Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#2 06-06-2010 08:20:36
Re : Arithmétique
Salut,
Les deux choses qui vont te gêner sont :
1/ Tu travailles en deux dimensions.
2/ La fonction min est vraiment pas sympathique.
Pour la résolution, la première étape consiste à remarquer que [tex]\forall (a,b) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}, m(a,b) = m(b,a)[/tex]. Ton ensemble est donc égal à [tex]\{m(a,b),(a,b)\in\mathbb{N} \times \mathbb{N},a \leq b\}[/tex].
La deuxième étape consiste, en utilisant [tex]a \leq b[/tex] à faire sauter le min dans [tex]m(a,b)[/tex].
Ensuite, tu aboutiras rapidement à : [tex]a \leq b \Rightarrow m(a,b) = \sqrt[b]{a} \leq \sqrt[b]{b} = m(b,b)[/tex]. Ainsi, ton problème se ramène à un problème unidimensionnel.
Je te laisse faire la suite.
A+
Hors ligne
#3 06-06-2010 08:24:47
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Arithmétique
Bonjour,
Soient [tex]a,b\in\mathbb N^*[/tex], on peut supposer [tex]a\leq b[/tex].
Alors :
[tex] \sqrt[b]{a}\leq \sqrt[b]{b}[/tex] et donc [tex]m(a,b)\leq \sqrt[b]{b}[/tex].
Il suffit donc de prouver que [tex]\{\sqrt[n]{n};\ n\in\mathbb N^*\}[/tex] admet un plus grand élément.
Pour cela, étudie la fonction [tex]\sqrt[x]{x}[/tex], qui tend vers 1 si x tend vers +oo.
Fred.
[Mince, grillé par thadrien!]
Hors ligne
#4 06-06-2010 08:41:34
Re : Arithmétique
Salut,
Deuxième méthode : tu scindes ton ensembles en deux sous-ensembles : A, fini, et B, infini.
A est fini donc admet un plus grand élément. Tu majores B par n'importe quel élément de A. Puis tu conclus.
Cette méthode n'est pas plus facile dans ce cas présent, mais elle a l'avantage d'être plus générale.
A+
Hors ligne
Pages : 1