Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

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edo d'ordre 1

Bonjour,
soit l'équation différentielle $$y'=f(x,y)$$ où $f: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ avec $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^2$. Un e équation différentielles ordinaire ou bien elle n'admet pas de solution ou bien elle admet une infinité de solutions. Je cherche un exemple d'une équation différentielle ordinaire d'ordre 1 qui n'admet aucune solution.
Merci d'avance

Roro

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Re : edo d'ordre 1

Bonsoir,

Je pense que si tu prends $U=\mathbb R$ et $f(x)=\mathrm{sign}(x)$ alors l'équation $y'=f(y)$ n'admet pas de solution (au sens classique, c'est-à-dire dérivable).

Roro.

ccapucine

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Re : edo d'ordre 1

Est-ce qu'il y a un moyen de savoir quand une équation n'admet aucune solution? Je cherche des arguments ou plutôt une justification rigoureuse s'il vous plaît

DeGeer

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Re : edo d'ordre 1

Bonjour
D'après le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà l'équation  $y'=f(t,y)$ admet des solutions locales dès lors que $f$ est continue. Pour un contre-exemple il faut donc chercher une fonction $f$ discontinue.

Dernière modification par DeGeer (21-12-2025 22:07:22)

Roro

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Re : edo d'ordre 1

Bonsoir,

Est-ce qu'il y a un moyen de savoir quand une équation n'admet aucune solution? Je cherche des arguments ou plutôt une justification rigoureuse s'il vous plaît

Dans ton premier post, tu voulais un exemple. Je t'en propose un et tu me demandes maintenant autre chose !

Je n'ai pas mieux que la réponse de DeGeer et je ne connais pas d'hypothèse générale sur $f$ (forcément non continue) pour assurer la non existence.

Roro.

ccapucine

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Re : edo d'ordre 1

Bonjour,
les deux questions sont liés. Je cherchais un exemple d'une edo qui n'admet aucune solution. Mais pour trouver cet exemple, il fallait savoir quand une équation différentielle n'admet aucune solution!

Eust_4che

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Re : edo d'ordre 1

Bonjour à tous et à toutes,

Si $\Phi \colon \mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}$ est une application bilinéaire telle que $f(x, y) = \Phi(x, y, \cdot, \cdot) \in (\mathbf{R}^2)^*$ quel que soit $(x, y) \in \mathbf{R}^2$, une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit la dérivée d'une fonction $y \colon  \mathrm{U} \rightarrow \mathbf{R}$ est que $\Phi$ soit symétrique :
- La condition est nécessaire : elle entraîne que $y$ est $2$-fois dérivable dans $U$ et sa dérivée en un point $(x_0, y_0)$ de $U$ est $\Phi$ (identifiée à l'application linéaire $\mathbf{R}^2 \rightarrow (\mathbf{R}^2)^*$), donc $\Phi$ est symétrique (th. de Schwarz).
- La condition est suffisante : l'application $(x, y) \mapsto 1/2 \Phi(x, y, x, y)$ répond à la question.

Donc $\Phi$ n'est pas symétrique, l'équation $y' =   \Phi(x, y, \cdot, \cdot)$ n'admet pas de solution.

Est-ce qu'il y a un moyen de savoir quand une équation n'admet aucune solution? Je cherche des arguments ou plutôt une justification rigoureuse s'il vous plaît

Une application $f$ qui est solution d'une équation $y' = f$ est une $1$-forme différentielle exacte. Toute $1$-forme différentielle exacte étant fermée (par construction), il suffit que ton $1$-forme différentielle ne soit pas exacte pour qu'il n'existe aucune solution :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_dif … lle_exacte

E.

Dernière modification par Eust_4che (22-12-2025 14:04:09)