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Sans récurrence
,pour l'inégalité de gauche, tu peux considérer un j particulier fixé, tel que
$Min\{a_i/b_i, i \in \{1,...,n\}\}=a_j/b_j$.
Montrer que la différence des termes de cette inégalité de gauche est positive est très simple sachant que pour tout i, $c_i=b_ja_i - a_jb_i$ est positif, donc que leur somme pour i variant de 1 à n aussi .

Mêmes idées pour l'autre inégalité avec le max...

Remarque: comme cas particulier lorsque aucun $a_i$ n'est nul,  en utilisant ce qui vient d'être prouvé en échangeant les rôles entre les b et les a ( par inversion min devenant max et le sens de l'inégalité s'échangeant aussi par inverse ...), on obtient l'autre inégalité directement.
Je te laisse d'ailleurs voir pourquoi on peut restreindre le sujet de départ (avec des $a_i$  éventuellement nuls ) à des $a_i$ tous non nuls sans perte de généralité
(et ainsi les deux inégalités se déduisent l'une de l'autre...)

Il te reste à peaufiner la rédaction et détailler clairement chaque étape.

En espérant ne pas avoir vendu la mèche,
du moins si une récurrence n'était pas imposée par ton prof...

1) montrer que peut se retreindre à des nombres tous nuls ou aucun nul pour la famille a.
2)montrer une des inégalités en travaillant sur les indices.
3) en déduire l'autre en échangeant les rôles et par inversion des quantités.
4)bonus: procéder par récurrence (?)
(dont j'avoue honteusement ne pas m'y être attelé...)

Après l'avoir vérifié pour des familles à un ou deux termes,
cela se fait très bien aussi par récurrence, en utilisant le fait que si x est inférieur à y, alors pour tout z, min(x,z) est inférieur à min (y,z) , et en utilisant simplement l'hypothèse de récurrence.
Démarche analogue pour l'autre inégalité, ou, comme dit précédemment, en se restreignant à une famille a>0, et en considérant les inverses sur la première inégalité.

Je trouve que la probabilité d'obtenir r+h constant avec un maximum de cartes tirées possible est  de 128 chances sur 3 788 031.
A savoir $\frac{4!\times 10 \times 4^4 }{208\times 207\times206\times205}$
Sauf erreur, à permutation près sur l'ordre des couleurs j'ai en effet calculé le nombre de cas où on obtient soit
(Pique,Roi), (Coeur, Dame),(Carreau, Valet), (Trèfle,10), ou
...... Ou (Pique,4), (Coeur, 3),(Carreau, 2), (Trèfle,1), rapporté au nombre de tirages possibles de 4 cartes parmi 4 jeux de 52 cartes.
La probabilité est évidemment très faible, comme on pouvait s'y attendre.

Chaque personne est représentée par un couple (m,j).
Puisque j+m =c, avec c indépendant de la personne, tous les m sont distincts, sinon il y aurait au moins deux couples identiques ( j=c-m).
De même les j sont distincts ( raisonnement analogue mais de toute façon on ne peut pas en avoir plus que de m (12<31)  ).
Donc en tout , il y avait au plus 12 personnes à la fête.

Un exemple avec un staf maximum ( donc tous les mois représentés) :
(12,19), (11,20), ......(2,29), (1,30)
Un exemple avec 6 personnes ( nées des mois pairs par exemple):
(2,29), (4,27), ...., (12, 19)

etc, il faut juste faire gaffe dans les exemples que tel mois ait bien tant de jours, avec deux possibilités pour février...

Afin d'obtenir un double-produit et avancer dans les factorisations, l'idéal est de multiplier la relation par 4.
"Idéal" car en prime $4 \times 48 - 19^2$ est un carré intéressant, au signe près.
Après quelques manipulations simples ( faisant apparaître la forme canonique d'un trinôme en b) et à des changements de variables linéaires u,v près,
on détermine facilement u,v, puis on en revient à (a,b)
qui est (42,33),  vérification faite.

Pour le numérateur, je regroupe par paquets de deux les monômes extrêmes d'une part, et médians d'autre part,
pour ne pas effectuer de division euclidienne de polynômes ( qui donnerait aussi le quotient "exact").

Le premier $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$ et pour l'autre groupement je factorise par $x^2$...
Après simplification par le dénominateur c.'est enfantin.

Après une factorisation facile, je trouve que
(a, c) est (7,13) ou (13,7)