intégrales [Résolu]

matan · 13-05-2010 14:57:10

Bonjour, j'aurais encore une fois besoin de votre aide pour un exercice.

Pour tout entier naturel n>1, on pose [tex] J_n=\frac{1}{n!}\int_{0}{1}[/tex][tex]t^ne^{-t}dt [/tex]

1) Calculer [tex] J_1 [/tex] et [tex] J_2 [/tex] à l'aide d'une intégration par parties.

Réponse:Je ne sais pas trop quoi faire. Est ce que je dois remplacer n par 1 puis 2 en gardant t ou est ce que je dois chercher à calculer t?

2)Trouver une relation de récurrence entre [tex] J_n[/tex] et [tex] J_{n+1} [/tex]

Réponse: Pour faire l'intialisation, il faut servir du resultat obtenu pour [tex] J_1 [/tex], non ?

3)En déduire l'expression de [tex] J_n [/tex] directement en fonction de n.

Réponse: ...

Merci d'avance :)

freddy · 13-05-2010 16:33:26

Salut !

[tex]\forall n \in \N^*[/tex], on pose [tex] J_n=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}[/tex][tex]t^ne^{-t}dt [/tex]

1) Calculer [tex] J_1 [/tex] et [tex] J_2 [/tex] à l'aide d'une intégration par parties.

Réponse : Oui, tu poses n = 1, puis n = 2, puis tu fais une intégration par parties, t étant la variable d'intégration.

2)Trouver une relation de récurrence entre [tex] J_n[/tex] et [tex] J_{n+1} [/tex]

Réponse : Pour faire l'initialisation, il faut servir du résultat obtenu pour [tex] J_1 \;et\; J_2[/tex].

3) En déduire l'expression de [tex] J_n [/tex] directement en fonction de n.

En fonction du résultat précédent, tu vas trouver l'expression demandée. Un joli petit sujet de bachot.

Reviens nous voir quand tu as la solution.

Bb

matan · 16-05-2010 10:41:07

Merci pour vos réponses.

Je bloque encore sur la première question mais j'ai un peu avancé.

1) n=1, [tex] J_1= \frac{1}{1!} \int_{0}_{1} t^1 e^{-t}dt [/tex]
[tex] J_1= \int_{0}{1}te^{-t} dt [/tex]

IPP: u'(t)= [tex]e^{-t} [/tex] v(t)=t
u(t)=[tex] -e^{-t} [/tex] v'(t)=1

[tex] J_1=[/tex] [[tex]-e^{-t}[/tex]x[tex]t][/tex] entre 0 et 1 - [tex]\int_^{0}{1}[/tex][tex](-e^{-t}) dt [/tex]

[tex] J_1= [/tex][[tex]-e^{-t}[/tex]x[tex]t[/tex]] - [tex][e^{-t}] [/tex]

[tex] J_1 = -e^{-1}[/tex]x[tex]1+e^{-0}[/tex]x[tex]0-e^{-1}+e^0[/tex]

[tex] J_1= -e^{-1}-e^{-1}+1[/tex]

[tex] J_1=-2e^{-1} +1 [/tex]

C'est ca ??

et pour n=2 [tex]J_2= \frac{1}{2!} \int_{0}_{1} t^2 e^{-t}dt [/tex]

u'(t)=[tex]e^{-1}[/tex] v(t)= t²
u(t)=[tex]-e^{-t} [/tex] v'(t)=2t

[tex] J_2=( [-e^{-t}[/tex]x[tex]t^2]-\int_{0} -e^{-t}[/tex]x[tex]2t [/tex]dt[tex] )[/tex] x [tex] \frac{1}{2} [/tex]

La j'ai un problème car je n'arrive pas à trouver la primitive de [tex] -e^{-t}[/tex]x[tex]2t[/tex]
J'ai aussi un soucis avec le [tex] \frac{1}{2} [/tex] Je ne sais pas comment faire. Je n'ai jamais fait d'intégration par partie avec une constante.

Merci de votre aide =)

freddy · 16-05-2010 12:40:35

matan a écrit :

Merci pour vos réponses.
Je bloque encore sur la première question mais j'ai un peu avancé.
1) n=1, [tex] J_1= \frac{1}{1!} \int_{0}_{1} t^1 e^{-t}dt [/tex]
[tex] J_1= \int_{0}{1}te^{-t} dt [/tex]
IPP: u'(t)= [tex]e^{-t} [/tex] v(t)=t
u(t)=[tex] -e^{-t} [/tex] v'(t)=1
[tex] J_1=[/tex] [[tex]-e^{-t}[/tex]x[tex]t][/tex] entre 0 et 1 - [tex]\int_^{0}{1}[/tex][tex](-e^{-t}) dt [/tex]
[tex] J_1= [/tex][[tex]-e^{-t}[/tex]x[tex]t[/tex]] - [tex][e^{-t}] [/tex]
[tex] J_1 = -e^{-1}[/tex]x[tex]1+e^{-0}[/tex]x[tex]0-e^{-1}+e^0[/tex]
[tex] J_1= -e^{-1}-e^{-1}+1[/tex]
[tex] J_1=-2e^{-1} +1 [/tex]
C'est ca ??
oui
et pour n=2 [tex]J_2= \frac{1}{2!} \int_{0}_{1} t^2 e^{-t}dt [/tex]
u'(t)=[tex]e^{-1}[/tex] v(t)= t²
u(t)=[tex]-e^{-t} [/tex] v'(t)=2t
[tex] J_2=( [-e^{-t}[/tex]x[tex]t^2]-\int_{0} -e^{-t}[/tex]x[tex]2t [/tex]dt[tex] )[/tex] x [tex] \frac{1}{2} [/tex]
La j'ai un problème car je n'arrive pas à trouver la primitive de [tex] -e^{-t}[/tex]x[tex]2t[/tex]
J'ai aussi un soucis avec le [tex] \frac{1}{2} [/tex] Je ne sais pas comment faire. Je n'ai jamais fait d'intégration par partie avec une constante.
Merci de votre aide =)

Si tu regardes bien, tu as [tex]2*\frac12 = 1[/tex] et donc tu sais faire la suite ...

matan · 16-05-2010 13:10:46

donc

[tex]J_2= ([-e^{-t}[/tex]x[tex]t^2]_0^1 - \int_{0}^{1} -e^{-t}[/tex]x[tex]2t[/tex]dt[tex])[/tex]x[tex]\frac{1}{2}[/tex]
[tex]J_2= (([-e^{-t}[/tex]x[tex]t^2]_0^1 - \int_{0}^{1} -e^{-t}[/tex]x[tex]t[/tex]dt[tex])[/tex]

Est ce que c'est bon ?? et je n'arrive toujours pas à calculer la primitive de [tex]-e^{-t}[/tex]x[tex]t[/tex]

thadrien · 16-05-2010 16:56:59

Salut,

Tu refais une intégration par parties, en dérivant t et en intégrant l'exponentielle.

freddy · 16-05-2010 19:59:23

Re,

mais non, tu as : [tex]J_2=-e^{-1}+J_1[/tex]

sauf erreur ...

Dernière modification par freddy (16-05-2010 19:59:42)

thadrien · 16-05-2010 21:13:21

Salut,

Il y a bien une erreur, mais pas chez toi. Dans le dernier post de matan, il a oublié d'appliquer le 1/2 au premier terme lors du passage de la ligne 1 à la ligne 2.

freddy · 16-05-2010 23:02:12

Exact, je corrige :

mais non, tu as : [tex]J_2=-\frac12\times e^{-1}+J_1[/tex]

sans erreur ...

Et pour finir le boulot, tu montreras que [tex]J_n=-\frac{1}{n!}\times e^{-1}+J_{n-1}[/tex]

Bb

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