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Et aujourd'hui est le bicentenaire de la naissance de Bernhard Riemann, ce qui à deux jours près correspond donc au centenaire de Jean-Pierre Serre.

Bonjour
Le théorème qui est démontré dans le Gourdon est le suivant : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ d'un segment $[a,b]$ de $\mathbb{R}$ dans un espace de Banach $E$. On suppose que:
i) Il existe $x_0 \in [a,b]$ tel que la suite $(f_n(x_0))$ converge ;
ii) La suite de fonctions $(f_n')$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $g$;
Alors la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ vérifiant $f=g$.

L'énoncé dont il est question ici est parachuté sans démonstration. J'ai l'impression qu'il faudrait que la série $\sum g_n(x_0)$ converge absolument pour un certain $x_0$ mais je n'ai pas regardé en détails.

On peut effectivement raisonner par contraposée :
Si $m$ et $n$ ne sont pas premiers entre eux, ils admettent un diviseur commun $d$ strictement plus grand que $1$. On a alors $m=d \times m'$ et $n=d \times n'$ soit $m+n=d \times m' + d \times n' = d (m'+n')$ donc $m+n$ n'est pas premier.
On peut aussi raisonner directement comme dans mon premier message : si $m+n$ est premier, on note $d$ un diviseur commun (positif) à $m$ et $n$. Alors $d$ est un diviseur de $m+n$, qui est premier, mais $d < m+n$ donc nécessairement $d=1$. Donc $m$ et $n$ sont premiers entre eux.

Bonjour

Je ne comprends pas ce passage. D'ailleurs, le couple $(u,v)$ n'est pas unique, la "décomposition de Goldbach" non plus, puisqu'un même nombre pair peut parfois s'écrire de plusieurs manières comme somme de deux nombres premiers. Par exemple $58=5+53=11+47=17+41=29+29$

Bonjour
Je n'ai pas fait l'exercice en détail, mais tu peux éventuellement utiliser le fait que, d'après la loi faible des grands nombres, $\frac{S_n}{n}$ converge en probabilité vers $p\neq \frac{1}{2}$ et réécrire la définition de la convergence en probabilité.

C'est difficile à dire, on ne sait pas comment seront ventilés les postes entre les concours bac+3/bac+5. Pour ce qui concerne le concours bac+5, il s'adresse en priorité aux étudiants de master MEEF. Or, avec le concours bac+3, beaucoup d'étudiants de M1 ont obtenu le capes bac+3 et n'auront donc pas à le repasser.
Quant à la différence entre les épreuves des deux concours, je ne pense pas que le concours bac+3 soit tellement moins exigeant. Je doute qu'on puisse improviser l'oral 1 de ce concours plus que la leçon du concours bac+5.

Bonjour
Tu peux apporter tes propres manuels s'ils ne sont pas annotés. De toutes façons, même si ces méthodes apparaissent dans des manuels, cela ne dispense pas de les apprendre.

Bonjour
Tu peux consulter le site du jury pour avoir plus de précisions, ainsi qu'un sujet zéro.

Bonjour
A priori, tu pars du principe que $(\mathbb{Z},+)$ est un groupe.
Il ne reste plus qu'à vérifier que $0$ est bien un neutre à droite pour la soustraction.

Bonjour
C'est effectivement toujours le problème en probabilités, dès lors qu'on se place dans une situation (pseudo-)concrète : il y a toujours une part de modélisation qui n'est pas mathématique mais relève du langage.

@Black Jack : je ne crois pas avoir laissé supposer que j'avais répondu de manière complète. Je répondais à la première question. Pour la deuxième, j'aimerais bien avoir le code Python que tu évoquais dans ton premier message.
D'un point de vue théorique, j'avais pensé à l'étude d'une marche aléatoire déséquilibrée sur $\mathbb{Z}$.

Bonjour
Sur une grille standard, le joueur qui commence a une stratégie gagnante s'il commence par jouer la colonne centrale. Le deuxième joueur peut faire partie nulle si le joueur qui commence a joué l'une des colonnes adjacentes à la colonne centrale, et il peut gagner si le premier joueur a joué l'une des autres colonnes.
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