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Albert_

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Isomorphisme

Bonsoir,

Quel est le corps [tex]$ A $[/tex] qui correspond à l'isomorphisme : [tex]\mathbb{C} [X,Y] / ( X^2 + Y^2 + 1 ) \simeq A[/tex] ...

Merci d'avance.

Dernière modification par Albert_ (30-05-2011 22:20:51)

marin marais

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Re : Isomorphisme

Salut,

Et bien commence par éditer ton message pour mettre en place des balises qui fonctionnent, puis raconte-nous ce que tu as déjà fait pour résoudre ce problème et notamment le point précis sur lequel tu bloques.

Cordialement.

Albert_

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Re : Isomorphisme

Salut,

Il y'a un problème d'affichage qui m’empêche que j'écrive la deuxième balise en Latex.
Voiçi ce que j'ai fait :
[tex]X^2 + Y^2 + 1[/tex] est irréductible dans [tex]$ \mathbb{C} $[/tex].
donc, [tex](X^2 + Y^2 + 1)[/tex] est maximal, donc [tex]\mathbb{C} [X,Y] / ( X^2 + Y^2 + 1 )[/tex] est un corps. Je ne sais pas comment construire un sur- corps ou une extension de corps de à [tex]$ \mathbb{C} $[/tex] : [tex]A[/tex] qui est isomorphe [tex]\mathbb{C} [X,Y] / ( X^2 + Y^2 + 1 )[/tex] ... JE ne sais pas quel morphisme d'évaluation choisir pour trouver l'isomorphisme ...

Merci pour votre aide.

Dernière modification par Albert_ (30-05-2011 22:22:07)

Albert_

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Re : Isomorphisme

Le morphisme d'évaluation peut - il être de cette forme ? :
[tex]\sigma : \mathbb{C} [X,Y] / ( X^2 + Y^2 + 1 ) \to \mathbb{C} \times \mathbb{C}[/tex] ?
Merci d'avance.

Dernière modification par Albert_ (30-05-2011 22:17:43)

Albert_

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Re : Isomorphisme

mais, [tex]\mathbb{C} [X,Y][/tex] n'est pas pricipal pour pouvoir dire que [tex]\mathbb{C} [X,Y] / ( X^2 + Y^2 + 1 )[/tex] est un corps ...

Dernière modification par Albert_ (30-05-2011 22:18:54)

Albert_

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Re : Isomorphisme

Quel est la structure [tex]A[/tex] qui contient [tex]\mathbb{C}[/tex] tel que [tex]A[/tex] soit isomorphe à [tex]\mathbb{C} [X,Y ] / ( X^2 + Y^2 + 1 )[/tex] ... ? J'imagine que c'est une [tex]\mathbb{C}[/tex] - algèbre ... mais, comment la construire ... ?
Merci d'avance.

Dernière modification par Albert_ (30-05-2011 22:21:46)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Isomorphisme

Salut,

Quel problème d'affichage ?
Tes $ tendent à prouver que tu voudrais afficher du LateX comme dans un traitement de textes spécialisé et pas comme dans un forum. Dans un forum, ça ne marche pas, va voir Code LateX

Avec les bonnes balises :

Le morphisme d'évaluation peut - il être de cette forme ? :
[tex]\sigma : \mathbb{C} [X,Y] / ( X^2 + Y^2 + 1 ) \to \mathbb{C} \times \mathbb{C}[/tex] ?
Merci d'avance.

ou encore :

Quelle est la structure [tex]A[/tex] qui contient [tex]\mathbb{C}[/tex] tel que [tex]A[/tex] soit isomorphe à  [tex]C [X,Y ] / ( X^2 + Y^2 + 1 )[/tex] ... ? J'imagine que c'est une [tex]\mathbb{C}[/tex] - algèbre ... mais, comment la construire ... ?
Merci d'avance.

correspondant aux codes suivants :

Le morphisme d'évaluation peut - il être de cette forme ? :
[tex] \sigma : \mathbb{C} [X,Y] / ( X^2 + Y^2 + 1 ) \to \mathbb{C} \times \mathbb{C} [/tex] ?
Merci d'avance.

et

Quelle est la structure [tex]A[/tex] qui contient [tex]\mathbb{C}[/tex] tel que [tex] A[/tex] soit isomorphe à  [tex] C [X,Y ] / ( X^2 + Y^2 + 1 )[/tex] ... ? J'imagine que c'est une [tex]\mathbb{C}[/tex] - algèbre ... mais, comment la construire ... ?
Merci d'avance

@+

Albert_

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Re : Isomorphisme

Merci pour ces indications. :)

Groupoid Kid

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Re : Isomorphisme

Salutations Albert !

Tout d'abord, j'ajouterai au message de Yoshi que tu as la possibilité d'éditer les posts que tu fais : il est par conséquent assez mal vu de répondre plusieurs fois de suite à un même sujet.

Ensuite, j'ai bien peur de te décevoir, mais ton anneau A n'a rien d'un corps. En effet, ton idéal [tex]I=(X^2+Y^2+1)[/tex] n'a rien de maximal. Je te mets au défi de trouver l'inverse de X (par exemple) dans A. Il n'y en a pas : tout simplement parce que l'idéal [tex](X,\,X^2+Y^2+1)[/tex] est strictement plus grand que I.
Le fait que ton polynôme soit irréductible entraîne que I est maximal parmi les idéaux principaux. Or [tex]\mathbb{C}[X,Y][/tex] n'est pas principal, et contient donc pléthore d'idéaux non principaux : parmi eux, certains sont plus grands que I.

Ensuite j'aimerais savoir ce que tu veux vraiment savoir sur ton anneau.
"Quel est l'anneau qui correspond à cet isomorphisme ?" Eh bien c'est A bien sûr !
"Je ne sais pas comment construire un sur- corps ou une extension de corps de [tex]\mathbb{C}[/tex]" Tu n'as jamais entendu parler du corps des fractions rationnelles, [tex]\mathbb{C}(X)[/tex] ?
"Le morphisme d'évaluation peut - il être de cette forme ?" Par propriété universelle des anneaux de polynômes et des anneaux quotients, si tu choisis des images x et y pour X et Y qui satisfont [tex]x^2+y^2+1=0[/tex], alors tu auras ton morphisme d'évaluation, quelle que soit la [tex]\mathbb{C}[/tex]-algèbre que tu choisis à l'arrivée. [tex]\mathbb{C}^2[/tex] ne déroge pas à cette règle.

Quel est la structure [tex]A[/tex] qui contient [tex]\mathbb{C}[/tex] tel que [tex]A[/tex] soit isomorphe à [tex]\mathbb{C}[X,Y ] / ( X^2 + Y^2 + 1 )[/tex] ... ? J'imagine que c'est une [tex]\mathbb{C}[/tex] - algèbre ... mais, comment la construire ... ?

C'est très simple : tu prends l'anneau de polynômes [tex]\mathbb{C}[X,Y][/tex], et tu le quotientes par ton idéal.[tex]A=\mathbb{C}[X,Y ] / ( X^2 + Y^2 + 1 )[/tex] convient à ton problème. C'est comme pour l'anneau [tex]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/tex], sauf que l'anneau de base n'est pas [tex]\mathbb{Z}[/tex], et l'idéal n'est pas [tex](n)[/tex]... sinon tout marche pareil ;-)

Essaie de préciser ta question si cette réponse ne te sied point.

Cordialement,
GK

EDIT : mes excuses, j'avais manqué un de tes posts.

Dernière modification par Groupoid Kid (30-05-2011 18:07:15)

Albert_

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Re : Isomorphisme

Salut groupoïde : :)

Merci de m'avoir fourni toutes ses précisions précieuses ... :)

A vrai dire, j'aimerai savoir comment se construit "explicitement" l'objet [tex]A[/tex] tel que [tex]\mathbb{C} / (X^2 + Y^2 + 1 ) \simeq A[/tex], à l'instar de l'objet : [tex]\mathbb{C}[/tex] qui se construit comme etant un [tex]\mathbb{R}[/tex] - espace vectoriel de base [tex]\{ 1 , i \}[/tex] , tel que [tex]\mathbb{R}[X]/ ( X^2 + 1 ) \simeq \mathbb{C}[/tex] ...

Merci pour ton aide.

Dernière modification par Albert_ (30-05-2011 19:05:33)

Groupoid Kid

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Re : Isomorphisme

Oki, je vois ^^

Il te suffit d'utiliser la présentation canonique de ton quotient [tex]\pi:\mathbb{C}[X,Y]\twoheadrightarrow A[/tex], comme pour [tex]\mathbb{C}[/tex] : tu utilises que [tex]X^2+1[/tex] est de degré 2, donc [tex]\mathbb{C}[/tex] est un [tex]\mathbb{R}[/tex]-espace de dim 2, et sa structure d'anneau est engendrée à l'aide de la relation [tex]i^2=-1[/tex].

Ici c'est à peine plus dur. Commençons par remarquer que [tex]\mathbb{C}[X][/tex] s'injecte dans A : en effet, si on restreint [tex]\pi[/tex] à [tex]\mathbb{C}[X][/tex], on voit que le noyau [tex]\mathbb{C}[X]\cap I[/tex] est nul, donc on a bien une injection. Ensuite, il nous faut rajouter le deuxième générateur Y de A (générateur au sens des anneaux). Et là on voit que la seule puissance [tex]Y^1[/tex] suffit à générer tout le monde dans A (au sens des [tex]\mathbb{C}[X][/tex]-modules), puisqu'à partir de la puissance 2, [tex]Y^2=-1-X^2\in\mathbb{C}[X][/tex].

Donc en tant qu'espace vectoriel (ou même [tex]\mathbb{C}[X][/tex]-module) : [tex]A = \mathbb{C}[X]\oplus Y\mathbb{C}[X][/tex], et la structure d'anneau est générée par [tex]Y^2=-1-X^2[/tex] (alliée au produit standard, comme les a+ib dans [tex]\mathbb{C}[/tex]).

Du moins si j'ai pas dit de bêtises, ça fait un moment que j'ai pas quotienté d'anneau ^^

Albert_

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Re : Isomorphisme

Merci encore une fois pour ces précisions Groupoïde :-)
Il y'a un truc qui m'est un peu pas clair ...
Le théorème de Hilbert affirme que les idéaux maximaux de [tex]\mathbb{C} [X_1 , ... , X_n ][/tex] sont de la forme [tex]I = (X_1 - a_1 , ... , X_n - a_n )[/tex] avec [tex]P[/tex] un polynôme tel que : [tex]P ( a_1 , ... , a_n ) = 0[/tex]  ( [tex]P[/tex]  : un polynôme que je ne comprends pas son lien ici ) ... Donc, les [tex]I[/tex] sont premiers ... et donc, tous les polynômes [tex]P[/tex] de [tex]\mathbb{C} [X_1 , ... , X_n ][/tex] ( anneau factoriel ) se décomposent de la forme : [tex]P ( X_1 , ... , X_n ) =  \Big( \lambda_1 (X_1 - a_1) + ... + \lambda_{n} ( X_n - a_n ) \Big) ...  \Big( \mu_1 (X_1 - a_1) + ... + \mu_{n} ( X_n - a_n ) \Big)[/tex] ( c'est à dire : décomposition en fonction des générateurs de ses idéaux premiers ) ...
Or on vient de voir que [tex]P(X,Y) = X^2 + Y^2 + 1[/tex] n'est pas factorisable ... Où est le hic ... ?

Merci pour vos éclaircissements.

Dernière modification par Albert_ (31-05-2011 17:45:37)

Albert_

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Re : Isomorphisme

Un peu d'aide svp.

Groupoid Kid

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Re : Isomorphisme

Je crois que tu devrais prendre un peu de recul et retravailler ces notions avant de poster, visiblement tu n'as pas les idées claires. De plus je t'ai déjà signalé qu'être insistant ici ne te ferait que mal voir : si quelqu'un passe ici et a la réponse à tes questions, il la postera certainement.

Le théorème de Hilbert affirme que les idéaux maximaux de [tex]\mathbb{C} [X_1 , ... , X_n ][/tex] sont de la forme [tex]I = (X_1 - a_1 , ... , X_n - a_n )[/tex]

Point final. Il n'y a pas d'histoire de polynôme P, et la phrase que tu as faite n'a pas de sens pour moi. "Blabla sans aucune mention de P" avec P tel que ceci cela, ça ne veut rien dire.
Je crois que ce à quoi tu fais référence, c'est que cet idéal I est le noyau de l'évaluation au point a, [tex]ev_a:P(X_1,\ldots,X_n)\mapsto P(a_1,\ldots,a_n)[/tex].

Donc, les [tex]I[/tex] sont premiers ... et donc, tous les polynômes [tex]P[/tex] de [tex]\mathbb{C} [X_1 , ... , X_n ][/tex] ( anneau factoriel ) se décomposent de la forme : [tex]P ( X_1 , ... , X_n ) =  \Big( \lambda_1 (X_1 - a_1) + ... + \lambda_{n} ( X_n - a_n ) \Big) ...  \Big( \mu_1 (X_1 - a_1) + ... + \mu_{n} ( X_n - a_n ) \Big)[/tex] ( c'est à dire : décomposition en fonction des générateurs de ses idéaux premiers )

Waw. Alors là, c'est de la science-fiction ton truc : d'où sors-tu cette définition d'anneau factoriel ? De plus, tout les idéaux premiers ne sont pas nécessairement maximaux, la connaissance des idéaux maximaux ne t'apporte donc pas grand chose pour la factorisation primaire. Un petit tour sur le dictionnaire du site te fera le plus grand bien. Avant de vouloir courir, il faut apprendre à marcher.

Or on vient de voir que [tex]P(X,Y) = X^2 + Y^2 + 1[/tex] n'est pas factorisable ... Où est le hic ... ?

Il n'y a aucun hic : puisque c'est un polynome irréductible=premier (anneau factoriel), il est sa propre décomposition en facteurs premiers.

Un petit conseil : réfléchis d'abord dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] (ou dans [tex]\mathbb{R}[X][/tex]) pour voir si ce que tu dis a un sens, ça évite de sortir beaucoup d'énormités.

Albert_

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Re : Isomorphisme

Merci pour ces précisions :-)

Est ce que tout [tex]P \in \mathbb{C}[X][Y][/tex] est réductible dans [tex]A = \mathbb{C}[X]\oplus Y \mathbb{C}[X][/tex] avec [tex]Y^2 + X^2 + 1 = 0[/tex] ? et pourquoi ?

Merci d'avance.

Dernière modification par Albert_ (01-06-2011 12:24:33)

Groupoid Kid

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Re : Isomorphisme

La réponse à ta question est non de façon triviale. Mais comme tu t'évertues à poser des questions en attendant la réponse au lieu d'essayer de réfléchir, je te laisse en chercher tout seul la raison.

Sans rancune,
GK

Albert_

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Re : Isomorphisme

Je réfléchis , je cherche mais je trouve rien ...  C'est pourquoi, je demande de l'aide ...

Dernière modification par Albert_ (01-06-2011 12:57:00)

Groupoid Kid

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Re : Isomorphisme

Eh bien commence par nous dire ce que tu as trouvé et comment, et où tu coinces exactement. Quelles questions t'es-tu posé, qu'as-tu trouvé comme réponse, etc.

Si vraiment tu ne trouves rien en essayant, alors soit tu n'as pas les connaissances pour faire cet exercice (ça arrive), soit il faut modifier ta méthode de travail. Je vais supposer que c'est la seconde hypothèse et attendre de tes nouvelles.

Albert_

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Re : Isomorphisme

Non, je cherche juste la réponse ... Je n'ai pas envi de passer un test thérapeutique ...
Il faut commencer par chercher un contre - exemple qui illustre le fait qu'un [tex]P \in \mathbb{C}[X][Y][/tex] n'est pas réductible dans [tex]\mathbb{C}[X]\oplus Y \mathbb{C}[X][/tex] ... ensuite, essayer de voir pourquoi, ce n'est pas réductible ... à l'aide bien sûr du cours qui est devant moi ... comme ça, à fur et à mesure je comble mes lacunes  ... voici comment je travaille ... et je ne suis pas prêt pour changer cette façon de travailler ...
sans rancune ...

Dernière modification par Albert_ (01-06-2011 16:43:06)

freddy

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Re : Isomorphisme

Salut Albert,

je trouve ta démarche parfaite : tu ne comprends pas, tu ne sais pas pourquoi tu ne comprends pas, mais tu ne cherches pas à savoir pourquoi tu ne comprends pas.

Heureusement que nombre de nos chercheurs ont cette capacité de remise en cause, sinon nous en serions restés à l'âge de ... la pierre mal taillée.

Avec le camarade KG, tu te prives d'un pédagogue de qualité. Tant pis pour toi si tu ne le comprends pas, nous ne sommes pas là pour remplir les trous de ton QCM.

Bien le bonjour chez toi.

Groupoid Kid

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Re : Isomorphisme

Je ne cherche pas à te psychanaliser, juste à t'amener à te poser les bonnes questions ^^ Les réponses ça tombe pas du ciel, il faut aller les chercher ;-)

Tu essaie de construire un contre-exemple, c'est très courageux : construire un objet est toujours ce qu'il y a de plus dur en mathématiques. Et le cours ne t'y aidera probablement pas, il ne contient que des propriétés générales. Par contre, il pourra t'aider si tu procèdes par l'absurde, les propriétés générales serviront de guides pour avancer.

Je vais te dire comment j'ai procédé ici, j'étais un peu dans le même cas que toi : je n'ai pas fait de théorie des anneaux depuis bien des années, donc je ne connaissais pas non plus mon cours ;-)

Q: Ça veut dire quoi déjà réductible ?
R: (wikipedia) Ça veut dire : qui n'est pas nul, pas une unité de l'anneau, et qui admet une décomposition en produit de deux éléments non unités.

Q: Ça voudrait dire quoi que tout le monde est réductible ?
R1: Ou bien que tout le monde est une unité... autrement dit un corps. Mais pour A c'est pas possible, on l'a déjà vu.
R2: Ou alors c'est que si je prends n'importe quel élément P non-unité, il se décompose en [tex]P=P_1\cdot P_2[/tex]. Oui mais alors [tex]P_1[/tex] et [tex]P_2[/tex] aussi sont non-unités, donc [tex]P[/tex] peut se redécomposer à volonté [tex]P=P_1\cdot P_2\cdot P_3\ldots[/tex] !!

Q: C'est possible ça ??
R: Bin dans les anneaux de d'habitude, ils sont factoriels, donc la décomposition finit toujours par s'arrêter.

Q: Et A il est factoriel ?
R: ... aucune idée. C'est un quotient d'un anneau factoriel, mais la factorialité ça passe pas au quotient !

Q: Flûte. Comment on fait alors quand c'est pas factoriel ?
R: ... polynômes ... Hilbert ... pas factoriel ... Eurêka !

Il faut une autre propriété que factoriel, une qui passe au quotient et que mon anneau de polynômes aura. Quel théorème fondamental sur les anneaux de polynômes Hilbert a-t-il démontré ?

EDIT : +1 Freddy ... mais il est rare que les étudiants qui ne comprennent déjà pas leur cours aient assez de jugeotte pour se remettre en question, hélas >_<

Dernière modification par Groupoid Kid (01-06-2011 17:38:27)