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Bonsoir,

je suis en prépa MPSI et j'ai un DM et je bloque sur les questions 4 et 6

on note f la fonction de classe C puissance infini sur R définie pr f(x) = exp(-x²)

on définit la suite de polynômes ( H_n) de R[X] en posant H0=1 et la relation de récurrence  H_n+1= H'_n-2XH_n
(H_n) est la suite de polysomes de Hermite et elle va nous permettre de calculer les dérivées successives de la fonction f.

1) montrer que H_n est un polynome de degré n avec un coefficient dominant que l'on précisera
j'ai fait une récurrence pour montrer que H_n  est de degré n et le coefficient dominant est  (-2)ⁿ

2) montrer que H_n(-x)= (-1)ⁿH_n  que peut on en déduire pour n sur les coefficients de H_n
j'ai fait une réccurence pour montrer l'égalité
mais je ne sais pas ce qu'on peut en déduire pour n

3) montrer que f⁽ⁿ⁾(x)= H_n(x) exp(-x²)
là encore j'ai montrer par récurrence

4)en constatant que f'(x)+2xf(x)=0 trouver  à l'aide de la formule de Leibniz une relation entre H_n, H_n+1 et H_n+2
je sais qu'il faut dériver plusieurs fois mais je n'y arrive pas
je sais que le résultat est H_n+2=-2XH_n+1-2(n+1) H_n

5) en déduire  H''-2XH'_n+2nH_n=0
j'ai utilisé  H_n+1= H'_n-2XH_n <=> H'_n=2XH_n+H_n+1 donc H'_n+1=2XH_n+1+H_n+2 et en remplaçant H_n+2 par le résultat de la question 4, j'ai retrouvé l'équation différentielle

et là je bloque sur la question 6

6) dans toute cette question, on se fixe un entier naturel n

6a) montrer qu'il existe une suite réelle (ak) telle que Hn =somme de k=0 à l'infini de a_kX^k et quelque soit k supérieur à n+1, a_k =0

6b) montre que (k+2) (k+1) a_k+2 = 2 (k-n) a_k

6c) en déduire la valeur de a_n-2p en fonction de 3 factorielles, d'une puissance de -1 et d'une puissance de -2

6d) donner l'expression de H_n pour x appartenant à R , la valeur de f⁽ⁿ⁾(x)

merci de m'aider pour les questions 2,4 et 6

par avance merci beaucoup et bonne soirée
matan

Bonsoir,

Voici un autre exercice que j'ai du mal à faire et je bloque dès les premières questions. Quelqu'un pourrait-il me donner quelques pistes ??

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
On note [tex]M_0[/tex] et [tex]M_1[/tex] les points d’affixes respectives [tex]z_0=0 \text{ et }z_1=1[/tex]
On fixe un réel r>0 et un nombre différent de [tex] k\pi[/tex] ( k appartient à Z)
M2 est un point du plan tel que

[tex] ||\vec{M_1M_2}||= r [/tex] et  [tex] (\vec{M_0M_1},\vec{M_1M_2}) = \theta   [/tex]

1.Calculez l’affixe [tex] v_0 [/tex] de [tex] \vec{M_0M_1} [/tex] et celle [tex] v_1 [/tex] de [tex]\vec{M_1M_2} [/tex]

Ma réponse: [tex]v_0=1\text{ et } v_1 = re^{i\theta} [/tex]

2.Les points [tex]M_0,M_1,M_2[/tex] étant ainsi définis, pour tout entier naturel n>=1 on définit le point [tex]M_{n+1} [/tex] à partir des points [tex] M_{n-1} et M_n [/tex] par

[tex] ||\vec{M_nM_{n+1}}||= r||\vec{M_{n-1}M_n}|| [/tex] et [tex] (\vec{M_{n-1}M_n},\vec{M_nM_{n+1}})=\theta [/tex]

on obtient ainsi une suite de points [tex]M_n[/tex] et la figure obtenue  en traçant les segments est appelée ‘JOLYGONE’

a)      en prenant r = [tex] \frac {1}{\sqrt{2 }} [/tex] et  [tex] \theta = \frac{\pi}{4} [/tex] placer [tex]M_0, M_1, M_2,M_3,M_4 [/tex]

b)      on note [tex]v_n[/tex] l’affixe du vecteur [tex] \vec{M_nM_{n+1}} [/tex], démontrez que pour tout entier  n>=1 [tex] v_n =re^{i\theta}v_{n-1} [/tex]
c)      déduisez en que [tex] v_n=r^ne^{in\theta} [/tex]

3.On note [tex]z_n[/tex] l’affixe de [tex]M_n[/tex] et dans la suite du problème, on suppose 0<r<1
a)      exprimez [tex]v_n[/tex] en fonction de [tex]z_n \text{ et }z_{n+1} [/tex]
b)      déduisez en que [tex]z_n= v_0+…..+v_{n-1} [/tex] et démontrer par récurrence que [tex] z_n=\frac{1-r^ne^{in\theta}}{1-re^{i\theta}}[/tex] relation (2)

4.On note s la similitude directe telle que [tex]s(M_0)= M_1 \text{ et }s(M_1) = M_2[/tex]
a)      déterminez l’écriture complexe de s en fonction de r et [tex] \theta [/tex]
b)      en utilisant la relation ( 2) démontrer que pour tout entier n [tex]s(M_n)=M_{n+1}[/tex]
c)      en prenant  [tex] r= \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ et }\theta = \frac{\pi}{4} [/tex] calculer l’affixe [tex] \Omega [/tex] du centre [tex] \Omega [/tex] de s
d)      démontrer que lorsque [tex]  r= \frac{1}{\sqrt{2}} [/tex] alors [tex] \lim\limits_{{n\to +oo}}[M_0M_1+M_1M_2+...+M_{n-1}M_n] = 2+\sqrt{2} [/tex]

Merci de votre aide

Joyeuses pâques  ;)

bonjour,

j'ai un exercice à faire, j'ai fait le début quelqu'un peut il me corriger ?

Dans le plan orienté, C est le cercle de centre O et de rayon 1.5 cm et C' est le cercle de centre O' et de rayon 3 cm. on suppose de plus que OO'= 6cm

on note (I') l'ensemble des points M tels que MO' =2
                                                                 MO
1 Démontrer que (I') est l'ensemble des points M tels que :
( vecteur M0'+2 vecteur MO).(Vecteur MO'-2vecteur MO) = 0

est ce que c'est juste si je fais :
M0'=2MO <=> vect MO'²-4MO²=0
soit
( vecteur M0'+2 vecteur MO).(Vecteur MO'-2vecteur MO) = 0

merci de votre correction pour la question 1

2 A est le barycentre de (O';1)(o;2) et B le barycentre de (O';1) (O ; 2)
démontrer que (I') est l'ensemble des points m tels que
vect MA. vect MB =0

voila ce que j'ai fait

le tout en vecteur
MO'+2MO = 3MA
MO'-2MO = -MB
d'om M'O = 2MO <=> MA.MB =0

pouvez vous me dire si ce que j'ai fait est juste
merci beaucoup