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#1 01-06-2010 11:23:03
- Poaulo
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Inégalité de Taylor-Lagrange
Bonjour,
je cherche une démonstration de l'inégalité de Taylor-Lagrange (si [tex]f[/tex] est de classe [tex]C^{n+1}([a,b],\mathbb{R})[/tex], alors [tex]|f(b)-f(a)-\sum_{k=1}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k}|\le M_{n+1}\frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}[/tex]) avec l'aide de l'inégalité des accroissements finis.
Comment faire ?
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#2 01-06-2010 14:02:48
- freddy
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- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Inégalité de Taylor-Lagrange
Salut Poaulo,
va voir là : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … mules.html
et avant de poser des questions, je t'invite à naviger dans le dico de bibmaths (y compris les sujets de concours ) : c'est une mine si je puis dire.
Bis bald.
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#5 02-06-2010 18:58:30
- Poaulo
- Membre
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- Messages : 36
Re : Inégalité de Taylor-Lagrange
En fait, si je pose [tex]g(x)=f(b)-f(x)-\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(b-x)^k[/tex], alors g est continue sur [tex][a,b][/tex], dérivable sur [tex]]a,b[[/tex], donc via le T.A.F il existe un c compris dans [tex]]a,b[[/tex] tel que [tex]g(b)-g(a)=g'(c)(b-a)[/tex]. Or [tex]g'(x)=\frac{-(b-x)^n}{n!}f^{(n+1)}(x)[/tex], donc [tex]|g(b)-g(a)|=|g(a)|\le M_{n+1}\frac{|b-a|^{n+1}}{n!}[/tex].
Je trouve bizarre qu'apparaisse pas le (n+1)! et pourtant il me semble que ma dérivée soit bonne.
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