Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 01-06-2010 11:12:43
- Poaulo
- Membre
- Inscription : 22-03-2010
- Messages : 36
I.a.f
Bonjour,
j'ai un petit doute sur l'inégalité des accroissements finis : est-ce [tex]\exists m,M\in\mathbb{R}\,,\forall x\in [a,b]\,,m\le f'(x)\le M\,\Rightarrow m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)[/tex] ou [tex]\forall x\in [a,b]\,,\exists m,M\in\mathbb{R}\,,m\le f'(x)\le M\,\Rightarrow m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)[/tex] ?
Merci !
Dernière modification par Poaulo (01-06-2010 11:13:31)
Hors ligne
#2 01-06-2010 13:49:07
- essai
- Invité
Re : I.a.f
Re,
C'est la première version qui est la bonne.
Par contre, on raisonne souvent avec un seul M qui borne la valeur absolue. Cela permet de travailler dans d'autres espaces que R où l'IAF est encore vraie alors qu'il n'y a plus de relation d'ordre !
#4 01-06-2010 18:22:41
- essai
- Invité
Re : I.a.f
Oui, excuse -moi.
L'IAF c'est la première formule que tu donnes mais elle est quasiment tout le temps utilisée comme ça :
Si ||f'||<M alors ||f(a)-f(b)||<M||a-b|| où ||.|| représente une norme (ici la valeur absolue sur R).
Le tout avec inégalités larges !
Bonne soirée
#5 01-06-2010 19:06:23
- Poaulo
- Membre
- Inscription : 22-03-2010
- Messages : 36
Re : I.a.f
Ok ! Pour le démontrer, je prend [tex]m=-M[/tex] dans mon assertion précédente, j'aurai le [tex]|f'|\le M[/tex]. En revanche, je ne saurai pas dire si [tex]-M(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a) \Rightarrow |f(b)-f(a)|\le M |b-a|[/tex].
On a juste [tex]|f(b)-f(a)|\le M(b-a)[/tex] non ? Sans la valeur absolue !
Hors ligne
#7 03-06-2010 10:13:50
- essai
- Invité
Re : I.a.f
Bonjour,
Oui, c'est exactement parce que a<b que on met la valeur absolue ! Dans la démo de l'IAF quand tu trouves :
m(b-a)<f(b)-f(a)<M(b-a)
on s'est déjà servi que a<b !
Pages : 1