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#1 Re : Entraide (supérieur) » Similitudes » 02-07-2010 12:43:56
L'écriture complexe de la similitude directe est [tex]s(z)=az+b[/tex] et [tex]a=|a|\exp(i\arg(a))=2\exp(i\frac{\pi}{3})[/tex], donc [tex]s(z)=2\exp(i\frac{\pi}{3})z+b[/tex].
De même, [tex]s'(z)=\frac{1}{2}\exp(i\frac{2\pi}{3})z+b'[/tex].
En composant, on a donc [tex]s'(s(z))=s'(2\exp(i\frac{\pi}{3})z+b)=\frac{1}{2}\exp(i\frac{2\pi}{3})\left(2\exp(i\frac{\pi}{3})z+b\right)+b'=\exp(i\pi)z+\left(\frac{1}{2}\exp(i\frac{2\pi}{3})b+b'\right)=Az+B[/tex] avec [tex]A=\exp(i\pi)[/tex] et [tex]B=\frac{1}{2}\exp(i\frac{2\pi}{3})b+b'[/tex]
Je reconnais donc bien l'écriture de la similitude de rapport [tex]|A|=1[/tex] et d'angle [tex]arg(A)=\pi[/tex]. Le centre de cette similitude est, je crois, [tex]W=\frac{B}{1-A}[/tex]. Le problème, c'est que dans [tex]B[/tex] il y a le coefficient indéterminé [tex]b'[/tex] !
Sinon, je me suis posé la question suivante :
s est une similitude directe, et s est la composée d'une homothétie et d'une rotation : l'un se déduit de l'autre ? Comment est défini la similitude directe ? Est-ce que par définition, une similitude directe est la composée d'une rotation et d'une homothétie ou bien est-ce que cela se démontre ?
Si je veux intervenir l'idée de freddy, avec les coordonnées, je pense qu'il faut que je passe par l'écriture complexe des rotations et similitudes, mais j'en suis pas sur. C'est pour cela que je me pose cette question !
#2 Re : Entraide (supérieur) » Similitudes » 01-07-2010 23:47:19
La composée de deux similitudes de centre distincts est une similitude ? Puis-je en avoir une preuve ? Merci !
#3 Entraide (supérieur) » Similitudes » 01-07-2010 12:29:22
- Poaulo
- Réponses : 8
Bonjour,
je bloque pour la question suivante : O et O' étant deux points distincts du plan, on désigne par :
[tex]S[/tex] la similitude de centre [tex]O[/tex], d'angle [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] et de rapport [tex]2[/tex] ;
[tex]S'[/tex] la similitude de centre [tex]O'[/tex], d'angle [tex]\frac{2\pi}{3}[/tex] et de rapport [tex]\frac{1}{2}[/tex] ;
Il faut déterminer la nature de la transformation [tex]T=S'oS[/tex].
J'ai donc pris un point M distinct de O et O'.
S transforme M en M' tel que : [tex]OM'=2OM[/tex] et [tex](\vec{OM},\vec{OM'})=\frac{\pi}{3}[2\pi][/tex] ;
S' transforme M' en M'' tel que : [tex]OM''=\frac{1}{2}OM'[/tex] et [tex](\vec{OM'},\vec{OM''})=\frac{2\pi}{3}[2\pi][/tex] ;
Et je ne sais pas quoi faire d'autres !
Pouvez-vous m'aidez ?
Merci !
#4 Re : Entraide (supérieur) » Tirage succesif, sans remise et simultanée » 27-06-2010 02:01:41
Au final, pour moi, C(n,p) c'est le nombre de façon de tirer p boules dans une urne en contenant n, les tirages étant simultanées ou non ordonnées.
#5 Re : Entraide (supérieur) » Tirage succesif, sans remise et simultanée » 26-06-2010 16:55:03
Ok, je vois. Donc on peut aussi dire que C(n,p) correspond aux nombres de tirages non ordonnée de p boules dans une urne en contenant n ?
Finalement, c'est soit le nombres de tirages sans remise de p boules dans une urne qui en contient n , soit le nombre de tirages non ordonnée ?
#6 Entraide (supérieur) » Tirage succesif, sans remise et simultanée » 25-06-2010 18:05:23
- Poaulo
- Réponses : 6
Bonjour, je ne saisi pas comment un tirage peut-il être "sans remise et simultanée". Qu'est-ce que cela signifie ? Si je fais un tirage simultanée, je prends toute les boules simultanément, donc il n'y a pas lieu de regarder si le tirage est avec ou sans remise ! Ou est l'erreur ?
De manière général, à quoi corresponde C_n^p avec des boules et des urnes ?
Merci !
#7 Re : Entraide (supérieur) » Arithmétique » 11-06-2010 12:15:57
Ok, je vais essayer !
#8 Re : Entraide (supérieur) » Inégalité de Taylor-Lagrange » 11-06-2010 12:10:22
Anyone ?
#9 Entraide (supérieur) » Arithmétique » 05-06-2010 09:39:13
- Poaulo
- Réponses : 5
Bonjour,
je dois démontrer que l'ensemble [tex]\{m(a,b)\,,(a,b)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^*\}[/tex] admet un plus grand élément, où [tex]m(a,b)=min\{\sqrt[b]{a}\,,\sqrt[a]{b}\}[/tex]. Help please ! Merci.
#11 Re : Entraide (supérieur) » I.a.f » 03-06-2010 13:15:59
#12 Re : Entraide (supérieur) » I.a.f » 02-06-2010 19:34:40
Oui, mais bon, tu me diras vu que b>a, on a (b-a)=|b-a| ?! Peux-tu me corriger ? Merci !
#13 Re : Entraide (supérieur) » Inégalité de Taylor-Lagrange » 02-06-2010 18:58:30
En fait, si je pose [tex]g(x)=f(b)-f(x)-\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(b-x)^k[/tex], alors g est continue sur [tex][a,b][/tex], dérivable sur [tex]]a,b[[/tex], donc via le T.A.F il existe un c compris dans [tex]]a,b[[/tex] tel que [tex]g(b)-g(a)=g'(c)(b-a)[/tex]. Or [tex]g'(x)=\frac{-(b-x)^n}{n!}f^{(n+1)}(x)[/tex], donc [tex]|g(b)-g(a)|=|g(a)|\le M_{n+1}\frac{|b-a|^{n+1}}{n!}[/tex].
Je trouve bizarre qu'apparaisse pas le (n+1)! et pourtant il me semble que ma dérivée soit bonne.
#14 Re : Entraide (supérieur) » Inégalité de Taylor-Lagrange » 01-06-2010 19:11:54
freddy, dans le lien, il n'y a que les énoncés ! Je les connais. Je cherche une démonstration, ou des pistes. Merci !
#15 Re : Entraide (supérieur) » Condition nécessaire et suffisante de continuité » 01-06-2010 19:09:49
Ok ! Merci !
#16 Re : Entraide (supérieur) » I.a.f » 01-06-2010 19:06:23
Ok ! Pour le démontrer, je prend [tex]m=-M[/tex] dans mon assertion précédente, j'aurai le [tex]|f'|\le M[/tex]. En revanche, je ne saurai pas dire si [tex]-M(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a) \Rightarrow |f(b)-f(a)|\le M |b-a|[/tex].
On a juste [tex]|f(b)-f(a)|\le M(b-a)[/tex] non ? Sans la valeur absolue !
#17 Re : Entraide (supérieur) » I.a.f » 01-06-2010 15:52:50
Peux-tu préciser stp ?
#18 Re : Entraide (supérieur) » Condition nécessaire et suffisante de continuité » 01-06-2010 12:38:03
Ok ! Penses-tu pouvoir m'aider avec le théorème de la limite monotone ?
#19 Entraide (supérieur) » Inégalité de Taylor-Lagrange » 01-06-2010 11:23:03
- Poaulo
- Réponses : 6
Bonjour,
je cherche une démonstration de l'inégalité de Taylor-Lagrange (si [tex]f[/tex] est de classe [tex]C^{n+1}([a,b],\mathbb{R})[/tex], alors [tex]|f(b)-f(a)-\sum_{k=1}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k}|\le M_{n+1}\frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}[/tex]) avec l'aide de l'inégalité des accroissements finis.
Comment faire ?
#20 Entraide (supérieur) » I.a.f » 01-06-2010 11:12:43
- Poaulo
- Réponses : 7
Bonjour,
j'ai un petit doute sur l'inégalité des accroissements finis : est-ce [tex]\exists m,M\in\mathbb{R}\,,\forall x\in [a,b]\,,m\le f'(x)\le M\,\Rightarrow m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)[/tex] ou [tex]\forall x\in [a,b]\,,\exists m,M\in\mathbb{R}\,,m\le f'(x)\le M\,\Rightarrow m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)[/tex] ?
Merci !
#21 Re : Entraide (supérieur) » Condition nécessaire et suffisante de continuité » 01-06-2010 11:11:05
Je suis désolé, mais j'ai pas trop compris l'intervention de essai. Sinon, il y a aussi une démonstration avec le théorème de la limite monotone (et elle se fait alors directement, sans l'absurde), mais je ne l'ai pas trop comprise.
#22 Re : Entraide (supérieur) » Condition nécessaire et suffisante de continuité » 01-06-2010 09:48:17
Merci bien, en effet, je crois que c'est ok !
#23 Re : Entraide (supérieur) » Condition nécessaire et suffisante de continuité » 31-05-2010 23:19:51
Peut-être as-tu quelque chose à me proposer ? Je ne vois pas trop pourquoi raisonner avec des voisinages simplifie la preuve.
#24 Entraide (supérieur) » Condition nécessaire et suffisante de continuité » 31-05-2010 20:30:02
- Poaulo
- Réponses : 12
Bonsoir,
je cherche à montrer la chose suivante : si I est un intervalle non réduit à un point, [tex]f : I \to \mathbb{R}[/tex] strictement monotone (par exemple strictement croissante) alors f est continue sur I si et seulement si [tex]f(I)[/tex] est un intervalle.
Le sens direct est le corollaire du T.V.I, la démonstration est O.K.
Le sens indirect est plus délicat. Je vais raisonner par contraposition et donc prouver que si f n'est pas continue sur I alors f(I) n'est pas un intervalle.
Donc [tex]\exists a\in I\,,\exists\epsilon>0\,,\forall\eta>0\,,\exists z\in I\,,|z-a|<\eta\,\,et\,\,|f(z)-f(a)|\ge\epsilon[/tex].
Soient [tex](x,y)\in I^2[/tex] tels que [tex]x<y[/tex]. On fixe [tex]\eta=min\{|x-a|,|y-a|\}[/tex]. Alors pour ce [tex]\eta[/tex], on a [tex]|z-a|<\eta \Rightarrow x<z<y[/tex] (z est plus proche de a que x et y) et vu que f est strictement croissante - par exemple - on a [tex]f(x)<f(z)<f(y)[/tex].
On va supposer dans un premier temps que [tex]x<z<a<y[/tex], l'autre cas (i.e. [tex]x<a<z<y[/tex]) se traite de manière analogue je pense !
J'en déduis [tex]f(a)-f(x)>f(a)-f(z)=|f(z)-f(a)|\ge\epsilon[/tex] (on a bien [tex]f(a)-f(z)=|f(z)-f(a)|[/tex] car [tex]z<a[/tex] par supposition et car f strictement croissante).
J'en déduis aussi [tex]f(x)<f(a)<f(y)[/tex] et donc [tex]f(a)-f(x)<f(y)-f(x)[/tex].
Au finale, [tex]f(y)-f(x)>f(a)-f(x)>\epsilon[/tex] donc [tex]f(y)-f(x)>\epsilon[/tex]. J'ai du mal à conclure qu'alors f(I) n'est pas un intervalle, pourtant je sens que j'y suis :(
#25 Re : Entraide (supérieur) » Notation petit o » 04-04-2010 23:20:56
Merci Fred ! Pour toi, les fonctions [tex]\epsilon_1[/tex] et [tex]\epsilon_2[/tex] sont définie sur I tout entier ?