] S_n=\frac {n^2(n+1)^2}{4}[/tex].

Ouff..!!!
Ma difficulte se trouve maintenant au niveau de la derniere Question.

Merci de vos aides...?? @+

Re,Salut.

j'ai vu sur le net plus particulierement dans Actumaths une citation de KRONECKER qui dit:<< les nombres irrationnels n'existent pas>>.J'aimerais maintenant savoir pourquoi il affirme cela???

@+