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matan

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polynome de Hermite

Bonsoir,

je suis en prépa MPSI et j'ai un DM et je bloque sur les questions 4 et 6

on note f la fonction de classe C puissance infini sur R définie pr f(x) = exp(-x²)

on définit la suite de polynômes ( H_n) de R[X] en posant H0=1 et la relation de récurrence  H_n+1= H'_n-2XH_n
(H_n) est la suite de polysomes de Hermite et elle va nous permettre de calculer les dérivées successives de la fonction f.

1) montrer que H_n est un polynome de degré n avec un coefficient dominant que l'on précisera
j'ai fait une récurrence pour montrer que H_n  est de degré n et le coefficient dominant est  (-2)ⁿ

2) montrer que H_n(-x)= (-1)ⁿH_n  que peut on en déduire pour n sur les coefficients de H_n
j'ai fait une réccurence pour montrer l'égalité
mais je ne sais pas ce qu'on peut en déduire pour n

3) montrer que f⁽ⁿ⁾(x)= H_n(x) exp(-x²)
là encore j'ai montrer par récurrence

4)en constatant que f'(x)+2xf(x)=0 trouver  à l'aide de la formule de Leibniz une relation entre H_n, H_n+1 et H_n+2
je sais qu'il faut dériver plusieurs fois mais je n'y arrive pas
je sais que le résultat est H_n+2=-2XH_n+1-2(n+1) H_n

5) en déduire  H''-2XH'_n+2nH_n=0
j'ai utilisé  H_n+1= H'_n-2XH_n <=> H'_n=2XH_n+H_n+1 donc H'_n+1=2XH_n+1+H_n+2 et en remplaçant H_n+2 par le résultat de la question 4, j'ai retrouvé l'équation différentielle

et là je bloque sur la question 6

6) dans toute cette question, on se fixe un entier naturel n

6a) montrer qu'il existe une suite réelle (ak) telle que Hn =somme de k=0 à l'infini de a_kX^k et quelque soit k supérieur à n+1, a_k =0

6b) montre que (k+2) (k+1) a_k+2 = 2 (k-n) a_k

6c) en déduire la valeur de a_n-2p en fonction de 3 factorielles, d'une puissance de -1 et d'une puissance de -2

6d) donner l'expression de H_n pour x appartenant à R , la valeur de f⁽ⁿ⁾(x)

merci de m'aider pour les questions 2,4 et 6

par avance merci beaucoup et bonne soirée
matan

Dernière modification par matan (12-02-2014 19:06:19)

Fred

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Re : polynome de Hermite

Bonsoir Matan,

  Voici quelques indications :
2. Par exemple, si n est pair, ton polynôme est pair, et un polynôme pair ne peut pas avoir de coefficients devant un terme du type [tex]X^{2k+1}[/tex] qui soit non nul.

4. Posons [tex]g(x)=f'(x)+2xf(x)[/tex] et dérivons [tex]n+1[/tex] fois cette fonction. Il faut appliquer le théorème de Leibniz pour constater que
[tex]g^{(n+1)}(x)=f^{(n+2)}(x)+2xf^{(n+1)}+2(n+1)f^{(n)}[/tex] et on ne va pas plus loin car la dérivée seconde de x est nulle...
Maintenant, [tex]g^{(n+1)}[/tex] est nulle, et à l'aide de la question 3 tu devrais facilement trouver la formule de récurrence désirée.

6. a. Je ne sais pas trop ce qui te bloque. Tu écris juste un polynôme de degré n+1, non???

b. Tu as donc
[tex]H_n(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k[/tex]

Tu peux ensuite calculer [tex]H_n'(x)=\sum_{k=1}^{n} ka_kx^{k-1}[/tex]
et [tex]H_n''(x)=... [/tex].

Tu sais ensuite que [tex]H_n''(x)-2xH_n'(x)+2nH_n(x)=0[/tex] (c'est le résultat de la question précédente...).
Tu peux, avec les calculs précédents, exprimer le membre de gauche comme somme du type [tex]\sum_{k=0}^{n}b_k x^k[/tex] (il te faudra sans doute faire un changement d'indice...). Ensuite, un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Cela devrait te donner la relation souhaitée.

c. C'est un peu plus technique.
Tu appliques la relation précédente avec [tex]k=n-2p[/tex]. Tu trouves
[tex]a_{n-2p}=\frac{(n-2p+1)(n-2p+2)}{2(-2p)}a_{n-2p+2} [/tex]
Puis tu itères en prenant cette fois [tex]k=n-2p+2[/tex], et ainsi de suite... Tu vas trouver (modulo mes erreurs de calculs!),
[tex]a_{n-2p}=\frac{(n-2p+1)(n-2p+2)\cdots n}{2^p (-1)^p p\times(p+1)\times\cdots \times n}a_n[/tex].

Et là, tu n'es plus très loin du résultat, car
[tex](n-2p+1)(n-2p+2)\cdots n= \frac{1\times2\times\cdots\times (n-2p)}{1\times2\times\cdots\times (n-2p)}\times (n-2p+1)(n-2p+2)\cdots n=\frac{n!}{(n-2p)!}. [/tex]

Tu fais pareil avec l'autre produit (celui du dénominateur), et tu as presque fini....

d. Cela ne devrait plus te poser trop de problèmes avec toutes les questions précédentes...

Bon courage!

F.

matan

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Re : polynome de Hermite

Bonjour Fred,
Merci pour cette réponse rapide, je regarde cela et je te reviens en cas de besoin.
Bonne journée, matan

matan

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Re : polynome de Hermite

Bonjour
ok pour la 6 a et la 6 b

par contre je ne comprends pas la 6c malgré tes explications , je ne trouve pas la même chose
(n-2p+2) (n-2p+1) a _n-2p+2= 2(-2p) a_n-2p

peux tu m'aider ? Merci

Fred

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Re : polynome de Hermite

par contre je ne comprends pas la 6c malgré tes explications , je ne trouve pas la même chose
(n-2p+2) (n-2p+1) a _n-2p+2= 2(-2p) a_n-2p

C'est exactement ce que je trouve moi aussi!!!!

matan

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Re : polynome de Hermite

et que dois je faire maintenant ?
car je ne sais pas comment arriver au résultat à partir de la

Fred

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Re : polynome de Hermite

Re,

  Tu exprimes [tex]a_{n-2p}[/tex] en fonction de [tex]a_{n-2p+2}[/tex], puis, en reprenant toujours la même formule de
récurrence mais avec [tex]k=n-2p+4[/tex], tu exprimes [tex]]a_{n-2p}[/tex] en fonction de [tex]a_{n-2p+4}[/tex]. On continue
ainsi jusqu'à exprimer [tex]a_{n-2p}[/tex] en fonction de [tex]a_{n-2p+2p}=a_n[/tex].

F.

matan

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Re : polynome de Hermite

Bonsoir,

je regarde cela .....
merci beaucoup pour ton aide
matan