calculs vectoriels et barycentriques [Résolu]

matan · 27-03-2010 14:10:41

bonjour

Quelqu'un peut il m'aider pour cet exercice ?

Soient A,B et C trois points non alignés de l'espace. B' désigne le milieu de [AC], C' le milieu de [AB], D est le barycentre du système {(A, 3), (B, 2)} et I le barycentre du système {(A, 3), (B, 2),(C, 1)}.
1. Montrer que I est le barycentre du système {(B', 1), (C', 2) } et également du système {(D, 5), (C, 1)}
En déduire que I est le point d'intersection des droites (B'C') et (CD).
2. La droite (AI) coupe la droite (BC) en E. Déterminer la position de E sur la droite (BC).
3. B et C restent fixes. Le point A se déplace dans l'espace, le segment [AE], où E est le point défini dans la question 2, conservant une longueur constante. Déterminer les lieux géométriques des point I et D.

merci

freddy · 27-03-2010 14:17:53

Bonjour,

quelqu'un peut il faire cet exercice à sa place ?

Merci d'avance pour lui.

PS : si tu nous dis où tu bloques, on te dira comment ne plus bloquer ...

A +

matan · 28-03-2010 12:11:13

Bonjour,

Si je n'ai pas indiqué là où je bloque, c'est parce que je bloque dès la première question. Je ne cherche pas une solution toute faite, j'aimerais simplement un peu d'aide. Une piste pour commencer serait donc la bien venue.

merci

yoshi · 28-03-2010 13:17:14

Bonjour matan...

Bah ! Faut pas te formaliser...
freddy a peut-être pour une fois réagi de façon trop formelle, ce n'est pas ton 1er post ici : on sait bien que tu n'es pas comme ça.
Cela dit, de préciser tout de suite que tu étais totalement incapable de démarrer aurait évité tout malentendu...

Les Barycentres, c'est encore plus rigolo que les vecteurs !
Tu dois montrer que [tex]I= (B'C') \cap (CD)[/tex] donc que [tex]I \in (B'C') \text { et } I \in (CD)[/tex]
Autrement dit tu dois trouver les entiers a, b, c, d pour que I=Bar{(B' ; a),(C', b)} et I =Bar{(C;c),(D,d)}

Pour ça, si tu sais, par exemple que G est Barycentre de 3 points A(1), B(1), C(1) non alignés et que A', B', C' sont les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB], tu peux écrire que
G = Bar{(A;1),(B,1),(C,1)}= Bar{(C';2),(C,1)}, donc tu sais que G est sur (C'C).

Mais tu peux aussi écrire que
G=Bar{(A;1),(B,1),(C,1)} = Bar{(A;1),(A',2)}, donc tu sais que G est sur (AA').
Conclusion G est l'intersection des médianes [AA'] et [CC'].
Tu peux toujours remplacer le barycentre de 3 points par le barycentre d'un point et du barycentre des deux autres.
Inversement tu peux décomposer (et remplacer aussi)
Soit M = Bar{(A ; 2),(B ; 1),( ; 1)}
On a encore M = Bar{(A ; 2),(B ; 1),(C ; 1)}= Bar {(A ; 1),(B ; 1),(A ; 1),(C ; 1)}
Donc M = Bar{(C' ; 2),(B' ; 2)} : M est sur [C'B'], c'est même le milieu de [C'B'].

Et bien c'est une "cuisine" de ce type que tu dois faire.
Essaie et reviens...

@+

matan · 28-03-2010 14:14:34

Bonjour,

J'ai trouvé une solution qui me parait simple mais je ne sais pas si elle est correcte.

I est le le barycentre de {(A, 3), (B, 2),(C, 1)}.
Donc I le barycentre de {(A, 2), (B, 2), (A, 1) (C, 1)}.
Or C' est le milieu de [AB]
Donc I est le barycentre de {(C', 2) (B', 1)}

I est le le barycentre de {(A, 3), (B, 2),(C, 1)}.
Or D est le barycentre de {(A,3),(B,2)}
Donc I est le barycentre de {(D,5),(C,1)}

I est le barycentre de {(C', 2) (B', 1)} donc I[tex]\in[/tex](B'C')
I est le barycentre de {(D,5),(C,1)} donc I[tex]\in[/tex](DC)
[tex] I \in (B'C') et I \in (DC) [/tex] donc I est le point d'intersection de ces deux droites.

Pour la question suivante, la deux donc, je ne vois pas comment partir :/

yoshi · 28-03-2010 14:41:01

re,

Oui, c'est bon ! Marrant, hein ?

Question 2.
Prendre le point F=Bar{(B;2),(C;1)} pour réutiliser le fait que I =Bar{A;3),(B;2),(C,1)}.
Montre simplement que E = F...

Par contre tes lieux géométriques ne m'inspirent pas :-(

Je continue à réfléchir...

@+

Dernière modification par yoshi (28-03-2010 14:56:14)

matan · 28-03-2010 14:59:04

Soit F le barycentre de {(B,2),(C,1)}
Or I est le le barycentre de {(A, 3), (B, 2),(C, 1)}.
Donc I est le barycentre de {(A,3),(F,3)}

Je ne suis pas sur de la conclusion à en tirer: I est le mileu de [AF] et donc vecteur AF = 2 vecteur AI
(desolé, je ne sais pas représenter des vecteurs, est ce possible grace au code LaTex ??)

Mais à partir de là, je ne vois pas comment prouver que F=E

yoshi · 28-03-2010 15:16:37

Re,

F est sur(AI) et F est sur (BC) (défini ainsi).
Donc F est à l'intersection de (AI) et (BC), c'est donc E.
Et E =Bar{(B;2),(C;1)}
Tout est possible avec LaTeX, jette un oeil au lien code LaTeX
Donc tu sais que [tex]2\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}[/tex]....
De plus I est bien le milieu de [AE].

Pour les lieux, la longueur BC étant fixe, B'C' aussi : B'C'= BC/2.
Je cherche donc bidouiller qq ch avec EI²...

@+

matan · 28-03-2010 15:48:24

En fait, je ne vois pas ce que la question demande. Est ce qu'on me demande que deviennent les points I et D losque l'on passe dans l'espace ou est ce que la figure a subit une transformation que j'aurais loupé ??

matan · 28-03-2010 16:07:53

J'ai peut-être trouvé quelque chose.

[tex]I \in [AE][/tex] Or la longueur AE ne varie pas (énoncé) donc celle de AI non plus donc comme I est le milieu de [AE], EI ne varie pas.
Donc le lieu géométrique de I est une sphère de centre E et de rayon EI

C est un point fixe. Donc la longueur IC est constante. Or I est le barycentre de {(D,5),(C,1)}
donc le lieu géométrique de D est une sphère de centre E et de rayon ED.

Je ne suis sure de rien, mais je pense que dans l'idée, ca pourrait être quelque chose comme ca.

yoshi · 28-03-2010 16:13:04

Re,

En fait, ce qui est demandé est simple...
Tes 2 points B et C sont fixes A est mobile dans l'espace...
Quand tu fais bouger A n'importe où dans l'espace, on te demande sur quel type de courbe se déplacent I et D :
Par contre, je ne vois pas ce lieu géométrique (ça m'arrive) : si j'avais une idée de la réponse, j'arriverais probablement à la justifier...
Je m'en vais donc faire des essais avec geolabo, pour voir dans le plan et essayer d'extrapoler dans l'espace...

@+

Ps J'avais zappé AE constante !!! Je m'étais focalisé sur BC...
AE constante avec E fixe,
A décrit déjà bien la sphère de centre E et de rayon EA.
I milieu de [EA] décrit bien la sphère de centre E et de rayon EA/2.

D est sur [AB] et je ne pense pas que AB ait une longueur constante, ni que ED ait une longueur constante (ou alors ça demande une preuve...)
Je regarde

PS2
Dans le plan, D décrit un cercle (donc une sphère dans l'espace), mais pas de centre E, le centre semble être entre E et B.
On a : [tex]\overrightarrow{CD}={6 \over 5}\overrightarrow{CI}[/tex]
Maintenant il faut aller plus loin.

matan · 28-03-2010 17:33:52

Oula, euhh là, je ne vois pas du tout comment on pourra faire ca par des calculs. Il faut vraiment passer par le plan pour trouver la figure dans l'espace ??

yoshi · 28-03-2010 17:38:18

Salut,

C'était juste une idée, mais ça ne me mène nulle part..
Avec GeoLabo, je confirme : le lieu géométrique de D est bien (dans le plan) un cercle dont le centre est situé entre E et B et... pas au milieu ! Plus près de E que de B...
Du diable si je vois où ... !
Désolé !
Je creuse encore !

@+

matan · 28-03-2010 17:50:31

Pour faire plus simple, on ne pourra pas simplement dire que le centre se situe sur le segment [EB] ?

yoshi · 28-03-2010 18:05:40

Re,

Ce ne serait pas sérieux...
Voilà une copie d'écran, si ça t'inspire...

Est-ce que ça inspire quelqu'un d'autre ?

@+

PS
Centre M disons...
Je parierais bien pour M = Bar{(B;1),(E;2)}, peut-être plutôt M=Bar{(B;2),(E;3)} (à cause de D=Bar{(B;2),(A;3)})...
Maintenant, quant à monter que MD = constante, alors là c'est une autre histoire...
En tous cas, je sèche ; faut bien que ça arrive de temps en temps !

yoshi · 28-03-2010 19:03:18

Re,

EUREKA !
C'était tout c...
Mais oui, bien sûr, M = Bar{(B;2),(E;3)} !!!
Or D = Bar{(B;2),(A;3)}, il résulte donc, dans le triangle ABE, que (DM) // (AE) et que d'après le th de Thalès que MD = 3AE/5 = constante !

Donc, pour la démo, on va partir de :
Soit M le point d'intersection de la parallèle à (AE) passant par D avec [BE].
comme D=Bar{(B;2),(A;3)} alors BD/BA = 3/5
Et d'après le th de thalès (ou homothétie de centre B et de rapport 3/5, comme tu veux), alors BM/BE = 3/5 et MD/EA = 3/5...

Je vais pouvoir dormir l'esprit serein...

@+

matan · 28-03-2010 19:58:14

Whoua!

Merci beaucoup! Je n'aurais jamais trouvé ca seul !!

Alors là merci :)

Bonne soirée

A une prochaine fois !

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