Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Poaulo

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Similitudes

Bonjour,
je bloque pour la question suivante : O et O' étant deux points distincts du plan, on désigne par :
[tex]S[/tex] la similitude de centre [tex]O[/tex], d'angle [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] et de rapport [tex]2[/tex] ;
[tex]S'[/tex] la similitude de centre [tex]O'[/tex], d'angle [tex]\frac{2\pi}{3}[/tex] et de rapport [tex]\frac{1}{2}[/tex] ;

Il faut déterminer la nature de la transformation [tex]T=S'oS[/tex].

J'ai donc pris un point M distinct de O et O'.
S transforme M en M' tel que : [tex]OM'=2OM[/tex] et [tex](\vec{OM},\vec{OM'})=\frac{\pi}{3}[2\pi][/tex] ;
S' transforme M' en M'' tel que : [tex]OM''=\frac{1}{2}OM'[/tex] et [tex](\vec{OM'},\vec{OM''})=\frac{2\pi}{3}[2\pi][/tex] ;

Et je ne sais pas quoi faire d'autres !
Pouvez-vous m'aidez ?
Merci !

webern

Invité

Re : Similitudes

Hello!
En multipliant les rapports et en sommant les angles, on constate que la partie linéaire de la transformation obtenue c'est l'identité, donc ta composée est une translation.
Reste plus qu'à déterminer son vecteur...
Bonne soirée

webern

Invité

Re : Similitudes

Je me suis trompé, pardon : la somme des angles, c'est pi, ce n'est donc pas une translation, désolé.

Poaulo

Membre

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Re : Similitudes

La composée de deux similitudes de centre distincts est une similitude ? Puis-je en avoir une preuve ? Merci !

Domi

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Re : Similitudes

Les similitudes qui te concernent (définies par le centre = point invariant, l'angle et le rapport) sont des similitudes dites "directes". Elles conservent les angles orientés, contrairement aux similitudes indirectes qui les inversent.
Dans le plan complexe, une similitude directe peut s'exprimer sous la forme :
z' = s(z) = az+b
avec a et b complexes
Le coef a est très important : son module est égal au rapport de ta similitude et son argument est l'angle.
Si tu prends 2 similitudes directes et que tu les composes, tu obtiens :
s(z) = az+b
s'(z) = a'z+b'
sos'(z) = a(a'z+b')+b
sos'(z) = aa'z +(ab'+b)
On obtient bien une forme caractéristique d'une similitude directe.
Le coef aa' te donne le coef et l'angle. Tu retrouves le résultat de Webern : les modules sont multipliés et les angles additionnés (si a=r exp(i teta) et a'=r' exp(i teta'), alors aa' = rr' exp(i(teta+teta'))
Dans ton cas (si tu as donné tout ton énoncé), on ne peut pas calculer le centre de ta similitude, il manque soit les coordonnées de O et O', soit les coordonnées d'un point et de son image par sos'
Un bon conseil : trouves un bouquin de termS avec l'option spé maths, tout ce que tu cherches est dedans !

freddy

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Re : Similitudes

Salut,

je vais contrarier Domi qui a quand même donné toutes les réponses à tes questions.

Il suffit de définir les coordonnées de O et O' par rapport à un repère standard, de bien définir la transformation T=s'os et non pas sos' comme a fait Domi et le tour est joué.

En effet, on a bien z=x+iy, O aurait pour affixe [tex]Z_o=x_o+iy_o[/tex] et O' serait d'affixe [tex]Z_{o'}=x_{o'}+iy_{o'}[/tex] et on applique les similitudes au point M d'affixe z comme indiqué par Domi (je ne sais si c'est Domi ou Domi(e) ? ...).

Rien ne t'empêche d'ailleurs de considérer que O est l'origine du repère (de vauriens !) !!!

Reviens nous voir quand tu as commencé le travail.

Poaulo

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Re : Similitudes

L'écriture complexe de la similitude directe est [tex]s(z)=az+b[/tex] et [tex]a=|a|\exp(i\arg(a))=2\exp(i\frac{\pi}{3})[/tex], donc [tex]s(z)=2\exp(i\frac{\pi}{3})z+b[/tex].
De même, [tex]s'(z)=\frac{1}{2}\exp(i\frac{2\pi}{3})z+b'[/tex].

En composant, on a donc [tex]s'(s(z))=s'(2\exp(i\frac{\pi}{3})z+b)=\frac{1}{2}\exp(i\frac{2\pi}{3})\left(2\exp(i\frac{\pi}{3})z+b\right)+b'=\exp(i\pi)z+\left(\frac{1}{2}\exp(i\frac{2\pi}{3})b+b'\right)=Az+B[/tex] avec [tex]A=\exp(i\pi)[/tex] et [tex]B=\frac{1}{2}\exp(i\frac{2\pi}{3})b+b'[/tex]

Je reconnais donc bien l'écriture de la similitude de rapport [tex]|A|=1[/tex] et d'angle [tex]arg(A)=\pi[/tex]. Le centre de cette similitude est, je crois, [tex]W=\frac{B}{1-A}[/tex]. Le problème, c'est que dans [tex]B[/tex] il y a le coefficient indéterminé [tex]b'[/tex] !

Sinon, je me suis posé la question suivante :
s est une similitude directe, et s est la composée d'une homothétie et d'une rotation : l'un se déduit de l'autre ? Comment est défini la similitude directe ? Est-ce que par définition, une similitude directe est la composée d'une rotation et d'une homothétie ou bien est-ce que cela se démontre ?

Si je veux intervenir l'idée de freddy, avec les coordonnées, je pense qu'il faut que je passe par l'écriture complexe des rotations et similitudes, mais j'en suis pas sur. C'est pour cela que je me pose cette question !

Domi

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Re : Similitudes

Je vais contrarier Domi

C'est pô gentil !
C'est sûr qu'on peut fixer nous mêmes O et O' et ainsi calculer le centre de la similitude composée. Moi j'applique les ordres : c'est pas dans l'énoncé, je fais pas.

Sinon, je me suis posé la question suivante :
s est une similitude directe, et s est la composée d'une homothétie et d'une rotation : l'un se déduit de l'autre ? Comment est défini la similitude directe ? Est-ce que par définition, une similitude directe est la composée d'une rotation et d'une homothétie ou bien est-ce que cela se démontre ?

Je t'ai suggéré de regarder un manuel de terminale S spé maths : toutes les questions que tu poses y sont traitées, et ce n'est pas vraiment le rôle d'un forum de recopier un bouquin. Ton exo est d'ailleurs une application directe du cours : si tu veux qu'il soit "productif", je ne saurais que trop te conseiller de regarder ce cours que visiblement tu ne connais pas.

freddy

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Re : Similitudes

Re,

je vais encore contrarier Domi, le rôle d'un forum est d'aider ceux qui ont vraiment besion d'aide, ce qui est le cas de Poaulo, pour autant que j'ai pu le deviner.

Donc, tu trouveras sous ce lien les quelques résultats et définitions à connaître.

Pour aller plus loin, un livre de maths devrait convenir, à n'en point douter.

Bon courage.