Exercice

BAKARY NDIAYE · 02-06-2013 18:43:55

Re, Salut a vous: Yoshi,Freddy and tottom

Je bloque sur la derniere question d'un exo.
Voici l'enonce de l'exercice et ce que j'ai eu a faire:

Exercice:

a)Calculer en fonction de [tex]n[/tex],la somme des [tex]n[/tex] premiers entiers naturels non nuls.

b)Demontrer que, pour tout entier non nul,
[tex]\sum_{p=1}^n p^3=(\sum_{p=1}^n p)^2[/tex]
Soit [tex]S[/tex] la suite de terme general
[tex] S_n=\sum_{p=1}^n p^3[/tex]
--Exprimer [tex]S_n[/tex] en fonction de [tex]n[/tex].

c) Soit [tex] D_n[/tex] le plus grand diviseur commun des nombres[tex] S_n[/tex] et [tex] S_{n+1}[/tex].
--Calculer [tex] D_n[/tex] lorsque [tex] n=2k[/tex] puis [tex] n=2k+1[/tex]
--En deduire que, pour[tex] n[/tex] superieur a 1, [tex] D_n[/tex] est different de 1 et que trois termes consecutifs[tex] S_n[/tex],
[tex]S_{n+1}[/tex] et [tex]S_{n+2}[/tex]de la suite[tex]S[/tex] sont premiers entre eux dans leur ensemble.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Soit [tex]S_1= 1+2+3+...+n[/tex]. [tex] S_1[/tex] peut s'ecrire de la maniere suivante aussi: [tex]S_1= n+(n-1)+(n-2)+...+1[/tex].

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex] 2S_1=(n+1)+(n+1)+(n+1)+...+(n+1)[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex] 2S_1=n(n+1)[/tex] d'ou [tex]S_1=\frac {n(n+1)}{2}=\sum_{p=1}^n p[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_1=\sum_{p=1}^n p=\frac {n(n+1)}{2}[/tex].

b) Demontrons que, pour tout entier naturel non, nul.

[tex]\sum_{p=1}^n p^3=(\sum_{p=1}^n p)^2[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] on a: [tex] (p+1)^4=p^4+4p^3+6p^2+4p+1[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex] (p+1)^4-p^4= 4p^3+6p^2+4p+1[/tex]

en sommant cette egalite donc de 1 a n on a:

[tex]\sum_{p=1}^n[(p+1)^4-p^4]= 4\sum_{p=1}^n p^3+6\sum_{p=1}^n p^2+4\sum_{p=1}^n p+n[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex](n+1)^4-1[/tex]= [tex]4\sum_{p=1}^n p^3[/tex]+[tex]n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4\sum_{p=1}^n p^3=(n+1)^3-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-(n+1)[/tex]

[tex]=(n+1)[(n+1)^3-n(2n+1)-2n-1][/tex]

[tex]=(n+1)[(n+1)^3-(2n+1)(n+1)][/tex]

[tex]=(n+1)^2[(n+1)^2-2n-1][/tex]

[tex]=(n+1)^2[n^2+2n+1-2n-1][/tex]

[tex]= n^2(n+1)^2[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex] 4\sum_{p=1}^n p^3=n^2(n+1)^2[/tex] d'ou [tex]\sum_{p=1}^n p^3= (\frac{n(n+1)}{2})^2[/tex]

Or[tex] S_1=\sum_{p=1}^n p=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]par suite donc,[tex] \sum_{p=1}^n p^3=[\sum_{p=1}^n p]^2[/tex]

Soit[tex]S_n[/tex] =[tex]\sum_{p=1}^n p^3[/tex].

---Exprimons[tex] S_n[/tex] en fonction de [tex]n[/tex]

D'apres ce qui precede on a: [tex]S_n=(\sum_{p=1}^n p)^2= \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex] d'ou [tex] S_n=\frac {n^2(n+1)^2}{4}[/tex].

Ouff..!!!
Ma difficulte se trouve maintenant au niveau de la derniere Question.

Merci de vos aides...?? @+

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (03-06-2013 00:26:40)

freddy · 03-06-2013 07:40:07

BAKARY NDIAYE a écrit :

------------
Soit [tex]S_1= 1+2+3+...+n[/tex]. [tex] S_1[/tex] peut s'ecrire de la maniere suivante aussi: [tex]S_1= n+(n-1)+(n-2)+...+1[/tex].
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex] 2S_1=(n+1)+(n+1)+(n+1)+...+(n+1)[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex] 2S_1=n(n+1)[/tex] d'ou [tex]S_1=\frac {n(n+1)}{2}=\sum_{p=1}^n p[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_1=\sum_{p=1}^n p=\frac {n(n+1)}{2}[/tex].
b) Demontrons que, pour tout entier naturel non, nul.
[tex]\sum_{p=1}^n p^3=(\sum_{p=1}^n p)^2[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] on a: [tex] (p+1)^4=p^4+4p^3+6p^2+4p+1[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex] (p+1)^4-p^4= 4p^3+6p^2+4p+1[/tex]
en sommant cette egalite donc de 1 a n on a:
[tex]\sum_{p=1}^n[(p+1)^4-p^4]= 4\sum_{p=1}^n p^3+6\sum_{p=1}^n p^2+4\sum_{p=1}^n p+n[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex](n+1)^4-1[/tex]= [tex]4\sum_{p=1}^n p^3[/tex]+[tex]n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4\sum_{p=1}^n p^3=(n+1)^4-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-(n+1)[/tex]

Voilà déjà une petite erreur !

Je remarque qu'ensuite, tu fais comme si elle n'y en avait pas et donc tu trouves le bon résultat.

Dernière modification par freddy (03-06-2013 18:09:36)

freddy · 03-06-2013 18:20:34

Re,

pour la suite, il faut déterminer [tex]D_n[/tex] pour [tex]n = 2k[/tex]

Le calcul montre que [tex]S_{2k}=k^2(2k+1)^2[/tex] et [tex]S_{2k+1}=(2k+1)^2(k+1)^2[/tex] et on voit vite que [tex]D_{2k}=(2k+1)^2[/tex].

Pour [tex]n=2k+1[/tex], on a[tex] S_{2k+1}=(2k+1)^2(k+1)^2[/tex] et [tex]S_{2k+2}=(k+1)^2(2k+3)^2[/tex].

Donc [tex]D_{2k+1}=(k+1)^2[/tex]

Que conclus-tu ?

BAKARY NDIAYE · 03-06-2013 20:07:59

Re,

Salut je ne vois pas l'erreur dont vous parlez!!!

@+

BAKARY NDIAYE · 03-06-2013 20:32:48

Re, pourquoi dites vous aussi dans votre derniere post que: pour [tex]n=2k[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]D_{2k}=(2k+1)^2[/tex] et pour [tex]n=2k+1[/tex],[tex]\Rightarrow[/tex][tex]D_{2k+1}=(k+1)^2[/tex].

@+

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (03-06-2013 20:33:38)

yoshi · 03-06-2013 21:21:52

Bonsoir,

Jusqu'à maintenant, je me suis abstenu de répondre à la place de freddy, mais là :

pourquoi dites vous aussi dans votre dernier post que: pour [tex]n=2k[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]D_{2k}=(2k+1)^2[/tex] et pour [tex]n=2k+1[/tex],[tex]\Rightarrow[/tex][tex]D_{2k+1}=(k+1)^2[/tex].

je ne peux plus !

Bakary, tu exagères, je l'ai fait de tête, à partir de la question précédente : c'est simplissime...
Combien de temps y as-tu réfléchi ? 20 s ?
Recommence donc avant que freddy ne passe et se montre nettement moins "compréhensif" (il y a de quoi !)...

@+

freddy · 04-06-2013 06:49:43

Salut yoshi,

il s'en fout, bakary, il attend juste qu'on lui donne la réponse. Car il y a un truc qui me surprend : il rédige parfaitement certaines solutions, faisant preuve d'une certaine imagination et technicité, puis il sèche sur une question qui n'est que la déduction des résultats précédents, presque moins difficile à établir.

Si tu as une idée ... ;-)

BAKARY NDIAYE · 04-06-2013 08:02:07

Re, salut merci freddy and yoshi.

Je vais essayer de le faire seul maintenant comme vous dites que c'est simplissime.

@+.

yoshi · 04-06-2013 08:32:18

RE,

Oui, presque aucun calcul : substitution + un peu de raisonnement à partir des résultats de la 2e question.

Pour la 2e question justement, as-tu trouvé "l'erreur" ?
Une remarque :
tu démontres que [tex]\sum_{p=1}^n \,p=\frac{n(n+1)}{2}[/tex], ok... c'est le a)
et tu passes sous silence celle de [tex]\sum_{p=1}^n\,p^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex] autrement plus compliquée !

Certes, on ne te l'as pas demandée, mais trouves-tu cela logique ?

J'ai dans l'idée que je sais pourquoi l'énoncé ne t'a demandé de la faire, cette démonstration...

@+

totomm · 04-06-2013 08:59:13

Bonjour,

Oui, les raisonnements de BAKARY NDIAYE sont assez déroutants : Une certaine imagination et technicité, puis il sèche...ou fait ultracompliqué...

Pourquoi aller développer une puissance quatrième pour démontrer que, pour tout entier naturel non, nul : [tex]\sum_{p=1}^n p^3=(\sum_{p=1}^n p)^2[/tex]
C'est évident pour n=1 et n=2

Peut-être le raisonnement par récurrence n'est pas ou plus aux programmes ?

si c'est vrai pour n, en sommant pour (n+1) chaque membre s'accroit de... C'est trop simple ? cela rejoint sans doute la logique de yoshi...

Dernière modification par totomm (04-06-2013 08:59:43)

yoshi · 04-06-2013 09:17:17

Bonjour,

C'est évident pour n=1 et n=2
Peut-être le raisonnement par récurrence n'est pas ou plus aux programmes ?

Si bien sûr... Voilà la raison de ma phrase :

J'ai dans l'idée que je sais pourquoi l'énoncé ne t'a demandé de la faire, cette démonstration...

on n'en a pas besoin avec le raisonnement par récurrence...

J'avais signalé ce procédé en privé à freddy dès hier matin, mais je me suis abstenu de le proposer publiquement toujours dans la même ligne de conduite.
En effet, ledit Bakary s'étant engagé dans la voie des puissances 4e au prix de contorsions "épouvantables" et d'un petit raté pointé par freddy, j'ai jugé bon, ne voulant pas risquer d'introduire un grain de sable risquant de déstabiliser notre ami :
- d'attendre que les problèmes soient réglés convenablement, avant de proposer cette méthode, afin que Bakary aille jusqu'au bout de son raisonnement sans interférence(s),
- de laisser freddy conduire son affaire jusqu'au bout.

@+

freddy · 04-06-2013 19:08:08

totomm a écrit :

Bonjour,
Oui, les raisonnements de BAKARY NDIAYE sont assez déroutants : Une certaine imagination et technicité, puis il sèche...ou fait ultracompliqué...
Pourquoi aller développer une puissance quatrième pour démontrer que, pour tout entier naturel non, nul : [tex]\sum_{p=1}^n p^3=(\sum_{p=1}^n p)^2[/tex]
C'est évident pour n=1 et n=2
Peut-être le raisonnement par récurrence n'est pas ou plus aux programmes ?
si c'est vrai pour n, en sommant pour (n+1) chaque membre s'accroit de... C'est trop simple ? cela rejoint sans doute la logique de yoshi...

Salut,

non, non, c'est le bon procédé pour calculer ce type de somme : on fabrique une suite télescopique pour retomber ensuite sur ses pattes. Au passage, on se sert du résultat obtenu au stade précédent.

A titre d'exo, on peut chercher à calculer en fonction de n la somme [tex]\sum_{p=1}^n p^2[/tex] en fabriquant[tex] (p+1)^3-p^3[/tex]

On en avait discuté ici même il y a un ou deux ans, si mes souvenirs sont bons.

L'erreur de Bakary était [tex](n+1)^3[/tex] en lieu et place de [tex](n+1)^4[/tex], détail inutile puisqu'ensuite, il fait comme si la puissance était bonne. Peut être un faute d'inattention en recopiant ? ...

Dernière modification par freddy (04-06-2013 19:08:46)

yoshi · 04-06-2013 21:02:16

Salut,

Oui, c'est classique...
Mais en l'occurrence la récurrence justement est bien plus simple.
On vérifie la propriété pour n=1 et n = 2
On l'admet vraie à n
Donc [tex]\sum_{p=1}^n p^3=\left(\sum_{p=1}^n p\right)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]

Vérifions l'héritage :
[tex]\sum_{p=1}^{n+1} p^3 = \sum_{p=1}^n p^3 + (n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} +(n+1)^3[/tex]
D'où
[tex]\sum_{p=1}^{n+1} p^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} +\frac{4(n^3+3n^2+3n+1)}{4}=\frac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}[/tex]
Or,
[tex]\left(\sum_{p=1}^{n+1} p\right)^2=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\frac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}[/tex]
Alors :
[tex]\sum_{p=1}^{n+1} p^3 = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} =\left(\sum_{p=1}^{n+1} p\right)^2[/tex]
Donc la propriété est vraie et il est inutile de démontrer la valeur de la somme des p² : elle ne sert pas.

Les calculs sont plus simples si on admet la propriété vraie pour n-1 et qu'on vérifie l'héritage pour n...
Je pense que là est la raison pour laquelle l'énoncé demande de calculer [tex]\sum_{p=1}^n p[/tex] qui est assez basique et pas [tex]\sum_{p=1}^n p^2[/tex] qui est plus long, nettement moins basique et ne sert pas...

@+

BAKARY NDIAYE · 04-06-2013 21:06:48

Salut

Re,
Je savais depuis la classe de premiere que [tex]\sum_{p=1}^n p^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex], je pouvais le demontrer bien sur mais comme c'est un exercice seulement, j'avais decide de donner directement la valeur quoi.!
Merci Tottom j'ai essaye le raisonnement par recurrence,j'y avais pas pense.

Donc si je comprends bien, mon erreur donc etait d'avoir directement donner la valeur de cette somme???

Je croyais plutot que c'etait une erreur de raisonnement!!!

Merci @+

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (05-06-2013 13:51:27)

yoshi · 05-06-2013 09:08:03

Salut,

Donc si je comprends bien, mon erreur donc etait d'avoir directement donner la valeur de cette somme???

Non, freddy t'a dit que c'était la faute de frappe, dans le post #1 b) 3e ligne après "en sommant cette egalite donc de 1 a n on a:", ici :
[tex]4\sum_{p=1}^n p^3=(n+1)^3-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-(n+1)[/tex]
c'est[tex] (n+1)^4[/tex] et non [tex](n+1)^3[/tex].

Ne pas donner la démonstration de [tex]\sum_{p=1}^n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex] pour moi, n'est pas une erreur, mais une imperfection, un illogisme...

En effet, autant la question a) est si simple qu'on peut considérer que ça fait partie des acquits de 1S :
"Somme des termes d'une suite arithmétique de 1er terme 1 et de raison 1",
autant la question b) et la démonstration de [tex]\sum_{p=1}^n p^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex] (qui peut aussi se faire par récurrence de façon plus simple, à mon goût) ne peut pas être considéré comme un acquit de la classe de 1S, un résultat censé être connu par cœur de tous...

As-tu trouvé [tex]D_{2k}[/tex] et [tex]D_{2k+1}[/tex] ?

@+

totomm · 05-06-2013 09:34:03

Bonjour,

Oui, l'important maintenant pour BAKARY NDIAYE est de terminer l'exercice en donnant un bon raisonnement.

et, sans vouloir me mêler de la fin de cet exercice, juste pour tirer une leçon de la partie b) :

Attaquer avec la puissance quatre, c'est en l'occurrence aller chercher un marteau-pilon.
Utiliser la récurrence c'est ciseler la solution comme yoshi le fait très bien au post #13.
de façon un peu trop réglementaire à mon goût car un bon principe est
"moins on fait de calcul, moins on se trompera, et mieux on voit où l'on va"

Je propose donc :
si [tex]\sum_{p=1}^n p^3=\left(\sum_{p=1}^n p\right)^2[/tex] est vrai, en sommant pour (n+1) le premier membre s'accroit de [tex] (n+1)^3 [/tex]
et le second membre devient [tex]\left( (n+1) + \sum_{p=1}^n p\right)^2[/tex]
ce second membre s'accroît donc de [tex]\left( (n+1)^2 + (2\times(n+1)\times \sum_{p=1}^n p \right)[/tex]
et sachant [tex]\sum_{p=1}^n p=\frac{n (n+1)}{2}[/tex]
le second membre s'accroît de [tex]\left( (n+1)^2 + ((n+1)^2\times n)\right)=(n+1)^3 [/tex] ce qui prouve la récurrence...

yoshi · 05-06-2013 10:16:41

RE,

Utiliser la récurrence c'est ciseler la solution comme yoshi le fait très bien au post #13.
de façon un peu trop réglementaire à mon goût

Raccourci astucieux que le vôtre auquel je n'avais pas pensé.
Sinon, ainsi que je l'ai dit, pourquoi ne pas supposer la propriété vraie pour n-1 et vérifier l'héritage pour n ?
Réglementairement, rien ne s'y oppose, même si on ne voit pas ça comme ça en cours...

Cela dit se tromper dans le développement de [tex][(n+1)(n+2)]^2= (n^2+3n+2)^2[/tex] serait quand même grave : les identités remarquables [tex](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc[/tex] ou [tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex] sont quand même censées être connues à ce niveau ou, à défaut, les développements/réductions censés être réalisables...

@+

BAKARY NDIAYE · 05-06-2013 15:02:26

Re,

salut tottom vous dites que ce second membre s'accroît donc de [tex]\left( (n+1)^2 + (2\times(n+1)\times \sum_{p=1}^n p \right)[/tex]
et sachant [tex]\sum_{p=1}^n p=\frac{n (n+1)}{2}[/tex].apres avoir refait le developpement je me suis apercu que vous n'aviez pas mis [tex]\left(\sum_{p=1}^n p\right)^2[/tex].

Merci.

@+

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (05-06-2013 15:07:54)

yoshi · 05-06-2013 15:14:55

Re,

salut tottom vous dites que ce second membre s'accroît donc de [tex]\left( (n+1)^2 + (2\times(n+1)\times \sum_{p=1}^n p \right)[/tex]
et sachant [tex]\sum_{p=1}^n p=\frac{n (n+1)}{2}[/tex].apres avoir refait le developpement je me suis apercu que vous n'aviez pas mis [tex]\left(\sum_{p=1}^n p\right)^2[/tex].

Bakary, Bakary !
Encore pris en "flagrant délit" de lecture en diagonale... ^_^
Non totomm n'a rien oublié : il a écrit très précisément :

ce second membre s'accroît

S'accroît, Bakary, s'accroît !... Tout est là.

@+

BAKARY NDIAYE · 05-06-2013 22:41:14

Re,

Salut pour la derniere question j'ai essaye de faire:

-Calculons[tex]D_n[/tex] lorsque [tex]n=2k[/tex] et [tex]n=2k+1[/tex]

-[tex]S_{2k}=\frac{(2k)^2(2k+1)^2}{4}=\frac{4k^2(2k+1)^2}{4}={k^2(2k+1)^2}[/tex]

-[tex]S_{2k+1}=\frac{(2k+1)^2(2k+1+1)^2}{4}=(k+1)^2(2k+1)^2[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]D_n=(2k+1)^2[/tex] le plus grand diviseur commun de [tex](S_n,S_{n+1})[/tex]

- Deduisons-en que pour n superieur a 1, [tex]D_n[/tex] est different de 1

[tex]\forall n[/tex] superieur a 1 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]n=2k[/tex] superieur a 1 [tex]\Rightarrow[/tex] k est superieur a [tex]\frac{1}{2}[/tex] d'ou pour [tex]k=1[/tex] implique que [tex]D_n=(2+1)^2[/tex] different de 1. C'est verifiee aussi pour [tex]n=2k+1[/tex]

-Montrons que[tex]S_n et S_{n+1}[/tex] sont premiers entre eux, puis [tex]S_{n+1} et S_{n+2}[/tex].

Sachant que le [tex]PGCD(S_n,S_{n+1})=D_n=(2k+1)^2=(2k+1)(2k+1)[/tex], donc [tex]S_n[/tex] et [tex]S_{n+1}[/tex] sont premiers entre eux,

On a pour [tex]n=2k, S_{2k+1}=(k+1)^2(2k+1)^2[/tex]
[tex]S_{2k+2}=\frac{(2k+2)^2(2k+3)^2}{4}[/tex]=[tex](k+1)^2(2k+3)^2[/tex]

[tex]PGCD(S_{n+1},S_{n+2})=(k+1)^2=(k+1)(k+1)[/tex] donc [tex]S_{n+1}[/tex] et [tex]S_{n+2}[/tex] sont premiers entre eux.

En conclusion donc, [tex]S_n,S_{n+1},S_{n+2}[/tex] sont premiers entre eux.

C'est ca que j'ai fait.

@+

Dernière modification par BAKARY NDIAYE (05-06-2013 22:59:19)

yoshi · 06-06-2013 07:28:27

Bonjour,

Deux (ou plus) nombres sont dits premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

Montrons que S_n et S_n+1 sont premiers entre eux, puis S_n+1 et S_n+2.

Pourquoi donc ? Pas forcément...

1. Par exemple :
[tex]PGCD(36,100,225)=PGCD(PGCD(36,100),225)=PGCD(4,225)=1[/tex]...
36, 100 et 225 sont bien premiers entre eux (et pourtant pas deux à deux).

2. Tu as écrit :

[tex]PGCD(S_n,S_{n+1})=D_n=(2k+1)^2[/tex]

et aussi :

∀n > 1 ⇒ n = 2k > 1 ⇒ k > 1/2 d'où pour k=1 implique que [tex]D_n=(2+1)^2 \neq 1[/tex]. C'est verifié aussi pour n=2k+1

Alors ?...

@+

Dernière modification par yoshi (07-06-2013 15:26:40)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 02-06-2013 18:43:55

Exercice

#2 03-06-2013 07:40:07

Re : Exercice

#3 03-06-2013 18:20:34

Re : Exercice

#4 03-06-2013 20:07:59

Re : Exercice

#5 03-06-2013 20:32:48

Re : Exercice

#6 03-06-2013 21:21:52

Re : Exercice

#7 04-06-2013 06:49:43

Re : Exercice

#8 04-06-2013 08:02:07

Re : Exercice

#9 04-06-2013 08:32:18

Re : Exercice

#10 04-06-2013 08:59:13

Re : Exercice

#11 04-06-2013 09:17:17

Re : Exercice

#12 04-06-2013 19:08:08

Re : Exercice

#13 04-06-2013 21:02:16

Re : Exercice

#14 04-06-2013 21:06:48

Re : Exercice

#15 05-06-2013 09:08:03

Re : Exercice

#16 05-06-2013 09:34:03

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#17 05-06-2013 10:16:41

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#18 05-06-2013 15:02:26

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#19 05-06-2013 15:14:55

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#20 05-06-2013 22:41:14

Re : Exercice

#21 06-06-2013 07:28:27

Re : Exercice

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