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anthony.unac

Invité

Equation diophantienne

Bonsoir,

Résoudre dans $\mathbb N^2$ (à la main) !

$(ac+38)^2-38(a+c)^2 = 1441$

Dernière modification par yoshi (17-07-2026 14:26:37)

anthony_unac

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Re : Equation diophantienne

Bonsoir,

▼Pour s'échauffer avec le membre de droite

1441 est un palindrome de rang pair donc il est divisible par ...

Dernière modification par yoshi (17-07-2026 14:27:37)

yoshi

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Re : Equation diophantienne

Bonsoir,

▼ la décomposition est

1441
1+4 = 5
4 + 1 =5
5 - 5 = 0 multiple de 11
$1441=  11 \times 131$  et 131 est un nombre premier.

Ça c'est pour l'échauffement.
Je viens seulement de voir qu'il y a une préquelle...^_^

Pfffff.... Bon, donc alors, il vaut mieux que j'aille me coucher...
Demain sera un autre jour et j'y verrais plus clair.

@+

anthony_unac

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Re : Equation diophantienne

Bonjour Yoshi,

J'ignore ce qu'est une prequelle...
Concernant la décomposition de 1441 vous avez vu juste !
A présent, il faut entrer dans le dur avec la transformation du membre de gauche.

Bernard-maths

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Re : Equation diophantienne

Bonjour à tous !

Avant que yoshi se réveille, de tête, hier, j'ai trouvé

a²c² - 38(a² + c²) = 3

Après faut bricoler avec (a + c)² ...? De tête je cale ! ... S et P ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (17-07-2026 09:22:08)

yoshi

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Re : Equation diophantienne

Bonjour,

Préquelle :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A9quelle

La décomposition.
Ça, c'était quand même assez évident...

Quant à l'équation, ce sera une autre histoire... Avant de commencer à réfléchir, j'aime bien savoir où je mets les pieds.
Donc...
Qu'est ce que a ? qu'est ce que c ?
Des entiers naturels ?
Parce que je vois  ac et  a +c, ce qui m'offre 2 interprétations :
1. $ac = a \times c$ ? avec $a, c \in \mathbb  N$
2. $ac$ est le nombre ac tel que $\overline{ac}= 10a+c$,  i.e  le nombre ac tel que $11\leq ac\leq 99$
Laquelle est la bonne ?

Quelqu'un capable de poster une équation pareille devrait être capable de s'adapter très vite au  Code LaTeX (petit tuto sans prétention)   indispensable sur un site qui traite des Maths...

     @+

     Yoshi
- Modérateur -

N-B
Qui poste sur Bibmath, membre où invité, doit s'adapter aussi à nos Règles (de fonctionnement)
Merci d'y penser à l'avenir ;-))

anthony_unac

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Re : Equation diophantienne

Les nombres [tex]a[/tex] et [tex]c[/tex] sont des entiers naturels et [tex]ac[/tex] correspond donc à la multiplication de ces deux nombres.

Dernière modification par anthony_unac (17-07-2026 10:30:41)

anthony_unac

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Re : Equation diophantienne

j'ai trouvé

a²c² - 38(a² + c²) = 3

Après faut bricoler avec (a + c)² ...? De tête je cale ! ... S et P ?

Bonjour,
J'ai hâte de voir si cette piste peut amener au résultat.
Si ça cale de tête, il va falloir se résoudre à sortir le papier/crayon ;)
Que signifie S et P ?

yoshi

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Re : Equation diophantienne

Ave,

▼ Et B-m était réveillé, lui ?

$(ac+38)^2= a^2c^2 + 1444 +76ac$
$38(a+c)^2 = (38a^2+38c^2+76 ac)$
D'où il vient :
$(ac+38)^2 - 38(a+c)^2 =  a^2c^2+ 1444 +76ac - (38a^2+38c^2+76 ac)$

$(ac+38)^2 -38(a+c)^2 = a^2c^2 + 1444 + 76ac - 38a^2 - 38c^2 -76 ac$

$(ac+38)^2-38(a+c)^2 = a^2c^2 + 1444  - 38a^2 - 38c^2 = 1441$

Et enfin :
$(ac+38)^2-38(a+c)^2 = a^2c^2 + 1444  - 38a^2 - 38c^2 = 1441$

$(ac+38)^2-38(a+c)^2 =1441- 1444$

   Soit
$(ac+38)^2-38(a+c)^2 = -3$

Et :
$a^2c^2- 38(a^2+c^2) =-3$
et non 3..

Avant tout calcul théorique, j'ai voulu vérifier une idée une idée  : que a et c ne soient autres que la décomposition de 1441...
Bin, j'ai été déçu, ça ne colle pas..                                                           

Alors maintenant, je suis probablement au bout du bout du bout...
Juste encore quelque chose à vérifier avant de rendre les armes !

 

@+

[EDIT] @ anthony_unac .
Si j'ai la somme S de 2 racines $x_1$ et $x_2$ d'une équation du 2nd degré et leur produit $P = x_1x_2$  , ces racines sont celles de l'équation
$x^2-Sx+P =0$
On pourrait poser $x_1=a^2$  et  $x_2=c^2$ , on aurait $S =a^2+c^2$  et  $P = a^2 c^2$

Mais de là, à faire coller avec $a^2c^2- 38(a^2+c^2) +3 =0$ pour identification avec : $x^2-Sx+P=0$, je ne vois pas...                                                         
@+

anthony_unac

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Re : Equation diophantienne

▼indication

En gros, il faut trouver une façon de transformer une pseudo différence de deux carrés en un produit de deux nombres :
[tex](...)^2-n.(....)^2 = (....) * (....)[/tex]
Existe t il un outil pour faire ça ?

verdurin

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Re : Equation diophantienne

Bonsoir,
en posant $x=ac+38$ et $y=a+c$ on a une équation de Pell-Fermat : $x^2-38 y^2=1441.$
Et on vérifie à la main que $1441\equiv -3\mod 38$ puis que$-3$ est bien un carré modulo 38 car $15^2\equiv -3\mod 38.$

L'équation a donc des solutions entières.

yoshi

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Re : Equation diophantienne

Bonjour,

Merci Verdurin !
Tu m'ôtes un grand poids de la tête. Donc, pas de regrets...
Equation diophantienne et Bezout ça me disait quelque chose. Je suis allé rafraîchir ma mémoire (fin de mes études secondaires en 1966 : Bac Math elem puis la Fac. Donc ça commence à dater, vu que j'ai fêté mes 79 printemps en mars dernier) sans être plus avancé...
Et pour cause je n'avais entendu jamais parler d'équation de Pell-Fermat...
Y avait pourtant pas à aller bien loin : Equation de Pell-Fermat sur Bibmath.
J'me coucherai moins bête, ce soir..

Si Ernst passe par là, il se fera, j'en suis sûr, un plaisir d'interroger son IA préférée pour la solution...

@+

yoshi

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Re : Equation diophantienne

Bonjour,

Merci Verdurin !
Tu m'ôtes un grand poids de la tête. Donc, pas de regrets...
Equation diophantienne et Bezout ça me disait quelque chose. Je suis allé rafraîchir ma mémoire (fin de mes études secondaires en 1966 : Bac Math elem puis la Fac. Donc ça commence à dater, vu que j'ai fêté mes 79 printemps en mars dernier) sans être plus avancé...
Et pour cause je n'avais entendu jamais parler d'équation de Pell-Fermat...
Y avait pourtant pas à aller bien loin : Equation de Pell-Fermat sur Bibmath.
J'me coucherai moins bête, ce soir..

Si Ernst passe par là, il se fera, j'en suis sûr, un plaisir d'interroger son IA préférée pour la solution...

@+
[EDIT
A quoi servait alors de décomposer 1441 ?.

Dernière modification par yoshi (17-07-2026 17:12:07)

anthony_unac

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Re : Equation diophantienne

▼indication pour se remettre sur les rails

Développer le membre de gauche et chercher à factoriser par [tex]a^2[/tex] pour débuter puis par ...

bridgslam

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Re : Equation diophantienne

Bonjour,

▼caché

Après une factorisation facile, je trouve que
(a, c) est (7,13) ou (13,7)

jpp

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Re : Equation diophantienne

salut;

▼une solution

1441 = 11 x 131  = a²c² + 38² - 38a² - 38c² = (a² - 38).(c²- 38)  => a² = 49 et c² = 169 => a = 7 et c = 13

bridgslam

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Re : Equation diophantienne

Bonjour,

▼bien noter que...

Jpp , c'est cela, mais à mon sens  il faut aussi dire ( pour être complet)
que la factorisation ne peut pas être -11 x (-131) ( par exemple 27 n'est pas carré, ou encore un carré est positif)  avec d'autres applis numériques ça aurait pu très bien marcher...
Reste aussi à examiner le cas où un des facteurs est 1 ou -1...

Dernière modification par bridgslam (18-07-2026 09:06:24)

bridgslam

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Re : Equation diophantienne

Bonjour,

Un mini défi arithmétique en lien avec la question...
Confirmer ou infirmer le fait que pour tout couple (p, q) de premiers, et tout n naturel ( précédemment n=38 , et pq=1441), lorsque l'équation précédente est soluble, la solution est unique ( à permutation près de a et c).

Bon courage

Dernière modification par bridgslam (18-07-2026 06:44:56)

anthony_unac

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Re : Equation diophantienne

▼caché

Après une factorisation facile, je trouve que
(a, c) est (7,13) ou (13,7)

Bonjour, Bridgslam, quelle est cette factorisation facile ;)

Concernant le cas général :

▼Texte caché

[tex](ac+n)^2-n(a+c)^2=(a^2-n)(c^2-n)=pq[/tex]
Les nombres [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] étant premiers alors
[tex](a^2-n)=\pm 1, ou \pm p, ou \pm q ,ou \pm {pq}[/tex] et
[tex](c^2-n)= \pm{pq}, ou \pm q, ou \pm p, ou \pm 1[/tex]

Dernière modification par yoshi (18-07-2026 08:35:11)

anthony_unac

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Re : Equation diophantienne

▼une solution

1441 = 11 x 131  = a²c² + 38² - 38a² - 38c² = (a² - 38).(c²- 38)  => a² = 49 et c² = 169 => a = 7 et c = 13

Bonjour jpp,
vous avez vu juste mais vous avez sauté des étapes dans votre factorisation du membre de gauche.

anthony_unac

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Re : Equation diophantienne

L'équation a donc des solutions entières.

Bonjour, Verdurin,
L'équation possède effectivement des solutions entières (et pas une infinité) sinon l'exercice n'aurait pas été posé ainsi.
Une fois que vous êtes parvenu à ce constat, que faites vous ?
Comment allez vous chercher à la main ces solutions ?
En résolvant l'équation de Pell Fermat ?

bridgslam

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Re : Equation diophantienne

Bonjour,

@anthony_unac : Niveau 4 ième ou 3 ième,  je n'ai pas tout écrit...
Votre remarque à jpp est celle que je lui ai soumise afin que le raisonnement et le développement algébrique  soit complet... #17

Voir d'ailleurs aussi la question conjointe (mini-énigme complémentaire)  en lien étroit avec la question.

Bonne journée

Dernière modification par bridgslam (18-07-2026 08:32:18)

yoshi

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Re : Equation diophantienne

Bonsoir,

Niveau 4 ième ou 3 ième,  je n'ai pas tout écrit...

Je peux voir ce que tu appelles Niveau 4 ième ou 3 ième ?
Je crains que tu ne t'illusionnes beaucoup sur le niveau 4e/ 3e... A moins que je ne me trompe et ce serait une nouvelle intéressante qu'au ministère il ait été décidé de monter un peu plus le curseur de la "difficulté"...
Il n'y a (avait ?) que 2 consignes à respecter pour être dans les clous :
- Ne pas donner d'exercices demandant de la "virtuosité technique",
   Donc, factoriser $(2x-3)^2 -16$ oui, $(2x-3)^2 - 9(x-2)^2$ non...
- N'utiliser que des nombres fréquentables (sic)
dixit le dernier IPR '(i.e : Inspecteur Pédagogique Régional) venu m'inspecter.

En tout cas moi, je ne l'étais pas dans les clous les dernières années, j'avais décidé d'être border line en ayant soigneusement préparé l'argumentaire de défense de ma position et je faisais le distinguo entre les exercices d'entraînement en classe et Devoirs Maison et ce que je demandais en interros....
Si  toutefois j'avais mal identifié ce que tu as englobé dans ton affirmation, je serais content de m'être trompé et je ferais amende honorable.

@+