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marin marais

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Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique idempotente

Bonjour à tous et à toutes,

J'ai un problème de calcul numérique sur MatLab ou Octave. J'aurais besoin d'une confirmation au cas où, au niveau théorique, je me tromperais...

Dans des traitements avancés d'ajustement par la méthode des moindres carrés, je suis amené à étudier un projecteur orthogonal. J'ai donc une matrice idempotente et symétrique de rang n-p, où n est le nombre d'observations et p le nombre d'inconnues.

Quand je fais son analyse en composantes principales (avec la fonction 'eig' de MatLab ou Octave), j'ai bien p valeurs propres nulles et n-p valeurs propres égales à 1. Jusque là tout va bien. Malheureusement, les vecteurs propres donnés par le logiciel ne sont pas tous orthogonaux deux à deux.

Plus exactement, dans mon résultat, deux vecteurs propres quelconques, mais différents l'un de l'autre, associés à des valeurs propres différentes sont bien orthogonaux. Mais quel que soit le couple choisi, si les deux vecteurs sont associés à la même valeur propre, leur produit scalaire est non nul...

Ce résultat va à l'encontre de mes souvenirs et de mon bouquin d'algèbre... Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée, même s'il y a multiplicité de certaines valeurs propres, n'est-ce pas ? Est-ce que je me trompe sur ce point ?

Merci de votre aide !
Thomas.

Fred

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Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique idempotente

Tu ne te trompes pas, mais, pour des valeurs propres égales, il suffit d'orthonormaliser la famille de vecteurs propres donnés par le logiciel pour obtenir une base orthonormale de vecteurs propres.

Fred.

marin marais

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Re : Calcul des vecteurs propres d'une matrice symétrique idempotente

Merci Fred !
Non seulement je suis rassuré pour le bouquin que j'utilise, mais en plus ça fonctionne sur Octave avec la fonction 'orth'.

Thomas.