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ccapucine

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Convergence uniforme d'un opérateur

Bonjour,
soit la fonction de Green $G$ définie par
$$
G(x,y)=
\dfrac{1}{r_1-r_2}
\begin{cases}
\exp(r_1(x-y) &: x \leq y,\\
\exp(r_2(x-y)) &: x \geq y,
\end{cases}
$$
où les racines caractéristiques $r_1$ et $r_2$ sont données par
$$
r_1=\dfrac{c+\sqrt{c^2+4\lambda}}{2}, \  r_2=\dfrac{c-\sqrt{c^2+4\lambda}}{2}.
$$
où $c, \lambda$ sont des paramétres strictement positifs. De plus, on a pour tout $y \in \mathbb{R}$, $G(\pm,y)=0$.
On a les hypothèses suivantes:
Il existe une fonction $\psi:[0,+\infty[ \to [0,+\infty[ $ continue et il existe une fonction $q$ continue, positive et nulle au voisinage de l'infini telle que:
$$
|h(x,u)|\leq q(x) \psi(|u|), \ \forall (x, u) \in \mathbb{R}^2,
$$
il existe $M_0 \in \mathbb{R}^{\star}_+, \dfrac{\alpha \psi(M_0)}{M_0} \leq 1$, avec $\alpha = \sup_{x \in \mathbb{R}} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} G(x,y) q(y) \ dy < +\infty$.

On note $E_0$ l'espace des fonctions continues nulles au voisinage de l'infini, et on définie l'application $T: E_0 \to E_0$, par
$$
Tu(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} G(x,y) h(y,u(x)) dy.
$$

On cherche à montrer que l'opérateur $T$ est continu. Je lis la démonstration suivante:

Soit $(u_n)$ une suite de $E_0$ qui converge uniformément vers $u_0$ dans tous les intervalles compacts de $\mathbb{R}$ et on montre que $(Tu_n)$ converge uniformément vers $Tu_0$ sur l'intervalle $[-a,a]$. Soit $\epsilon > 0$ et on choisit $b > a$. Par la convergence uniforme de la suite $(u_n)_n$ sur $[-b,b]$, il existe un entier $N=N(\epsilon,b)$ qui satisfait:
$$
n \geq N \implies I_1= \sup_{x \in \mathbb{R}} \displaystyle\int_{-b}^b G(x,y) |h(y,u_n(y))-h(y,u_0(y))| \ dy < \dfrac{\epsilon}{2}.
$$

\textbf{Question 1}: Je ne comprend pas comment on obtient cette majoration de $I_1$.

Pour $x \in [-a,a]$, on a que $|Tu_n(x)-Tu_0(x)| \leq I_1+I_2+I_3$ avec
$$
I_2=\sup_{x \in \mathbb{R}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}-[-b,b]} G(x,y) |h(y,u_0(y))| \ dy \leq \dfrac{\epsilon}{4}
$$
(par le critère de convergence de Cauchy et l'hypothèse $\lim_{|y| \to +\infty} h(y,u_0(y))=0$).

\textbf{Question 2.} Je n'arrive pas à comprendre ici comment on utilise le critère de convergence de Cauchy pour la majoration de $I_2$.

et on a
$$
I_3= \sup_{x \in \mathbb{R}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}-[-b,b]} G(x,y) |h(y,u_n(y))| \ dy \leq \dfrac{\epsilon}{4}.
$$
(Par le théorème de convergence dominée de Lebesgue)
\textbf{Question 3.} Je n'arrive pas à justifier la majoration de $I_3$.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.