Forum de mathématiques - Bibm@th.net

velocipederectangle183

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Une erreur dans le Gourdon ?

Bonjour,

Je crois qu'il y a une erreur dans le cours du Gourdon Analyse.

Dans la 3e édition, à la page 234, le deuxième point de la remarque 5 énonce cela :

Pourtant, la suite de fonctions $\displaystyle (g_n)=\left([0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto \frac{(-1)^n}{x+n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ n'est-elle pas un contre-exemple ? En effet, $\sum g_n$ vérifie les hypothèses, mais elle ne converge pas normalement (juste uniformément).

Dernière modification par velocipederectangle183 (06-09-2026 07:49:24)

bridgslam

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Bonjour,

Sauf erreur, pour moi tu as raison, et c'est le dernier qualificatif "normale" du théorème qui est en porte à faux.
Tout au plus, la convergence est uniforme sur tout compact de [a, b]... avec les hypothèses faites.

Bonne journée

Dernière modification par bridgslam (06-09-2026 08:27:55)

velocipederectangle183

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Merci pour cette prompte réponse,

Si j'ai raison, je ne conçois pas qu'une erreur de cours aussi lourde ait pu perdurer jusqu'à la 3e édition... C'est un ouvrage de référence recommandé par les normaliens et les agrégatifs quand même.

Michel Coste

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Bonjour,
Le contre-exemple n'est pas bon : on a $\Vert g_n\Vert_\infty=\dfrac1n$ et la série numérique $\sum_{n>0} \dfrac1n$ n'est pas convergente !
Désolé, j'ai confondu les fonctions et leurs dérivées. Ce que je dis ci-dessus montre effectivement que la convergence de la série des $g_n$ n'est pas normale. Il faut remplacer "normalement" par "uniformément" aux deux endroits de l'énoncé.

Dernière modification par Michel Coste (06-09-2026 11:06:02)

bridgslam

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Bonjour,

De rien.
Les  membres du forum ou autres visiteurs se feront sans doute un plaisir de regarder ta question, notamment pour les férus d'analyse.
Ces théorèmes sont assez loin pour moi, et cela demande à être regardé de près.

Pour ce qui est de la littérature, lisant pas mal de documentation sur le bridge, mon dada, je suis tombé un jour sur un bouquin, remanié au goût du jour au niveau des préceptes standart modernes sur les enchères,  hélas dans les paragraphes d'exercices, non remaniés, il en était resté à l'ancien système... et un lecteur n'en ayant jamais entendu parler a du être bien perdu et n'y comprendre strictement rien.
Autrement-dit ça arrive dans tous les domaines...

Bon dimanche

velocipederectangle183

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Espérons juste que ce genre de fausse version du théorème de dérivation terme à terme ne se dissémine pas dans d'autres cours : comme j'ai pu le lire ailleurs... Par exemple dans la proposition 1.2.28 (page 15) du document d'agrégation suivant : https://www.math.univ-toulouse.fr/~jroy … ctions.pdf

Dernière modification par velocipederectangle183 (06-09-2026 12:01:17)

Roro

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Bonjour,

C'est en effet un peu surprenant. Il ne fait pas la démonstration dans le bouquin ?

Roro.

velocipederectangle183

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Bonjour,

C'est en effet un peu surprenant. Il ne fait pas la démonstration dans le bouquin ?

Roro.

Bonsoir,

Non, c'est une remarque non démontrée.

DeGeer

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Bonjour
Le théorème qui est démontré dans le Gourdon est le suivant : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ d'un segment $[a,b]$ de $\mathbb{R}$ dans un espace de Banach $E$. On suppose que:
i) Il existe $x_0 \in [a,b]$ tel que la suite $(f_n(x_0))$ converge ;
ii) La suite de fonctions $(f_n')$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $g$;
Alors la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ vérifiant $f=g$.

L'énoncé dont il est question ici est parachuté sans démonstration. J'ai l'impression qu'il faudrait que la série $\sum g_n(x_0)$ converge absolument pour un certain $x_0$ mais je n'ai pas regardé en détails.

velocipederectangle183

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

J'ai l'impression qu'il faudrait que la série $\sum g_n(x_0)$ converge absolument pour un certain $x_0$ mais je n'ai pas regardé en détails.

Bonsoir,
Oui absolument (vous pardonnerez le jeu de mot...). Cela se montre aisément avec les valeurs intermédiaires, et en utilisant le fait que l'intervalle est borné. C'est d'ailleurs bon à savoir pour l'agreg...

Dernière modification par velocipederectangle183 (06-09-2026 19:42:54)

Fred

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Bonsoir,
   
  J'ai peut-être la première ou la deuxième édition au bureau. Je regarderai demain si l'erreur est déjà présente ...
Parfois on rajoute quelques lignes dans une remarque sans trop y réfléchir ...

F.

velocipederectangle183

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Je viens de contacter M. Gourdon par mail (il donne une adresse au début du livre) pour lui signaler l'erreur.

Bonsoir,
   
J'ai peut-être la première ou la deuxième édition au bureau. Je regarderai demain si l'erreur est déjà présente ...
Parfois on rajoute quelques lignes dans une remarque sans trop y réfléchir ...

F.

Bonsoir,

Non mais justement, cela apparait déjà dans la 2e ; c'est la raison pour laquelle je suis étonné. Après je sais pas pour la 1ère...

Dernière modification par velocipederectangle183 (06-09-2026 20:41:13)

DeGeer

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Une nouvelle version du tome d'algèbre et probabilités a été publiée l'année dernière avec un nouveau titre. Peut-être qu'une nouvelle version du tome d'analyse est en préparation.

bridgslam

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Bonjour,

En fait, selon les hypothèses :

- si la série des dérivées converge uniformément
- convergence quelconque de la série en un point

On en déduit la convergence uniforme de la série de fonctions

- si la série des dérivées converge normalement
- convergence absolue de la série en un point

Le résultat est alors plus fort avec la convergence normale de la série de fonctions.

Michel Coste

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Dans l'édition que j'ai (sans doute la première, datant de 1994), il n'y a pas trace de cet énoncé dans la remarque 5 suivant le théorème 5 du § 3.2du chapitre IV.

gebrane

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Je n'ai plus le livre, mais il faut verifier si on suppose dans cette section des suites de fonctions à termes positifs , donc  $\boxed{\text{si la remarque porte sur des fonctions positives, « convergence normale » est justifié.}}$

velocipederectangle183

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Je n'ai plus le livre, mais il faut verifier si on suppose dans cette section des suites de fonctions à termes positifs , donc  $\boxed{\text{si la remarque porte sur des fonctions positives, « convergence normale » est justifié.}}$

Bonjour.

Non, le résultat est formulé pour des fonctions de $[a,b]$ dans un espace de Banach.

Notons que le résultat corrigé est plus généralement vrai sur tout intervalle borné.

Dernière modification par velocipederectangle183 (08-09-2026 06:36:37)

gebrane

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Re : Une erreur dans le Gourdon ?

Merci pour ta réponse !

J'avais justement travaillé dans les Gourdon et je n'avais pas remarqué que cette remarque était erronée. Cela me rappelle qu'il faut parfois se méfier des remarques qu'un auteur ne prend pas le temps de démontrer : ce sont peut-être les passages auxquels on prête le moins attention, alors qu'ils peuvent contenir des subtilités.