Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Jimy

Invité

Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Bonjour le Forum
je voudrais réaliser à l'aide d'Excel un tableau de simulation prévisionnel
Mais voila, je sais bien me servir de la loi normale mais pour réaliser une simulation je ne
sais pas par où commencer.
1. Je pars d'un historique avec des données
2. je mets en évidence les amplitudes des événements
et après, que dois - je faire ?
quelqu'un aurait un exemple ou un fichier Excel ?
Que je puisse progresser
Merci d'avance
Jimy

freddy

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Salut,

sur Excel, tu as loi.normale.inverse. Il suffit que tu renseignes l'espérance et la variance pour simuler tes événements.

A partir de ton historique, tu peux calcule la moyenne et l'écart type ("corrigé"). Ce sont deux estimateurs sans biais de l'espérance et la variance inconnues de ta loi.

Ensuite, tu n'as plus qu'à ... si je puis dire.

Jimy

Invité

Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Bonjour Freddy
Et merci de ta réponse :)
Oui Variance écatype etc..  Je sais faire tous cela.
Ce que je voudrais comme réponse, c'est un genre d'organigramme pour
savoir comment procéder à une simulation.
Un Grand Merci de ton aide
Cordialement
Jimy

marin marais

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Bonjour Jimy,

Je suppose que ton problème entre dans le cadre des simulations du type Monte-Carlo (ou méthode de propagation des distributions), selon la définition du "Bureau International des Poids et Mesures" dans le rapport librement téléchargeable ici.

En gros, tu as une variable aléatoire (VA) x en input. Tu cherches à étudier la variable y en output selon une fonction f telle [tex]y=f(x)[/tex]

Pour pouvoir faire cela, il faut que tu connaisses la distribution de ta variable x. Si x suit la loi normale d'espérance mathématique [tex]\mu[/tex] et de variance [tex]\sigma^2[/tex], alors il faut que tu génères n réalisations [tex]x_i[/tex] de la VA x selon cette loi normale.

Pour chacune de ces réalisations, tu calcules [tex]y_i=f(x_i)[/tex]
Cela fait, tu disposes de n réalisations ou simulations de la variable y en output.
Tu peux alors l'étudier à ta guise, mais attention !!!

Si ta fonction f n'est pas linéaire, alors que x suive une loi normale n'implique pas forcément que y suive aussi une loi normale. Et si y ne suit pas la loi normale, un calcul d'espérance mathématique, de variance ou d'écart-type peut se compliquer horriblement...

Bon courage,
Thomas.

Dernière modification par marin marais (10-12-2010 14:13:20)

freddy

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Re,

on dispose d'un théorème puissant en statistique mathématique qui énonce que la composition d'une va uniforme par l'inverse de la Fonction de répartition d'une loi connue (par exemple la loi normale) permet de générer un va normalement distribuée.

Formellement, on a [tex]y = \Phi^{-1}(u)[/tex] avec u qui suit une loi uniforme sur le segment [0, 1].

Je ne vois pas ce que je pourrais dire d'autre.

Bonne journée.

marin marais

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

on dispose d'un théorème puissant en statistique mathématique qui énonce que la composition d'une va uniforme par l'inverse de la Fonction de répartition d'une loi connue (par exemple la loi normale) permet de générer un va normalement distribuée.

Formellement, on a [tex]y = \Phi^{-1}(u)[/tex] avec u qui suit une loi uniforme sur le segment [0,1].

Bonjour freddy,

C'est que ça m'a l'air intéressant... Tu pourrais me donner le p'tit nom de ce théorème ? Histoire de m'aider à combler mes lacunes en statistiques mathématiques, mon futur employeur t'en saura gré ;o)

Thomas.

Jimy

Invité

Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Bonjour à tous
Et merci de vos réponses qui me font progresser :)
Alors f est plutôt sinusoïdal (ou ploynomial si tu veux) en tout cas Pas linéaire
L'historique des évènements est cyclique avec des évènement qui reviennent selon une fréquence variable.
Et ce que j'aimerais c'est prévoir le retour d'un évènement.
donc selon mon historique j'ai réalisé un tableau avec les ordonnées qui font 1. 2 . 3. 4.  en nombre de mois
et quand l'évènement survient l'ordonnée retombe à zéro.
Oui on peut considérer que les données suivent une loi uniforme.
Que pensez vous de ma méthode de fonctionnement ? Je m'y prends comme il faut ?
Oui, merci pour ton info Freddy, en fait il existe une fonction dans Excel qui donne la valeur de la V.a
selon l'écartype et la moyenne. Très utile. Je sais m'en servir sans souci.
mais selon ce que j'écris ci dessus la méthode employée est la bonne ?
Cordialement
Jimy

freddy

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

on dispose d'un théorème puissant en statistique mathématique qui énonce que la composition d'une va uniforme par l'inverse de la Fonction de répartition d'une loi connue (par exemple la loi normale) permet de générer un va normalement distribuée.

Formellement, on a [tex]y = \Phi^{-1}(u)[/tex] avec u qui suit une loi uniforme sur le segment [0,1].

Bonjour freddy,

C'est que ça m'a l'air intéressant... Tu pourrais me donner le p'tit nom de ce théorème ? Histoire de m'aider à combler mes lacunes en statistiques mathématiques, mon futur employeur t'en saura gré ;o)

Thomas.

Salut,

va voir là : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9tho … 9e_inverse et dis à ton futur patron que je ne prends que 10 % ...

C'est un résultat qu'on démontre en fait, exo classique. Il faut que je retrouve comment le sujet s'énonce.

Dernière modification par freddy (10-12-2010 18:10:11)

Jimy

Invité

Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Re Bonjour Freddy
Intéressant ton lien !
Quand ils disent -Log(U) / Lambda
C'est la fonction inverse de la loi Exponentielle ?
je m'y suis intéressé mais pour mon problème elle ne convient pas
Ce serait plutôt la Loi Gumbel qui conviendrait le mieux
Mais j'ai toujours le même problème comment s'en servir ?

freddy

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Hello Jimy,

je dois avouer que je n'ai toujours pas compris la nature de ton problème.

Pourrais tu stp être plus explicite.

D'avance, merci.

Jimy

Invité

Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Bonjour Freddy
Ben en fait le problème est que j'aimerais bien savoir comment procéder
pour faire une simulation.
Un organigramme pour savoir par où commencer.
C'est vrai que la conversation c'est un peu égarée de la question du début.
Donc, je reprends:
1. j'ai mon historique
2. j'ai calculé mon écartype et moyenne etc...
3. j'ai un graphique avec mes amplitudes qui montent et qui descendent
Ensuite que dois je faire ?
Merci de m'aider pour la suite
Cordialement
Jimy

marin marais

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Bonjour,

Je pense, Jimy, qu'il faut que tu poses ton problème, que tu le formalises. Tes dernières explications ne me permettent toujours pas de t'aider à faire tes simulations. Je suppose qu'il en est de même pour Freddy.

Pour faire des simulations, il me semble que tu dois définir :
- les variables x en entrée. Quelle distribution suivent-elles ? Relie ce que tu as écrit. Au début, elles semblent suivre la loi normale, ensuite une loi uniforme (#7) puis une loi de Gumber (#9).
- Tu veux simuler les variables en sortie y telles que y=f(x). Quelle est cette fonction f ? Tu parles d'amplitudes en sortie, je suppose que ce sont elles que tu veux simuler. Comment sont-elles définies par rapport à l'hypothétique variable aléatoire x dont on ne sait rien.

Alors supposons que tes données en entrée suivent la loi de Gumbel de paramètres connus [tex]\mu[/tex] et [tex]\beta[/tex] (voir la définition donnée par wikipedia).
La fonction de répartition est donnée par :
[tex]u=F_{\mu,\beta}(x)=\exp(-\exp\frac{\mu-x}{\beta})[/tex]
Pour générer une telle variable x  (Freddy, tu vas pouvoir me dire si j'ai bien compris tes explications pour lesquelles je te remercie), tu dois générer une variable aléatoire u qui suit une loi uniforme sur [0,1].

Soit G la fonction réciproque de [tex]F_{\mu,\beta}[/tex]. Elle peut être aisément calculée. Pour obtenir x, tu fais :
[tex]x=G(u)=\mu-\beta\cdot\ln(-\ln{}y)[/tex]

A ce niveau, tu disposes d'une valeur simulée de ta variable en input. Pour avoir une valeur simulée de ton amplitude y en output, il ne te reste qu'à appliquer la fonction f
[tex]y=f(x)[/tex]

Bref, pour récapituler, tu dois nous expliquer deux choses si tu veux de l'aide :
- Quelle loi de distribution suit la variable x en input ?
- Quelle est la fonction f qui permet d'obtenir ton amplitude y en output en fonction de x ?

Cordialement,
Thomas.

Jimy

Invité

Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Bonjour Marin
Oui Ce que tu supposes est exact, je veux simuler  les variables en sortie y telles que y=f(x).
D'abord comment générer une variable aléatoire u qui suit une loi uniforme sur [0,1] ?
Je relis oui mais cela ne me fais pas plus comprendre le fonctionnement.
Pour la loi Gumbel j'ai réussi à l'appliquer avec Excel cela n'a pas été trop difficile.
Je pense que c'est cette loi que suit ma variable X en input.
Pour la dernière question je ne sais pas comment calculer la fonction f [tex]y = f (x)[/tex].
Si tu peux m'aider ?

marin marais

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Rebonjour,

Alors pour générer une variable qui suit une loi uniforme sur Excel, tu tapes dans ta cellule :
=alea()   si tu utilises Excel en français,
=rand()   si tu utilises Excel en anglais.
Mais attention, à chaque fois que tu modifieras ta feuille de calcul Excel, une nouvelle valeur aléatoire sera calculée... Ne me demande pas pourquoi, c'est comme ça !

Pour la loi Gumbel j'ai réussi à l'appliquer avec Excel cela n'a pas été trop difficile. Je pense que c'est cette loi que suit ma variable X en input.

Je ne te sens pas convaincu... Le choix de la distribution est fondamental si tu veux avoir des simulations pertinentes. Malheureusement je ne peux pas t'aider pour la bonne et simple raison que je ne sais pas sur quel problème tu travailles.

Pour la dernière question je ne sais pas comment calculer la fonction f .

C'est pareil, comment veux-tu que je t'aide ? Je ne sais pas ce qu'il y a d'écrit dans les cases de ton fichier Excel...

1. j'ai mon historique
2. j'ai calculé mon écartype et moyenne etc...
3. j'ai un graphique avec mes amplitudes qui montent et qui descendent

Historique de quoi ? écart-type et moyenne de quoi ? Quelles amplitudes ? Elles montent et elles descendent, je suis heureux de l'apprendre. Elles montent et descendent quoi ? Les escaliers ?

Loin de moi l'idée d'être pédant. Je veux juste te montrer que pour l'instant on ne peut pas t'aider dans la mesure où tu ne nous as pas expliqué ton problème.

Vu que la distribution de Gumbel est souvent appropriée pour modéliser les crues, ou plus généralement pour calculer les probabilités des valeurs extrémales des évènements normalement distribués, voila ce que je suppose.

Tu disposes de dates et de niveaux d'eau correspondants, représentés graphiquement. Tu cherches à calculer la probabilité que le niveau d'eau dépasse, en 100 ans, une certaine hauteur.

Est-ce que ton problème ressemble à ça ?

Thomas.

freddy

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Salut,

tu dois avoir la fonction alea() sur Excel. Mais ce générateur n'est pas robuste.

Il vaut mieux que tu programme le twister de Mersenne. Va voir là, c'est assez complet : http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9n%C … %A9atoires

Bon courage.

Perso, et à condition d'avoir compris ton problème (ce qui n'est toujours pas le cas, désolé ...), si je voulais modéliser une sinusoïde aléatoire, j'écrirais une fonction type [tex]y=\alpha \sin x+ \beta + \tilde \epsilon[/tex], avec epsilon aléatoire (normal centré réduit ou uniforme) et les paramètres alpha et bêta gérant l'amplitude et la phase.

Mais je reconnais que la nature de ton problème continue à m'échapper.

Bb

Jimy

Invité

Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Bonsoir
Oui, cela se déroule exactement comme une crue !
Bon, mes données (cellules d'Excel) font ceci 1. 2. 3. 4. 5. 0. 1. 0. 1. 2. 3. 4. Etc...
le Zéro étant l'apparition de la crue ou si tu veux la hauteur je peux remplacer les données
par les hauteurs mesurées 1m. 1m. 1,1m. 1,2m. 1,3m. 1,9m (donc crue)
Ne sachant pas par quoi commencer j'ai utilisé la suite grandissante de valeur.
Mais tu auras sûrement une meilleure méthode que moi qui n'ai jamais fait ce travail.
Je connais très bien la fonction =Alea() d'Excel et suis au courent qu'il recalcule à chaque fois que l'on ouvre le fichier ou que l'on entre un calcul dans une cellule.
Mais restons plutôt sur les crues
Comment puis je faire ma prévision à partir de ces données ?
Merci de ton aide en tout cas je progresse :)
Ps: Mdr (elle montent les escaliers :)

marin marais

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Salut Jimy,

Bon, mes données (cellules d'Excel) font ceci 1. 2. 3. 4. 5. 0. 1. 0. 1. 2. 3. 4. Etc...
le Zéro étant l'apparition de la crue ou si tu veux la hauteur je peux remplacer les données
par les hauteurs mesurées 1m. 1m. 1,1m. 1,2m. 1,3m. 1,9m (donc crue)
Ne sachant pas par quoi commencer j'ai utilisé la suite grandissante de valeur.
Mais tu auras sûrement une meilleure méthode que moi qui n'ai jamais fait ce travail.
Je connais très bien la fonction =Alea() d'Excel et suis au courent qu'il recalcule à chaque fois que l'on ouvre le fichier ou que l'on entre un calcul dans une cellule.
Mais restons plutôt sur les crues
Comment puis je faire ma prévision à partir de ces données ?

Bon, on commence à avancer, mais ce n'est pas encore parfaitement explicite. Est-ce que tu t'en rends compte ?

Tu disposes d'un nombre n de hauteurs mesurées. Tu as utilisé une suite grandissante de valeurs. J'imagine que ça signifie que tu les as triées dans l'ordre croissant, c'est ça ? Soit. Mais le problème principal ne réside pas là.

QU'EST-CE QUE TU VEUX FAIRE AVEC CES DONNEES ?

Qu'est-ce que tu dois calculer ? Faire une prévision, c'est vague comme réponse.
C'est un peu fatigant à la longue. On en est à 15 posts dans ton sujet et je ne sais toujours pas précisément ce que tu veux.

- Est-ce que tu souhaites simuler des valeurs plausibles des hauteurs ?
- Est-ce que tu cherches à calculer la hauteur h qui, selon une probabilité et une période données, risque d'être dépassée ?

A+,
Thomas.

freddy

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Salut Thomas,

ne te fatigue pas trop, je pense que notre ami a une idée de ce qu'il veut faire, mais a du mal à l'exprimer. D'expérience, (prends connaissance de ma conversation avec Chipp), il faut qu'il finisse par bien poser sa pensée, ce qui suppose qu'il l'énonce clairement.

Il faut donc qu'il prenne le temps d'énoncer avec concision et précision son sujet, puis qu'il finisse par poser la ou les questions. Je lui suggère avant de faire un tour sur la Toile sur les problèmes de crues par exemple (et leur modélisation statistique, c'est un sujet que les Assureurs et Ré-assureurs connaissent bien en général) ...

Et là, tu pourras lui venir en aide. Pas avant.

Bonne journée.

Dernière modification par freddy (12-12-2010 11:35:27)

Jimmy

Invité

Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Bonjour a tous
Oui Marin ! Excuses moi, je m'exprime très mal :$
En fait ce que je voudrais c'est prévoir une crue en me basant sur l'historique.
C'est possible ?
Dans l'exemple des données savoir la probabilité qu'elle arrive à 1m90
Désolé de ne pas avoir été plus explicite :s
Cordialment
Jimy

freddy

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Re salut mon grand !

nous y voilà : tu souhaiterais prévoir une crue en connaissant son historique.

Comme il s'agit d'événements rares, voire rarissimes, c'est très difficile d'y parvenir. C'est pourquoi tu as tant de mal à le faire de ton côté. Ce qui n'empêche pas un assureur de couvrir ce risque, car il dispose de table d'occurrences, il est capable d'en déduire les probabilités associées, et de construire un tarif adapté. Ce qui ne veut pas dire qu'il sait quand elle se produira, mais uniquement avec quelle probabilité elle peut se produire chaque année (en définissant d'ailleurs avec précision la hauteur de la crue qui déclenche la garantie et la couverture de sinistres).

Par exemple, on attend toujours à Paris l'arrivée de la crue centennale (http://fr.wikipedia.org/wiki/Crue_centennale), la dernière s'étant produite en 1910 si mes informations sont bonnes (http://fr.wikipedia.org/wiki/Crue_de_la_Seine_de_1910).

Du coup, on pense que la prochaine devrait avoir lieu en ... 2010 ... sans dire le pourquoi du comment.

Un grand mathématicien français, René Thom, avait publié en 1975 son modèle des 7 formes de catastrophe, une catastrophe se définissant comme une modification brutale d'un système, une violente rupture d'un fonctionnement laminaire.

Bien des années après, il reconnut que sa théorie n'avait pas servi à grand chose, car, comme il disait, "prévoir n'est pas expliquer".

Bb

Jimmy

Invité

Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Re bonsoir
Oui mais cela ne m'explique pas comment y parvenir
La façon de procéder ?
la loi à utiliser ? (je pense à Gumbel)
mais surtout un organigramme pour y parvenir.
C'est la méthode qui me manque. pour le reste je me débrouille pas trop mal.
j'ai bien cherché sur google mais les aides sont pas clair.
Merci de votre aide
Cordialement
Jimmy

Jimmy

Invité

Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Bonjour
Pour compléter ma réponse;
L'ecartype et la moyenne mesurée sont ceux des données en hauteur
Je ne vois pas quoi rajouter de plus ?
Cdlt
Jimy

freddy

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Salut jimmy,

puis je me permettre de te poser une question indiscrète : quel objectif poursuis tu ?

Incidemment, quelles sont tes spécialités, ou les domaines dont tu as une assez bonne connaissance  ?

Les réponses pourraient mieux nous aider à t'aider. D'avance, merci.

PS : as tu pris connaissance de ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9tho … onte-Carlo ?

Jimmy

Invité

Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Bonjour Freddy
Alors mon objectif serait de pouvoir utiliser une méthode efficace de prévision affin de prévenir
une éventuelle catastrophe (Sauvegarde de meubles et de personnes)
Pour se préparer.
Mais il me faut savoir comment procéder (organigramme)
Merci de ta réponse
Cdlt
Jimy

freddy

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Re : Comment réaliser une simulation de prévision avec une loi Normale ?

Alors supposons que tes données en entrée suivent la loi de Gumbel de paramètres connus [tex]\mu[/tex] et [tex]\beta[/tex] (voir la définition donnée par wikipedia).
La fonction de répartition est donnée par :
[tex]u=F_{\mu,\beta}(x)=\exp(-\exp\frac{\mu-x}{\beta})[/tex]
Pour générer une telle variable x  (Freddy, tu vas pouvoir me dire si j'ai bien compris tes explications pour lesquelles je te remercie), tu dois générer une variable aléatoire u qui suit une loi uniforme sur [0,1].

Soit G la fonction réciproque de [tex]F_{\mu,\beta}[/tex]. Elle peut être aisément calculée. Pour obtenir x, tu fais :

[tex]x=G(u)=\mu-\beta\cdot\ln(-\ln{}y)[/tex]

Thomas.

Bonsoir,

en relisant avec attention, je m'aperçois que Thomas t'a tout dit. Donc tu vas identifier les paramètres [tex]\mu[/tex] et [tex]\beta[/tex] grâce aux informations suivantes :

[tex]\bar{x} = \mu+\beta \gamma,\;\sigma^2=\frac{\pi^2\beta^2}{6}[/tex], où gamma est la constante d'Euler (http://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_ … Mascheroni) = 0,57721

Je vais un peu réfléchir demain pour vérifier que les estimateurs proposés sont corrects

Ensuite, comme on t'a dit, tu simules y selon ton générateur aléatoire uniforme alea(), et tu déduis les valeurs de x qui suivent la loi de Gumbel.

Et stp, arrête de demander un organigramme, on fait des mathématiques appliquées, pas de la programmation informatique.

Je pense que l'ami yoshi pourrait t'aider, perso, ce n'est pas ma tasse de café.

Exemple : ta moyenne = 2 m et ta variance = 4 => beta = 1,56 et mu = 1,1;

Ensuite ma HP15C me donne y = 0,9448 => x = 5,57 m ; y = 0,8767 => x = 4,26 m ; y = 0,371 => x = 1,11 m ; y = 0,2836 => x = 0,74 m ; y = 0,4299 => x =  1,36 m ; y = 0,5051 => x = 1,69 m ; und so weiter ...

Ton problème : ce sont des événements a priori indépendants, donc le niveau précédent ne t'informe pas sur le niveau suivant, ce que tu voudrais faire en fait. Je pense qu'il faudrait que tu remontes en amont et que tu regardes  comment ton cours d'eau est alimenté (eaux pluviales, fonte des neiges, délestage de retenues hydro-électrique, ..). C'est de cette manière que tu devrais arriver à modéliser ton problème de prévision de crue, pas par la seule approche d'un distribution de probabilité.

Bb

Dernière modification par freddy (13-12-2010 23:24:58)