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#1 Re : Entraide (supérieur) » Problème d'ajustement » 27-11-2017 07:09:22
Bonjour,
Personnellement, je ne connais pas cette méthode de Tchebychev pour les ajustements, mais fort d'une longue expérience pratique dans les problèmes d'ajustement, je peux te conseiller cette méthode :
L'analyse en composante principale (ACP). De ton nuage de n points, exprimé sous la forme d'une matrice P (n,3) tu calcules la matrice de variance covariance Cp de P. Puis tu calcules les vecteurs propres et valeurs propres de Cp. Le vecteur propre associé à la plus petite valeur propre correspond au vecteur normal au plan. Ainsi, si tu calcules également le barycentre de ton nuage de points, tu as tout ce dont tu as besoin pour modéliser ton plan : 1 point (le barycentre) et le vecteur normal.
Cette régression est orthogonale au sens où cette méthode minimise la distance orthogonale de chaque point au plan. Autre avantage, elle tient en quelques lignes de code sur n'importe quel logiciel de calcul numérique (matlab scilab octave R)
Ainsi en Scilab, ça donnerait :
G = mean(P,'r') // barycentre du nuage de points
Cp = cov(P) // Matrice de variance-covariance des coordonnees de tes points
[R,D] = spec(Cp) // R : matrice de rotation contenant les vecteurs propres et D : matrice diagonale contenant les valeurs propres
[dMin,iMin] = min(diag(D)) // selection de la plus petite valeur propre
sigma = sqrt(dMin) // Ecart-type de tes points orthogonalement au plan
vecNormal = R(:,iMin) // Vecteur propre associe : vecteur normal au plan
Une fois le barycentre et le vecteur normal connus, tu peux facilement déduire les coefficients a, b, c et d de ton plan.
Bon courage et bonne suite
Thomas.
#2 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » L'Afrique » 02-07-2015 05:37:15
Bonjour,
En faisant l'hypothèse que la carte est équivalente, c'est-à-dire qu'elle conserve les surfaces, je trouve 171 cm².
Cependant, même sous cette hypothèse, le calcul ne peut pas être rigoureux.
En effet, vu la taille d'un continent tel l'Afrique, l'échelle ne peut pas être considérée comme étant constante, quelle que soit la projection cartographique utilisée.
Mais si on connaît la projection employée, on peut faire un calcul plus rigoureux connaissant ses directions principales de déformations.
Par exemple, en Lambert (projection conique) ou en Mercator (cylindrique) l'échelle varie en fonction de la latitude uniquement. Le long des parallèles, elle est constante.
Bonne journée,
Thomas.
#3 Re : Entraide (supérieur) » variables aléatoires non indépendantes » 02-06-2015 06:07:24
Bonjour,
Tout d'abord, ton exemple est faux : si [tex]y=x^2[/tex] avec [tex]x\sim{}\text{N}(0,1)[/tex], alors [tex]y[/tex] suit une loi du [tex]\chi^2[/tex] à 1 degré de liberté, et non la loi normale centrée réduite.
Bonne journée,
Thomas.
#4 Re : Entraide (supérieur) » Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique idempotente » 04-06-2014 13:26:11
Merci Fred !
Non seulement je suis rassuré pour le bouquin que j'utilise, mais en plus ça fonctionne sur Octave avec la fonction 'orth'.
Thomas.
#5 Entraide (supérieur) » Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique idempotente » 04-06-2014 09:53:26
- marin marais
- Réponses : 2
Bonjour à tous et à toutes,
J'ai un problème de calcul numérique sur MatLab ou Octave. J'aurais besoin d'une confirmation au cas où, au niveau théorique, je me tromperais...
Dans des traitements avancés d'ajustement par la méthode des moindres carrés, je suis amené à étudier un projecteur orthogonal. J'ai donc une matrice idempotente et symétrique de rang n-p, où n est le nombre d'observations et p le nombre d'inconnues.
Quand je fais son analyse en composantes principales (avec la fonction 'eig' de MatLab ou Octave), j'ai bien p valeurs propres nulles et n-p valeurs propres égales à 1. Jusque là tout va bien. Malheureusement, les vecteurs propres donnés par le logiciel ne sont pas tous orthogonaux deux à deux.
Plus exactement, dans mon résultat, deux vecteurs propres quelconques, mais différents l'un de l'autre, associés à des valeurs propres différentes sont bien orthogonaux. Mais quel que soit le couple choisi, si les deux vecteurs sont associés à la même valeur propre, leur produit scalaire est non nul...
Ce résultat va à l'encontre de mes souvenirs et de mon bouquin d'algèbre... Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée, même s'il y a multiplicité de certaines valeurs propres, n'est-ce pas ? Est-ce que je me trompe sur ce point ?
Merci de votre aide !
Thomas.
#6 Re : Entraide (supérieur) » equation diff » 26-07-2011 10:16:24
Bonjour,
Entre ton énoncé et ton calcul, le [tex]\sin{}x[/tex] devient [tex]\sin{}y[/tex]... Je ne suis pas un très bon mathématicien, mais suffisamment pour savoir que ça a son importance ;o)
Si mes souvenirs sont bons, il faut d'abord que tu tentes de te ramener à formulation de la forme [tex]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(x,y\right)[/tex].
Bon courage !
Thomas.
#7 Re : Cryptographie » Le Code Rsa » 19-07-2011 10:32:02
Bonjour à tous,
Aucun "générateur" informatique de nombres aléatoires ne peut vraiment être qualifié d'aléatoire : ils en sont tous plus ou moins éloignés !
Lorsque j'ai dit "le plus performant est celui du langage matlab", il fallait comprendre, si tu préfères, le moins mauvais...
MatLab précise d'ailleurs dans sa documentation qu'il ne génère que des nombres pseudo-aléatoires. Par défaut, il utilise l'algorithme de Mersenne-Twister... Faut quand même admettre qu'il y a de la marge avant de trouver une période dans les nombres générés : [tex]2^{19937}-1\approx{}10^{6000}[/tex]. Il me semble que les équivalents libres de MatLab, à savoir SciLab et GNU-Octave, utilisent également Mersenne-Twister par défaut.
Cela dit, j'ai lu (je ne sais plus où malheureusement) que certains labos fournissaient des nombres aléatoires obtenus à partir de sources quantiques du genre - si j'ai bien compris - de la désintégration du noyau d'un atome. Quelqu'un a des infos là-dessus par hasard ??? Est-ce que ce genre d'outil est utilisé en crypto ?
Dans le même style, mais avec moins de contraintes logistiques et écologiques, j'ai rencontré il y a un an des informaticiens qui travaillaient sur un générateur pseudo-aléatoire basé sur le bruit des électroniques de microphones et de caméra. Je ne me rends pas compte du gain que ça peut apporter par rapport à Mersenne-Twister... Ça doit pas être simple à quantifier...
A+,
Thomas.
#8 Re : Entraide (supérieur) » Autocorrélation » 11-07-2011 10:08:21
Pour ce qui est du fond de mon problème, l'instrument (LIDAR à retour d'onde complète) fonctionne sur la rétrodiffusion du sol. On émet un faisceau laser. La surface au sol rétrodiffuse, le capteur enregistre le retour de l'onde, à savoir la puissance reçue en fonction du temps écoulé depuis l'émission. On dispose d'un profil de la puissance rétrodiffusée en fonction du temps. Le temps permet de déduire la distance à l'objet observé. Dans mon cas, j'en déduit l'altitude. Pour estimer la distance observée, on effectue un calcul similaire à celui d'une espérance mathématique à partir d'une densité de probabilité. Ce problème est relativement simple à traiter pour des lidar terrestres et aérien. Les surfaces observées peuvent être assimilées à des points.
Moi j'ai un lidar spatial dont l'empreinte au sol fait 12 m de diamètre. Sur une telle surface, il peut s'en passer des choses. En confiant les problèmes de la végétation et du bâti à des spécialistes, je me suis concentré sur la rugosité, la pente et la réflectance de ma surface. Si ma réflectance varie, c'est un peu comme si je déplace le barycentre de la rétrodiffusion. Si le sol est plat, l'estimation de l'altitude n'est pas perturbée. Par contre s'il y a de la pente, l'erreur entre mon estimation et la vraie altitude moyenne de la surface, mon biais, est proportionnel à la pente. Il s'agit d'une mesure décalée. C'est un problème de justesse, d'exactitude de la mesure et non de dispersion des mesures. C'est la raison pour laquelle je parle de biais.
Avec notre satellite, on n'aura pas de connaissance a priori de la topographie ni de la réflectance (en fait, on se bat avec les constructeurs pour essayer d'en avoir une par l'apport d'un imageur). A défaut d'avoir les moyens de savoir ce que je mesure, j'essaie de déterminer le risque que mon estimation de l'altitude soit entachée d'un tel biais, supérieur à 20 cm. En étant extrêmement pessimiste sur les variations de la réflectance de la surface de la Terre, tant que ma pente est inférieure à 44°, le biais est inférieur à 20 cm.
#9 Re : Entraide (supérieur) » Autocorrélation » 11-07-2011 09:52:56
Salut Freddy et merci encore.
Je crois que j'ai trouvé, grâce à tes qualités de maïeuticien, les failles de mon raisonnement.
Du coup, je commence par détailler mes calculs d'espérance puis de variance. les astérisques (*) signalent les assertions sur lesquelles je ne mettrais plus ma main au feu...
[tex]((x_i)_{i=1}^n)[/tex] et [tex]((y_i)_{i=1}^n)[/tex] sont n réalisations de 2 VA réelles indépendantes X et Y suivant la loi normale centrée réduite. Soit [tex]Z_n[/tex] la VA telle que [tex]Z_n=\sum_{i=1}^n{x_iy_i}[/tex]
[tex]\mathbb{E}(Z_n)=\mathbb{E}(\sum_{i=1}^n{x_iy_i})=\sum_{i=1}^n{\mathbb{E}(x_iy_i)}[/tex] du fait de la linéarité de l'espérance. Sachant que, par hypothèse, [tex]x_i[/tex] et [tex]y_i[/tex] sont indépendants, on a [tex]\mathbb{E}(x_iy_i)=\mathbb{E}(x_i)\mathbb{E}(x_i)[/tex] d'où :
[tex]\mathbb{E}(Z_n)=\sum_{i=1}^n{\mathbb{E}(x_i)\mathbb{E}(y_i)}[/tex]
[tex]x_i[/tex] et [tex]y_i[/tex] ont, par hypothèse, des espérances nulles d'où
[tex]\mathbb{E}(Z_n)=0[/tex]
Jusque là, j'espère avoir bon... Passons aux choses sérieuses...
[tex]\mathrm{var}(Z_n)=\mathrm{var}\big(\sum_{i=1}^n{x_iy_i}\big)=\sum_{i=1}^n{\mathrm{var}(x_iy_i)}+2\sum_{1\leq{}i<j\leq{}n}{\mathrm{cov}(x_iy_i,x_jy_j)}[/tex]
Pour ce qui est de la somme des variances :
[tex]\mathrm{var}(x_iy_i)=\mathbb{E}(x_i^2y_i^2)-(\mathbb{E}(x_iy_i))^2[/tex]
[tex]x_i[/tex] et [tex]y_i[/tex] sont indépendants et d'espérances nulles, annulant ainsi le deuxième terme. Cela implique aussi que [tex]x_i^2[/tex] et [tex]y_i^2[/tex] soient indépendants (*). D'où :
[tex]\mathrm{var}(x_iy_i)=\mathbb{E}(x_i^2)\mathbb{E}(y_i^2)[/tex]
[tex]x_i[/tex] et [tex]y_i[/tex] suivent la loi normale centrée réduite, donc [tex]x_i^2[/tex] et [tex]y_i^2[/tex] suivent la loi du [tex]\chi^2[/tex] à 1 degré de liberté. De ce fait, leurs espérances valent 1.
[tex]\mathrm{var}(x_iy_i)=1[/tex] d'où
[tex]\sum_{i=1}^n{\mathrm{var}(x_iy_i)}=\sum_{i=1}^n{1}=n[/tex]
Passons à la somme des covariances...
[tex]\mathrm{cov}(x_iy_i,x_jy_j)=\mathbb{E}[(x_iy_i-\mathbb{E}(x_iy_i))\cdot{}}(x_jy_j-\mathbb{E}(x_jy_j))]=\mathbb{E}(x_iy_i\cdot{}x_jy_j)[/tex]
Les réalisations de X et Y sont par hypothèse indépendantes donc [tex]x_ix_j[/tex] et [tex]y_iy_j[/tex] sont indépendantes (*). On a alors :
[tex]\mathrm{cov}(x_iy_i,x_jy_j)=\mathbb{E}(x_ix_j)\cdot\mathbb{E}(y_iy_j)[/tex]
J'ai alors brutalement annulé ce terme en supposant que, si i est distinct de j, alors mes deux réalisations de X correspondantes sont indépendantes, comme si elles étaient indépendamment distribuées. Or ce n'est pas le cas...
C'est du coup cette même hypothèse qui me faisait affirmer que la somme de mes Zn tendaient vers la loi normale. OK, je vais me replonger dans mes bouquins... Manifestement, j'en ai besoin :o)
#10 Re : Entraide (supérieur) » Autocorrélation » 09-07-2011 17:35:41
Oui, je sais et je n'ai pas l'impression d'avoir dit cela ni de l'avoir sous-entendu. Y-aurait-il une étape dans mon raisonnement qui impliquerait - sans que je le sache - le fait que je considère le produit de 2 VA gaussiennes comme une VA gaussienne ?
C'est possible car je dois admettre ma faible maîtrise de ces outils, mais si c'est le cas, je veux bien un petit coup de pouce ;)
J'affirme que la VA qui est la somme de n produits de 2 VA gaussiennes converge vers la loi normale et ce, en me basant sur le théorème central limite.
#11 Re : Entraide (supérieur) » Autocorrélation » 09-07-2011 10:34:31
Salut ! Merci de te pencher sur mon cas et désolé de ne pas avoir réussi à être clair...
Je ne dis pas que Zn suit la loi normale, je dis qu'en tant que somme de n variables aléatoires, Zn tend vers une loi normale quand n est grand, ce que je confirme par des tests d'adéquation de Pearson à partir de simulations de Monte-Carlo. Aurais-je fait une bétise, ou mal appliqué le théorème central limite ? C'est possible...
Je vais reprendre mes calculs de l'espérance et de la variance puis les poster pour vérification.
Pour ce qui est du fond de mon problème (c'est un peu long...) :
Mon instrument doit restituer l'altitude moyenne de la partie de la surface de la Terre qu'il observe (une tache de 12 m de diamètre). Mais certaines conditions engendrent un biais dans l'estimation de l'altitude, notamment la pente (plus précisément la pente quand la réflectance du terrain n'est pas constante).
Je dois donc calculer la probabilité d'occurrence du biais de mon instrument qui, admettons, correspond à la probabilité que la pente dépasse un seuil donné (44°).
J'ai analysé des modèles numériques de terrain (MNT), fournis par l'IGN, sur des départements entiers et sur certaines villes en particulier. J'ai pu en extraire, pour chacun de ces MNT les courbes empiriques de la densité de probabilité et de la fonction de répartition de la pente. Grâce à cela, je suis capable de calculer la probabilité que ma pente dépasse le seuil à partir duquel mon instrument est biaisé.
L'instrument dans mon satellite doit faire une mesure tous les 70 m à la surface de la Terre. Supposons qu'à un instant donné, il observe une zone très inclinée. Il y a un biais, la mesure est hors tolérance. Passons à la mesure suivante, 70 m plus loin.
Si j'arrête mon analyse au calcul de la probabilité des fortes pentes du paragraphe précédent, ça revient à considérer ma VA pente comme étant non corrélée dans l'espace. La pente de la zone observée à l'instant suivant serait alors indépendante de la précédente. C'est faux, il suffit d'observer la nature : les pentes très fortes s'observent majoritairement dans les régions montagneuses. Réciproquement, si ma pente est très importante, c'est peut-être parce que je suis en région montagneuse. Dans ce cas, si ma pente est forte à un endroit donné, 70 m plus loin, la pente devrait aussi l'être. Je cherche donc à quantifier la corrélation dans l'espace de mes pentes. L'autocorrélation m'a semblé être un outil pertinent pour cela.
Dans ce but, j'ai calculé les coefficients d'autocorrélation [tex]R_k[/tex] (voir mon premier post) des pentes des MNT que j'ai analysés. J'obtiens de jolies courbes, comprises entre -1 et 1. Je cherche à définir le rang k à partir duquel les valeurs des coefficients d'autocorrélation sont suffisamment petites pour que je puisse considérer mes pentes comme étant indépendantes. Ca revient à calculer la distance minimale à partir de laquelle deux valeurs de pente peuvent être considérées comme indépendantes. Pour définir ce rang k, j'ai besoin d'un test statistique sur mes coefficients.
Voila le test que j'ai construit :
Hypothèse H0 : [tex]((p_i)_{i=1}^{n-k})[/tex] et [tex]((p_{i+k})_{i=1}^{n-k})[/tex] sont deux séries indépendantes (mes pentes).
Soient [tex]\mu[/tex] et [tex]\mu'[/tex] les moyennes respectives des [tex]p_i[/tex] et des [tex]p_{i+k}[/tex].
Soient [tex]\sigma[/tex] et [tex]\sigma'[/tex] les écart-types respectifs des [tex]p_i[/tex] et des [tex]p_{i+k}[/tex].
[tex]x_i=\frac{p_i-\mu}{\sigma}[/tex] et [tex]y_i=\frac{p_{i+k}-\mu'}{\sigma'}[/tex] sont les versions centrées réduites des [tex]p_i[/tex] et [tex]p_{i+k}[/tex]
La variable [tex]Z_{n-k}=\sum_{i=1}^{n-k}{x_iy_i}[/tex] tend, pour [tex]n-k[/tex] suffisamment grand, vers la loi normale d'espérance nulle et de variance (à confirmer) [tex]n-k[/tex], que je note [tex]N(0,\sqrt{n-k})[/tex].
J'utilise mon test ainsi :
Je dispose des valeurs des coefficients d'autocorrélation [tex]R_k=\frac{Z_{n-k}}{n}[/tex].
Soient [tex]\gamma_1=P(N(0,\sqrt{n-k})\leq{}2.5\,\%)[/tex] et [tex]\gamma_2=P(N(0,\sqrt{n-k})\leq{}97.5\,\%)[/tex].
Si [tex]\gamma_1\leq{}n\cdot{}R_k\leq\gamma_2[/tex], alors l'hypothèse H0 d'indépendance est validée, sinon, elle est rejetée.
J'espère avoir été plus clair...
Bravo à ceux qui ont eux le courage de me lire jusque là !!!
Thomas.
#12 Re : Entraide (supérieur) » Autocorrélation » 08-07-2011 10:57:19
Bon, d'après les infos que j'ai pu trouvé ça et là, il n'y a pas de solution analytique pour exprimer la densité de probabilité du produit de deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi normale centrée réduite.
Alors voila comment j'ai procédé :
Soient [tex]X[/tex] et [tex]Y[/tex] deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi normale centrée réduite.
Soient [tex]((x_i)_{i=1}^n)\in\matnbb{R}^n[/tex] et [tex]((y_i)_{i=1}^n)\in\matnbb{R}^n[/tex], [tex]n[/tex] réalisations respectivement de [tex]X[/tex] et [tex]Y[/tex].
Soit [tex]Z_n[/tex] la variable aléatoire définie par [tex]Z_n=\sum_{i=1}^n{x_iy_i}[/tex]
J'ai pu démontrer que :
- [tex]\mathbb{E}(Z_n)=0[/tex]
- [tex]\mathrm{var}(Z_n)=n[/tex]
D'après le théorème central limite et ces résultats, la distribution de [tex]Z_n[/tex] tend vers la loi normale centrée de variance [tex]n[/tex]. Grâce à des simulations de Monte-Carlo (avec [tex]10^6[/tex] tirs à chaque fois), le test d'adéquation du [tex]\chi^2[/tex] par rapport à cette loi normale est, à [tex]95\,\%[/tex], positif pour [tex]n>150[/tex]. Pour les valeurs inférieures de [tex]n[/tex], l'erreur de définition des bornes du test statistique de mon résultat d'autocorrélation, due à l'approximation de la vraie loi de [tex]Z_n[/tex] par la loi normale, correspond à un biais sur la probabilité qui est inférieur, en valeur absolue, à [tex]0.2\,\%[/tex].
On va dire que ça me suffit largement... Voili voilou, maintenant, c'est parti pour l'analyse de mes pentes !!!
#13 Re : Entraide (supérieur) » Autocorrélation » 06-07-2011 17:04:14
Pour info, je suis en train de simuler avec MatLab pour savoir vers quoi chercher... Ça sent la loi "t" de Student à plein nez...
En effet :
- L'espérance semble nulle,
- La densité de probabilité semble symétrique par rapport à l'espérance,
- Les queues de distribution sont plus fortes que la loi normale,
- Les flancs de la cloche sont plus resserrés que pour la loi normale.
Sur [tex]10^6[/tex] simulations, les tests d'adéquation du [tex]\chi^2^[/tex] par rapport à la loi normale d'espérance nulle et de variance égale à [tex]n-k[/tex] ont échoués pour [tex]n-k=10[/tex] et [tex]n-k=100[/tex]. Pour [tex]n-k=1000[/tex] et [tex]n-k=10000[/tex], les tests ont réussi, ce qui est logique, d'après le théorème central limite...
Demain, je vais reprendre mes tests d'adéquation avec la loi de student. Après, j'essaierai de le démontrer comme un grand garçon...
Cordialement,
Thomas.
#14 Entraide (supérieur) » Autocorrélation » 06-07-2011 13:53:02
- marin marais
- Réponses : 9
Bonjour à tous et à toutes,
En gros, je sais comment calculer l'autocorrélation d'une série de données, maintenant, que dois-je en faire ? C'est pas vraiment un problème de maths, mais plutôt de traitement du signal... Mais je n'arrive pas à trouver de la doc claire. Je m'en remets donc à vos compétences.
En détails, voila mon problème actuel :
Je bosse sur un projet de satellite d'observation de la Terre à partir de tirs laser. Le laser permet d'estimer l'altitude de la zone observée de la Terre. Cette estimation est biaisée en cas de pentes importantes et quelques autres bricoles.
Du coup, en analysant des modèles numériques de terrain, j'ai pu calculer la probabilité que ma pente soit suffisamment forte pour engendrer un biais. Soit. Sauf que les pentes d'un point de la Terre à un autre ne sont pas indépendantes dans l'espace jusqu'à une certaine distance : si mon laser tire sur une haute montagne, la pente du prochain tir aura de grande chance, elle aussi d'être importante.
Dans ce contexte, l'autocorrélation semble être un bon outil. Je dois pouvoir en déduire la distance à partir de laquelle mes pentes peuvent être considérées comme étant indépendantes. C'est là que mes problèmes commencent...
Voila la définition que j'ai trouvée (dans le cas d'une série stationnaire) :
[tex]
R_k(X)=\frac{1}{n\sigma^2}\sum_{t=1}^{n-k}{(x_t-\mu)(x_{t+k}-\mu)}
[/tex]
Avec [tex]n[/tex], la taille de ma série [tex]X[/tex], d'espérance [tex]\mu[/tex] et de variance [tex]\sigma^2[/tex].
Voila, j'ai mes coefficients [tex]R_k[/tex], maintenant que dois-je faire pour calculer une éventuelle distance au delà de laquelle, selon un seuil de confiance fixé, mes valeurs sont indépendantes. J'imagine qu'il existe un test statistique pour cela, basé sur la loi de distribution suivie par [tex]R_k[/tex] mais je ne vois pas laquelle. Auriez-vous une idée ??? Après plusieurs jours passés dans la bibliothèque de mon institut, je ne sais plus trop où chercher...
Cordialement,
Thomas.
#15 Re : Café mathématique » Les statistiques...et les médias » 10-06-2011 09:17:24
Les gens qui se sont tapé les dernières variations climatiques ne sont plus là pour nous dire s'ils ont apprécié...
Je doute qu'ils aient apprécié. Quoique, ça c'est passé lentement. Au cours d'une vie d'homme (de l'époque), je ne sais pas si les changements climatiques étaient perceptibles.
Mais ce que je voulais dire était en réponse aux méditations de Freddy sur la montée des eaux risquant de modifier l'orbite de la Terre et par là même de compromettre l'habitabilité de la Terre.
Pour t’ôter un de tes doutes, la Lune s'éloigne
http://fr.wikipedia.org/wiki/Lune
Je dois avoir quelque part une publi sur les télémètres qui mesurent ce phénomène, mais vu le foutoir sur mon bureau...
#16 Re : Café mathématique » Les statistiques...et les médias » 08-06-2011 15:15:49
Je ne sais pas, mais la montée des eaux du fait de la fin de la dernière ère glaciaire (> 100 m je crois) ne semble pas avoir compromis l'habitabilité de la Terre...
N'étant pas astronome, je n'ai pas d'ordre de grandeur en tête, j'ai des doutes, mais intuitivement, je dirais que c'est négligeable par rapport à l'éloignement relatif de la Lune par rapport à la Terre de 4 cm par an. Petit à petit, ça déplace le centre des masses du système Terre-Lune ce qui a certainement un effet sur l'orbite de la Terre. Bon, ça se calcule (numériquement puisque les systèmes gravitationnels triples n'ont pas de solution analytique)... Mais pas maintenant...
#17 Re : Entraide (supérieur) » Isomorphisme » 30-05-2011 11:18:59
Salut,
Et bien commence par éditer ton message pour mettre en place des balises qui fonctionnent, puis raconte-nous ce que tu as déjà fait pour résoudre ce problème et notamment le point précis sur lequel tu bloques.
Cordialement.
#18 Re : Café mathématique » mathématiques et réalité » 19-04-2011 12:53:59
Mais, on lit parfois dans les livres que c'est Galilée qui a fondé les bases de la nouvelle science en mathématisant la physique.Pourquoi? Et en quoi consiste sa loi de la chute des corps?
Bonjour,
Si Galilée était plein de mérites, je suis dubitatif quant à l'idée de lui attribuer la mathématisation de la physique. Dans ce rôle, je verrais plutôt Descartes et surtout Newton (presque un siècle plus tard). Galilée correspondrait plutôt, selon moi, au premier physicien d'expériences (à opposer au théoricien).
Ça ne lui ôte certainement pas son rôle moteur dans la rationalisation de la science (l'idée des mouvements relatifs en fonction des référentiels digne de la plus profonde admiration), au début du XVIIe siècle. Au nom de Galilée, on peut ajouter Descartes, Pascal, Bacon et de nombreux autres, je suppose.
A+,
Thomas.
#19 Re : Cryptographie » Message codé » 18-04-2011 18:18:36
Cher Thomas,
tu me sidères ...
Cher Freddy,
J'ose espérer que c'est dans le bon sens :o)
A ta décharge, c'est une méprise très courante pour ceux qui ne manipulent pas l'équation du temps régulièrement et qui est renforcée par les nombreux journalistes qui, malheureusement, ne vérifient pas toujours la rigueur des termes qu'ils emploient. Pour la petite histoire, j'ai fait la même erreur au début de ma thèse ce qui m'a légitimement valu de me faire tirer les oreilles par mon directeur.
Quant à ton problème, chère Eva, je ne peux guère t'aider. Je n'ai strictement aucune connaissance en cryptographie. A ce propos - nous ne sommes plus à une digression près - ça attise de plus en plus ma curiosité...
J'en appelle aux as de la crypto, Eva m'a envoyé un courriel dans lequel je ressens de l'inquiétude et il y a de quoi, le deuxième message reçu n'a pas un ton rassurant. Mais d'ailleurs, Eva, si ce sms t'effraie tant, tu peux éventuellement contacter la Police. Pour te rassurer, je ne vois pas l'intérêt d'envoyer des menaces de mort cryptées... En général l'expéditeur souhaite qu'elles soient parfaitement explicites. Enfin je dis ça, je n'ai pas vraiment d'expérience en la matière...
Thomas.
#20 Re : Cryptographie » Message codé » 18-04-2011 15:56:28
28 heures 72 minutes, heures [tex]GMT - \gamma\times exp\left(\frac{\pi}{4}\right)[/tex]
Salut,
Pour info (Freddy, pardonne au géodésien que je suis), l'heure GMT est désuète aujourd'hui. La norme internationale est, depuis 1972, le temps universel (TU). Ça a le net avantage, essentiellement, de permettre de s'affranchir des irrégularités de la rotation de la Terre, puisque la référence n'est plus une heure sidérale locale.
Cela dit, ça ne change pas grand chose à notre affaire de texto crypté, si ce n'est un gain d'un ou deux ordres de grandeur dans l'heure du RDV ;o)
A+,
Thomas.
#21 Re : Entraide (collège-lycée) » sommes et nombres complexes » 23-02-2011 16:10:17
Bonjour,
A mon humble avis, cet exercice a quelque chose à voir avec les formules (très utiles) de trigonométrie du genre :
[tex]\cos\left(a+b\right)=\cos{}a\cos{}b-\sin{}a\sin{}b[/tex]
ou encore
[tex]\cos{}2a=1-2\sin{}^2a[/tex]
et les autres...
Je te conseille d'aller jeter un coup d'oeil dans cette direction
EDIT : En fait, le conseil de Dillon est bien meilleur que le mien... argl, j'aurais dû le voir...
Bon courage !
Thomas.
#22 Re : Entraide (supérieur) » Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ? » 14-12-2010 17:35:45
halte au feu ... 6 observations est plus qu'insuffisant pour faire ce que tu veux ... Souviens toi que dans un sondage, il faut interroger au moins 1.000 personnes, et les erreurs dues à l'incertitude sont encore grandes !
Salut,
J'ai manqué quelques jours (ma soutenance à préparer).
Je suis plus que d'accord avec Freddy ! 6 observations, c'est très nettement insuffisant.
Et puis sur quelle période de temps ?
Imagine, est-ce que tes niveaux d'eau sont représentatifs si tes données sont calculées sur les observations du mois d'août ? Si ça se passe en Haute-Savoie, à la fonte des glaces, c'est autre chose.
Dans ton cas de figure, le strict minimum serait, selon moi, de disposer de plusieurs années d'observation.
Sans cela, je doute que tes résultats soient significatifs du point de vue des statistiques.
Cordialement,
Thomas.
#23 Re : Entraide (supérieur) » Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ? » 12-12-2010 11:16:25
Salut Jimy,
Bon, mes données (cellules d'Excel) font ceci 1. 2. 3. 4. 5. 0. 1. 0. 1. 2. 3. 4. Etc...
le Zéro étant l'apparition de la crue ou si tu veux la hauteur je peux remplacer les données
par les hauteurs mesurées 1m. 1m. 1,1m. 1,2m. 1,3m. 1,9m (donc crue)
Ne sachant pas par quoi commencer j'ai utilisé la suite grandissante de valeur.
Mais tu auras sûrement une meilleure méthode que moi qui n'ai jamais fait ce travail.
Je connais très bien la fonction =Alea() d'Excel et suis au courent qu'il recalcule à chaque fois que l'on ouvre le fichier ou que l'on entre un calcul dans une cellule.
Mais restons plutôt sur les crues
Comment puis je faire ma prévision à partir de ces données ?
Bon, on commence à avancer, mais ce n'est pas encore parfaitement explicite. Est-ce que tu t'en rends compte ?
Tu disposes d'un nombre n de hauteurs mesurées. Tu as utilisé une suite grandissante de valeurs. J'imagine que ça signifie que tu les as triées dans l'ordre croissant, c'est ça ? Soit. Mais le problème principal ne réside pas là.
QU'EST-CE QUE TU VEUX FAIRE AVEC CES DONNEES ?
Qu'est-ce que tu dois calculer ? Faire une prévision, c'est vague comme réponse.
C'est un peu fatigant à la longue. On en est à 15 posts dans ton sujet et je ne sais toujours pas précisément ce que tu veux.
- Est-ce que tu souhaites simuler des valeurs plausibles des hauteurs ?
- Est-ce que tu cherches à calculer la hauteur h qui, selon une probabilité et une période données, risque d'être dépassée ?
A+,
Thomas.
#24 Re : Entraide (supérieur) » Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ? » 11-12-2010 17:49:28
Rebonjour,
Alors pour générer une variable qui suit une loi uniforme sur Excel, tu tapes dans ta cellule :
=alea() si tu utilises Excel en français,
=rand() si tu utilises Excel en anglais.
Mais attention, à chaque fois que tu modifieras ta feuille de calcul Excel, une nouvelle valeur aléatoire sera calculée... Ne me demande pas pourquoi, c'est comme ça !
Pour la loi Gumbel j'ai réussi à l'appliquer avec Excel cela n'a pas été trop difficile. Je pense que c'est cette loi que suit ma variable X en input.
Je ne te sens pas convaincu... Le choix de la distribution est fondamental si tu veux avoir des simulations pertinentes. Malheureusement je ne peux pas t'aider pour la bonne et simple raison que je ne sais pas sur quel problème tu travailles.
Pour la dernière question je ne sais pas comment calculer la fonction f .
C'est pareil, comment veux-tu que je t'aide ? Je ne sais pas ce qu'il y a d'écrit dans les cases de ton fichier Excel...
1. j'ai mon historique
2. j'ai calculé mon écartype et moyenne etc...
3. j'ai un graphique avec mes amplitudes qui montent et qui descendent
Historique de quoi ? écart-type et moyenne de quoi ? Quelles amplitudes ? Elles montent et elles descendent, je suis heureux de l'apprendre. Elles montent et descendent quoi ? Les escaliers ?
Loin de moi l'idée d'être pédant. Je veux juste te montrer que pour l'instant on ne peut pas t'aider dans la mesure où tu ne nous as pas expliqué ton problème.
Vu que la distribution de Gumbel est souvent appropriée pour modéliser les crues, ou plus généralement pour calculer les probabilités des valeurs extrémales des évènements normalement distribués, voila ce que je suppose.
Tu disposes de dates et de niveaux d'eau correspondants, représentés graphiquement. Tu cherches à calculer la probabilité que le niveau d'eau dépasse, en 100 ans, une certaine hauteur.
Est-ce que ton problème ressemble à ça ?
Thomas.
#25 Re : Entraide (supérieur) » Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ? » 11-12-2010 13:26:59
Bonjour,
Je pense, Jimy, qu'il faut que tu poses ton problème, que tu le formalises. Tes dernières explications ne me permettent toujours pas de t'aider à faire tes simulations. Je suppose qu'il en est de même pour Freddy.
Pour faire des simulations, il me semble que tu dois définir :
- les variables x en entrée. Quelle distribution suivent-elles ? Relie ce que tu as écrit. Au début, elles semblent suivre la loi normale, ensuite une loi uniforme (#7) puis une loi de Gumber (#9).
- Tu veux simuler les variables en sortie y telles que y=f(x). Quelle est cette fonction f ? Tu parles d'amplitudes en sortie, je suppose que ce sont elles que tu veux simuler. Comment sont-elles définies par rapport à l'hypothétique variable aléatoire x dont on ne sait rien.
Alors supposons que tes données en entrée suivent la loi de Gumbel de paramètres connus [tex]\mu[/tex] et [tex]\beta[/tex] (voir la définition donnée par wikipedia).
La fonction de répartition est donnée par :
[tex]u=F_{\mu,\beta}(x)=\exp(-\exp\frac{\mu-x}{\beta})[/tex]
Pour générer une telle variable x (Freddy, tu vas pouvoir me dire si j'ai bien compris tes explications pour lesquelles je te remercie), tu dois générer une variable aléatoire u qui suit une loi uniforme sur [0,1].
Soit G la fonction réciproque de [tex]F_{\mu,\beta}[/tex]. Elle peut être aisément calculée. Pour obtenir x, tu fais :
[tex]x=G(u)=\mu-\beta\cdot\ln(-\ln{}y)[/tex]
A ce niveau, tu disposes d'une valeur simulée de ta variable en input. Pour avoir une valeur simulée de ton amplitude y en output, il ne te reste qu'à appliquer la fonction f
[tex]y=f(x)[/tex]
Bref, pour récapituler, tu dois nous expliquer deux choses si tu veux de l'aide :
- Quelle loi de distribution suit la variable x en input ?
- Quelle est la fonction f qui permet d'obtenir ton amplitude y en output en fonction de x ?
Cordialement,
Thomas.