Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tangeante-triviale

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Exercice MPSI

Bonjour!
J'aimerais que quelqu'un puisse m'aider a debloquer une situation à mon premier dm de maths en MPSI, je fais face à un exercice assez original (de mon point de vue), bien sur je ne veux pas de réponse et je vous demande d'eviter de me donner trop d'indices, je veux juste un autre point de vue de la situation, une autre "perspective" qui me fasse continuer, si par contre quelqu'un me dit la reponse ou me guide trop je ne compte pas rendre l'exercice.

Voici :
soit n un naturel non nul, (a(1)....a(n)) dans R+ et (b(1)...b(n)) dans R*+ 
Il faut montrer que le minimum(a(1)/b(1)....a(n)/b(n)) <= a la somme des a1...a(n) / somme des b1...b(n) <= max(a1/b1....a(n)/b(n))
Pour l'instant j'ai commencé la recurrence, j'ai fait l'initialisation et suite aux conseils de mon professeur, j'ai aussi montre le cas n=2, mais je ne vois pas comment continuer, actuellement je pense qu'il faut montrer que le minimum de a1/b1...a(n)/b(n) est inferieur a la somme d'indice n+1 et que le maximum de a2/b2 .... a(n)/b(n) est superieur a la somme d'indice n+1. Mais je ne vois de methode.

Merci enormément pour toute aide

bridgslam

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Re : Exercice MPSI

Bonsoir,

Je ne sais pas si le but était de faire absolument par récurrence, mais ...

▼sans

Sans récurrence
,pour l'inégalité de gauche, tu peux considérer un j particulier fixé, tel que
$Min\{a_i/b_i, i \in \{1,...,n\}\}=a_j/b_j$.
Montrer que la différence des termes de cette inégalité de gauche est positive est très simple sachant que pour tout i, $c_i=b_ja_i - a_jb_i$ est positif, donc que leur somme pour i variant de 1 à n aussi .

Mêmes idées pour l'autre inégalité avec le max...

Remarque: comme cas particulier lorsque aucun $a_i$ n'est nul,  en utilisant ce qui vient d'être prouvé en échangeant les rôles entre les b et les a ( par inversion min devenant max et le sens de l'inégalité s'échangeant aussi par inverse ...), on obtient l'autre inégalité directement.
Je te laisse d'ailleurs voir pourquoi on peut restreindre le sujet de départ (avec des $a_i$  éventuellement nuls ) à des $a_i$ tous non nuls sans perte de généralité
(et ainsi les deux inégalités se déduisent l'une de l'autre...)

Il te reste à peaufiner la rédaction et détailler clairement chaque étape.

En espérant ne pas avoir vendu la mèche,
du moins si une récurrence n'était pas imposée par ton prof...

Du coup...

▼étapes proposées à détailler proprement

1) montrer que peut se retreindre à des nombres tous nuls ou aucun nul pour la famille a.
2)montrer une des inégalités en travaillant sur les indices.
3) en déduire l'autre en échangeant les rôles et par inversion des quantités.
4)bonus: procéder par récurrence (?)
(dont j'avoue honteusement ne pas m'y être attelé...)

▼par récurrence

Après l'avoir vérifié pour des familles à un ou deux termes,
cela se fait très bien aussi par récurrence, en utilisant le fait que si x est inférieur à y, alors pour tout z, min(x,z) est inférieur à min (y,z) , et en utilisant simplement l'hypothèse de récurrence.
Démarche analogue pour l'autre inégalité, ou, comme dit précédemment, en se restreignant à une famille a>0, et en considérant les inverses sur la première inégalité.

Bon courage

Dernière modification par bridgslam (06-09-2026 10:13:27)

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Exercice MPSI

Bonjour,
Si tu as démontré le cas $n=2$, tu as ce qu'il te faut pour démontrer l'hérédité.
Dans l'hypothèse de récurrence, tu as $$\min_{i\leq n}\left(\frac{a_i}{b_i}\right)\leq \frac {\sum_{i\leq n} a_i}{\sum_{i\leq n}b_i}\;.$$
Ça a pour conséquence $$\min_{i\leq n+1}\left(\frac{a_i}{b_i}\right)\leq \min\left(\frac {\sum_{i\leq n} a_i}{\sum_{i\leq n}b_i}, \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\right)\;.$$
Je te laisse continuer.

Dernière modification par Michel Coste (06-09-2026 10:39:49)