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Louisx^x=x+1

Invité

Fonctions génératrices d’ensemble et fonction pi(x)

Bonjour j’aurais une question:
Je defini un n-uplet de fonctions (f1;f2;f3;…;f_n) comme generateur d’un ensemble G si il existe un element g appartenant à G tel que tout element de G peut s’ecrire comme une suite de compositions de fonctions de (f1;f2;…;f_n) appliquées à g.
Voici maintenant les différentes question que je me pose:
-soit pi(x) le nombre de nombre premier inférieurs ou egal a x. Est ce que (2x;pi(x)) est un couplet generateur de IN en commençant avec seulement l’élément 1 ? Et (3x;pi(x)) ? (4x;pi(x)) ? En general (ax;pi(x)) avec a un entier naturel strictement superieur a 1 ?
-est ce que (x+1;1/x) est un couplet generateur de Q+* en commençant seulement avec l’element 1 ? Et (x+1;x/(x+1)) ?
-est ce que (2x;(x-1)/3) est un couplet generateur de IN ? Si oui, cela reviendrait donc a resoudre la conjecture de Syracuse
-peut on trouver un entier positif k minimum pour un ensemble G tel qu’il existe un k-uplet de fonctions (f1;f2;…;f_k) qui soit generateur de G ? Par exemple pour IN, k=1 car le 1-uplet (x+1) genere tout IN en commençant par 0. Mais pour Z ? Et pour Q ? Et pour IR ? Voire meme M_n(G) qui designe l’ensemble des matrices carré de taille n où G est un ensemble quelconque, soit IN,Z,Q,R…? Est il possible aussi que ce k n’existe pas est qu’il doit y avoir une infinité de fonctions pour générer l’ensemble G ? (Je suppose que oui pour l’ensemble des reels R)

bridgslam

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Re : Fonctions génératrices d’ensemble et fonction pi(x)

Bonjour,

Bonjour j’aurais une question:
....
-est ce que (x+1;1/x) est un couplet generateur de Q+* en commençant seulement avec l’element 1 ?
...

Je pense que oui, vue la représentation en fraction continue finie des rationnels.
Si $r = [ a_0, ....., a_n] $ , r rationnel non nul positif,  en notant t la fonction translation de 1 ( x->x+1) et inv la fonction inverse (x->1/x) l'écriture de r revient à dire que
$r= t^{a_0} o\; inv \; o t^{a_1} o \;inv \;o .......  o\; inv \;o t^{a_n} (1)$

donc selon ton expression (t,inv) est bien un couple générateur de Q+*.

Dernière modification par bridgslam (06-08-2026 14:37:13)

Louisx^x=0

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Re : Fonctions génératrices d’ensemble et fonction pi(x)

Bonjour,

Bonjour j’aurais une question:
....
-est ce que (x+1;1/x) est un couplet generateur de Q+* en commençant seulement avec l’element 1 ?
...

Je pense que oui, vue la représentation en fraction continue finie des rationnels.
Si $r = [ a_0, ....., a_n] $ , r rationnel non nul positif,  en notant t la fonction translation de 1 ( x->x+1) et inv la fonction inverse (x->1/x) l'écriture de r revient à dire que
$r= t^{a_0} o\; inv \; o t^{a_1} o \;inv \;o .......  o\; inv \;o t^{a_n} (1)$

donc selon ton expression (t,inv) est bien un couple générateur de Q+*.

Parfait merci pour ta reponse meme si je viens de trouver la reponse hier ? mais c’est pas grave merci quand meme.
Par contre de nouvelles questions me sont venus en têtes:
-existe il un n-uplet generateur de focntion (f1;f2;…;f_n) qui, en commençant seulement avec le nombre 0, nous permet de generer tous les nombres algebrique (qui ne sont pas des nombres complexes mais seulement des reels pour l’instant). Si oui, quelles seraient ces fonctions ?
-un ensemble possedant un n-uplet generateur est il toujours denombrable ? Ou inversement tout ensemble dénombrable possede il un n-uplet generateur ?

bridgslam

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Re : Fonctions génératrices d’ensemble et fonction pi(x)

Bonsoir,

Réponse affirmative pour la première question du second sujet, sauf erreur.
Pourquoi ces questions, si je peux me permettre, c'est par rapport à un devoir ou un sujet d'étude? En lien avec autre chose?
C'est assez abstrait en toute généralité, sauf à se focaliser sur des ensembles précis...

Bonne soirée

bridgslam

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Re : Fonctions génératrices d’ensemble et fonction pi(x)

Bonjour,

Bonjour j’aurais une question:
...
-est ce que (2x;(x-1)/3) est un couplet generateur de IN ? Si oui, cela reviendrait donc a resoudre la conjecture de Syracuse
...
-

Ok si c'est vrai avec 1 comme argument de ce couple générateur... il faut le dire.
Par ailleurs, il faut aussi mentionner que tu autorises la composition vide ( identité), sinon on ne pourra jamais, par exemple, générer $\mathbb{N}$ avec x->x+1, le germe de départ g devant appartenir à G...

Louisx^x=0

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Re : Fonctions génératrices d’ensemble et fonction pi(x)

Bonjour,

Bonjour j’aurais une question:
...
-est ce que (2x;(x-1)/3) est un couplet generateur de IN ? Si oui, cela reviendrait donc a resoudre la conjecture de Syracuse
...
-

Ok si c'est vrai avec 1 comme argument de ce couple générateur... il faut le dire.
Par ailleurs, il faut aussi mentionner que tu autorises la composition vide ( identité), sinon on ne pourra jamais, par exemple, générer $\mathbb{N}$ avec x->x+1, le germe de départ g devant appartenir à G...

Oui bien sûr qu'on peut utiliser la composition vide (en plus la fonction identité est une fonction donc elle est autorisée du coup)

Louisx^x=0

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Re : Fonctions génératrices d’ensemble et fonction pi(x)

Bonsoir,

Réponse affirmative pour la première question du second sujet, sauf erreur.
Pourquoi ces questions, si je peux me permettre, c'est par rapport à un devoir ou un sujet d'étude? En lien avec autre chose?
C'est assez abstrait en toute généralité, sauf à se focaliser sur des ensembles précis...

Bonne soirée

Je pose ces questions par simple curiosité pour voir si elles ont une réponse, aucun lien avec mes etudes