Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
soit l'équation différentielle $$y'=f(x,y)$$ où $f: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ avec $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^2$. Un e équation différentielles ordinaire ou bien elle n'admet pas de solution ou bien elle admet une infinité de solutions. Je cherche un exemple d'une équation différentielle ordinaire d'ordre 1 qui n'admet aucune solution.
Merci d'avance

Bonjour,
je souhaite calculer la limite au sens des distributions de la suite de distributions $$T_n=n(\delta_{1/n}-\delta_{-1/n})$$
où $\delta_{1/n}$ représente Dirac au point $1/n$ et $\delta_{-1/n}$ représente Dirac au point $-1/n$.
Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. On a
$$
\langle T_n,\varphi \rangle = n[\varphi(1/n)-\varphi(-1/n)].
$$
Si on écrit le développement de Taylor d'ordre 1 de $\varphi(1/n)$ au voisinage de 0, on aura:
$$
\varphi(1/n)= \varphi(0) +\dfrac{1}{n} \varphi'(\xi_n), \ \xi_n \in (0,1/n).
$$
Le développement de Taylor d'ordre 1 de $\varphi(-1/n)$ au voisinage de 0 nous donne:
$$
\varphi'(-1/n)= \varphi(0) -\dfrac{1}{n} \varphi'(\xi_{-n}), \ \xi_{-n} \in (-1/n,0).
$$
Donc,
$$
\langle T_n,\varphi\rangle= 2 \varphi(0) + (\varphi'(\xi_n)-\varphi'(\xi_{-n})).
$$
Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, est-ce qu'on peut dire que $\varphi'(\xi_n)$ tend vers $\varphi'(0)$ et $\varphi'(\xi_{-n})$ tend vers $\varphi'(0)$ et par conséquent, $\lim_{n \to +\infty}(\varphi'(\xi_n)-\varphi'(\xi_{-n})=0$?
Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant:
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ définie par: $f_n(t)= \dfrac{1}{2^n} \exp\left(-\dfrac{1}{1-|t|^2/n^2}\right)$ si $|t| \leq n$ et 0 sinon.
La question est: montrer que pour tout $k \geq 0$, la suite de fonctions $(f_n^{(k)})$ converge vers une fonction $g \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$.
La première étape est de calculer $f^{(k)}_n(t)$. Comment faire ce calcul de manière propre et intelligente? S'il vous plaît.
Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,
j'ai trouvé sur un autre forum; un exercice intéressant.
Mais il n y a pas eu de réponse.
Soient $N$ et $M$ deux naturels donnés. On définit les nombres naturels $R$ et $Q$ par $M= N \cdot Q + R$
($R$ est le reste de la division de $M$ sur $N$, $Q$ est le résultat de la division de $M$ sur $N$).
Quel algorithme de calculer $Q$ et $R$ en utilisant la soustraction? S'il vous plaît.
Je ne comprend même pas ce que veut dire "utiliser la soustraction" pour calculer $Q$ et $R$. Un exemple serait le bienvenue.
Merci d'avance

Bonjour,
on considère le problème de Sturm Liouville
\begin{equation} \begin{cases} -(P(t) y')' + q(t) y = \lambda y,\\ \alpha y(a) +\beta y'(a)=0,\\ \gamma y(b)+\delta y'(a)=0\end{cases}\end{equation}

La question est de montrer que ce problème n'admet pas de valeurs propres complexes.

On raisonne par l'absurde et on suppose que $\lambda=\alpha + i \beta$ est une valeur propre du problème et la fonction $y=u+iv$ est la fonction propre associée, où $\alpha, \beta, u, v \in \mathbb{R}$.
Dans le livre que je lis, il est écrit ceci: en remplaçant $y$ dans l'équation et en intégrant entre $a$ et $b$, on obtient:
$$ -\beta \displaystyle\int_a^b (u^2 +v^2) dt = [\beta(u v' - u' v)]_a^b =0.$$
Je n'arrive pas à comprendre comment on arrive à ce dernier résultat. Moi quand je remplace $y$ dans l'équation, j'obtiens:
$$[-(P(t) u')' +q(t) u -(\alpha +i \beta) u] +i [(P(t) v')' + q(t) v +(\beta-i \alpha v)]$$
Comment on arrive à obtenir le résultat du livre? Svp
Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour
on a
$$s(J(f),J(n))= \dfrac{a_3 J(f) + dJ(n)}{k_2 J(f)+\sigma_4},$$
$a_3, d, k_2, \sigma_4$ sont des constantes.
où $J(f)= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-ct) dx$ et $J(n)= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} n(x-ct) dt$ avec $c$ une constante.
Comment écrire le développement de Taylor de $s$ au voisinage de zéro? S"il vous plaît.
Je vous remercie d'avance.

Bonjour,
soit la fonction de Green $G$ définie par
$$
G(x,y)=
\dfrac{1}{r_1-r_2}
\begin{cases}
\exp(r_1(x-y) &: x \leq y,\\
\exp(r_2(x-y)) &: x \geq y,
\end{cases}
$$
où les racines caractéristiques $r_1$ et $r_2$ sont données par
$$
r_1=\dfrac{c+\sqrt{c^2+4\lambda}}{2}, \  r_2=\dfrac{c-\sqrt{c^2+4\lambda}}{2}.
$$
où $c, \lambda$ sont des paramétres strictement positifs. De plus, on a pour tout $y \in \mathbb{R}$, $G(\pm,y)=0$.
On a les hypothèses suivantes:
Il existe une fonction $\psi:[0,+\infty[ \to [0,+\infty[ $ continue et il existe une fonction $q$ continue, positive et nulle au voisinage de l'infini telle que:
$$
|h(x,u)|\leq q(x) \psi(|u|), \ \forall (x, u) \in \mathbb{R}^2,
$$
il existe $M_0 \in \mathbb{R}^{\star}_+, \dfrac{\alpha \psi(M_0)}{M_0} \leq 1$, avec $\alpha = \sup_{x \in \mathbb{R}} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} G(x,y) q(y) \ dy < +\infty$.

On note $E_0$ l'espace des fonctions continues nulles au voisinage de l'infini, et on définie l'application $T: E_0 \to E_0$, par
$$
Tu(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} G(x,y) h(y,u(x)) dy.
$$

On cherche à montrer que l'opérateur $T$ est continu. Je lis la démonstration suivante:

Soit $(u_n)$ une suite de $E_0$ qui converge uniformément vers $u_0$ dans tous les intervalles compacts de $\mathbb{R}$ et on montre que $(Tu_n)$ converge uniformément vers $Tu_0$ sur l'intervalle $[-a,a]$. Soit $\epsilon > 0$ et on choisit $b > a$. Par la convergence uniforme de la suite $(u_n)_n$ sur $[-b,b]$, il existe un entier $N=N(\epsilon,b)$ qui satisfait:
$$
n \geq N \implies I_1= \sup_{x \in \mathbb{R}} \displaystyle\int_{-b}^b G(x,y) |h(y,u_n(y))-h(y,u_0(y))| \ dy < \dfrac{\epsilon}{2}.
$$

\textbf{Question 1}: Je ne comprend pas comment on obtient cette majoration de $I_1$.

Pour $x \in [-a,a]$, on a que $|Tu_n(x)-Tu_0(x)| \leq I_1+I_2+I_3$ avec
$$
I_2=\sup_{x \in \mathbb{R}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}-[-b,b]} G(x,y) |h(y,u_0(y))| \ dy \leq \dfrac{\epsilon}{4}
$$
(par le critère de convergence de Cauchy et l'hypothèse $\lim_{|y| \to +\infty} h(y,u_0(y))=0$).

\textbf{Question 2.} Je n'arrive pas à comprendre ici comment on utilise le critère de convergence de Cauchy pour la majoration de $I_2$.

et on a
$$
I_3= \sup_{x \in \mathbb{R}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}-[-b,b]} G(x,y) |h(y,u_n(y))| \ dy \leq \dfrac{\epsilon}{4}.
$$
(Par le théorème de convergence dominée de Lebesgue)
\textbf{Question 3.} Je n'arrive pas à justifier la majoration de $I_3$.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.